函数的定义域和反函数

不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(…     

高中函数教学方法及技巧探微

高中函数教学是初中阶段函数教学的延续,它采用近代定义,以集合概念为基础,将函数定义为从集合A到集合B的映射.因此,教学时,应先把＂集合和映射＂讲透,在函数概念中涉及两个变量,相应地就确定了两个数集,即自变量的值的集合（定义域）和函数值的集合（值域）,同时,函数概念中两个变量的依赖关系反映为从集合到集合的对应关系,     

分段函数的学习

分段函数作为一类特殊的函数 ,有着广泛的应用 ,已愈来愈引起人们的重视 ,但由于教材中没有给予系统的介绍 ,以致于学习中常出现偏差 .现就分段函数的概念和主要题型作一介绍 ,希望对读者有所帮助 .一、分段函数的概念有些函数 ,在它的定义域中 ,对于自变量的不同取值范围 ,对应法则有不同的表示 ,这样的函数通常称为分段函数 .注意分段函数是“一个”函数 ,一个对应法则 ,而不是几个函数 ,几个对应法则 ,它的定义域是各段自变量集合的并集 ,值域是各段函数值集合的并集 .例 1　已知分段函数f(x) =x2 　 (x >1) ,x　　 (-1≤x≤ 1) ,-x2 　(…     

学习分段函数的“三大纪律八项注意”

分段函数是指自变量在不同的取值范围内 ,其对应法则也不相同的函数 .分段函数是一类表达形式特殊的函数 ,学习时应牢记“三大纪律八项注意” .“三大纪律”是 :1 分段函数只有一个对应法则 ,是一个函数 ,切不可把它看成是几个函数 .分段函数在书写时用括号把各段函数合并写成一个函数的形式 ,并且必须指明各段函数的自变量x的取值范围 .2 分段函数的定义域是函数各段自变量取值集合的并集 .一个函数只有一个定义域 ,只能写成一个集合的形式 ,不能分开写成几个集合的形式 .3 分段函数的值域是各段函数值集合的并集 .求分段函数的值域 ,应…     

《代数与初等函数》复习问答(上)

1.怎样理解函数概念? 函数定义的理解,我们应抓住以下三点:①定义域——自变量的数值的集合,②值域——函数值的集合:③对应法则——由它可使每一个自变量的值对应唯一确定的函数值。一般说来,一个函数只要定义域     

求常见函数定义域的方法

一、函数定义域的概念 :在映射 f :A→B中 ,如果A、B都是非空数集 ,且B的每一个元素都有原像 ,那么这样的映射叫做集合A到集合B的函数。集合A叫做函数的定义域 ,集合B叫做函数的值域。所谓函数 y =f(x)的定义域就是自变量x所取的一切值的集合。二、常见函数的定义域 :当函数 y =f(x)用解析式表示时 ,如果没有附加条件 ,那么函数的定义域就是指使这个解析式有意义的实数x的集合 ,也就是 f(x)中所有运算都能施行的自变数x的值集。1 分式函数的定义域例 1 :求函数 y =x3 - 5x2 - 3x+2 的定义域。解 :所求的定义域为 :D ={x｜x∈R ,且x2 -…     

《经济应用数学基础》函数部分学习辅导

函数是微积分中最重要的基本概念之一,也是做积分研究的主要对象,这部分要着重掌握函数的概念、性质、复合函数的概念,这可为以后的学习打好基础。 一、函数的概念 理解函数的概念应注意以下几个问题: 1.一个函数的建立决定三个因素,即定义域、对应关系和值域,其中对应关系和定义战起着决定性的作用.因此判断两个函数是否相同.只需看这两个函数的定义域是否相同,对应关系是否相等。 2.函数的定义域有多种表示法,在此应着重掌握不等式法和区间法。 3.函数的定义域是使函数有意义的自变量的一切实数值的集合。 (1)对于实际问题要根据其实际意义来确定定义城;     

函数值域问题的一些错解

所谓函数的值域,是自变量取定义域内所有值时,对应的函数值的集合,因此,函数的值域受定义域的制约,在求函数值域的过程中,有些学生由于忽视了定义域,或者由于概念不清、方法不当,往往出现这样那样的错误,本文就教学过程中或一些书刊出现的一类典型错误进行分析,希望有利于同学们的函数学习。     

函数及其图象

平面直角坐标系与函数概念一、复习要点1平面直角坐标系(1)在平面内有公共且互相的两条组成平面直角坐标系.坐标平面内的点与有序实数对是的.(2)特殊点的坐标:ｘ轴上的点表示为,ｙ轴上的点表示为,坐标原点的坐标为.2函数概念(1)在某一变化过程中始终保持的量叫做常量,可以取的量叫做变量.(2)函数的概念:设在某一变化过程中有两个变量ｘ与ｙ,如果对于ｘ的每一个值,ｙ都有的值与它对应,那么就说ｘ是,ｙ是的.函数的表示方法常用的有、和.用数学式子表示函数的方法叫做法,这种数学式子叫做函数解析式.用解析式表示函数时,自变量的取值必须使解析…     

解读反函数

反函数是中学数学的重要内容 ,是函数部分的难点 ,高一学生初次接触这一内容时 ,学习和理解都比较困难 .为了帮助学生理解这部分内容 ,培养学生的理解能力和判断能力 .本文就现行教材中的反函数问题进行解读 .一、定义设函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的值域为Ｄ .根据这个函数中ｘ与ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出来 ,得到ｘ=φ( ｙ) .如果对于 ｙ在Ｄ中的任何一个值 ,通过ｘ=φ( ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么 ,ｘ=φ( ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ =φ( ｙ) ( ｙ∈Ｄ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 …     

浅谈反函数教学

反函数概念既是中学数学的重要概念,又是教学中的难点之一。考察其原因不外乎以下几点：一是对反函数的概念搞不清楚;二是看不到反函数的应用;三是弄不清反函数的性质。 一、正确理解反函数物概念是学好反函数的关键 根据新编教材,反函数定义如下： 一般地,设函数ｙ＝ｆ（ｘ）,其定义域为Ａ、值域为Ｂ,我们从式子ｙ＝ｆ（ｘ）中解出ｘ,得到式子,ｘ在ｆ中都有唯一位和它对应,那么式子就表示自变量ｙ的函数,这样的函数,叫做函数的反函数,记作 对此定义的理解要注意下面几个方面： （１）式子表示的含义是ｙ为自变量,ｘ为ｙ的函…     

求函数的值域的常用方法

在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.求函数值域有以下几种常用方法.一、基本函数法对于基本函数的值域,可通过它的图象及性质直接求解.例1求y=(1/3)~(|x|)的值域.     

复合函数教学点滴

中学数学微积分初步主要讨论一元函数的微积分问题 ,而一元函数中复合函数是最常见、最主要的内容 ,它占有举足轻重的地位。复合函数的知识是求导和求积的重要基础知识 ,认识不到函数的复合及一复合函数怎样分解 ,求导、求积就会寸步难行 ,造成教学上的困难。一、复合函数注意事项设有两个实数集上的映射 :　　　　ｆ:ｙ=ｆ(ｕ)　　　ｕ∈Ｄｆ　　　　ｇ :ｕ =ｇ(ｘ)　　　ｘ∈Ｄｇ如果映射ｇ的值域Ｒｇ 与映射ｆ的定义域Ｄｆ有 :Ｒｇ Ｄｆ,于是可将ｕ =ｇ(ｘ)代入 ｙ =ｆ(ｕ)得到新函数　　　　ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]　　　ｘ∈Ｄ ,Ｄ =Ｒｇ ∩…     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

函数知识点学习指导

本文给出函数学习中的若干问题,力求结合实例通俗解读,旨在对同学们的学习有所帮助.问题1函数的定义域不可以是空集.解读:函数是建立在两个非空数集上的映射,对应法则是函数概念的核心,定义域是灵魂,值域是派生的重要因素.可见定义域不可以是空集,如y=lg(-x2),其实不是函数.问题2函数的定义域就是函数式有意义的实数x的集合.解读:一般情况下是成立的,但还要看问题的背景或实际意义.如函数y=x+1(x≥0),其反函数是y=(x-1)2(x≥1),显然它的定义域就不是函数式有意义的实数x的集合,而是由函数的值域所决定.假如问题具有实际意义或几何意义,除要…     

要重视对函数概念的深刻理解

函数是高中数学中最为重要的一章,也是进一步学习高等数学的基础,因此它在历年高考数学试题中占有重要的地位,有关函数试题的分值列13章之冠.这一章主要内容有三大块:函数概念,函数性质,几类常见函数的定义、图象与性质及应用,本文先谈第一部分——函数概念中的几个问题:一、用映射的观点正确理解函数概念在高中数学中,是用映射的观点定义函数的,其要点有:是实变量实值函数(定义域与值域是非空实数集);对应关系是“全射”与“单值”的(对于定义域中的每一个值都有唯一的函数值与之对应).对于概念的理解不能只停留在表层的记忆上,而应该有深层次的把握.     

浅谈用“方程法”求函数的值域

求函数值域是中学数学中一个重要的问题 ,解决这个问题的方法较多 ,“方程法”就是其中的一种。　　一、用“方程法”求函数值域的解法原理　　所谓“方程法” ,就是运用方程思想 ,将函数 ｙ =ｆ(ｘ)的解析式视为关于ｘ的方程 (ｙ为参数 ) ,根据方程有实数解的条件 ,求出使该方程在函数定义域内有解的所有ｙ值的集合 ,则此集合即为函数 ｙ =ｆ(ｘ)的值域。　　下面证明用“方程法”求函数值域的正确性。　　设集合Ａ为函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域 ,Ｂ为它的值域 ,即Ｂ ={ ｙ|ｙ =ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ａ} ;又设Ｂ1 { ｙ|使“关于ｘ的方程”ｙ =ｆ(ｘ)在…     

函数值域的求法

一、观察分析法通过对函数的解析式或对应法则的观察分析求值域．例１求函数ｙ＝３ｘ＋１（ｘ∈Ｒ）的值域解：∵ｘ∈Ｒ,由幂函数的性质知３ｘ∈Ｒ,∴函数ｙ＝３ｘ＋１的值域为Ｒ．二、求反函数的定义域如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域上存在反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）...     

分段函数常见类型及解法

分段函数是自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数.分段函数不是几个函数,而是一个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的     

学习分段函数的“三大纪律、八项注意”

分段函数是指自变量在不同的取值范围内 ,其对应法则不相同的函数 .分段函数是一类特殊表达形式的函数 ,学习时应牢记“三大纪律 ,八项注意”.纪律一 :分段函数是一个函数 ,不是几个函数 ,切不可把它看成是几个函数合并而得 .分段函数在书写时应用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式 ,并且必须指明各段函数的自变量 x的取值范围 .纪律二 :分段函数的定义域是函数各段自变量集合的并集 .因为一个函数只有一个定义域 ,故只能写成一个集合的形式 ,不能分开写成几个集合的形式 .纪律三 :分段函数的值域是各段函数值集合的并集 ,求分段函数…