勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其逆定理是平面几何中两个非常重要的定理,不少几何问题需要综合应用这两个定理才能得到解决．现举例说明,供参考．例１如图１,在△ＡＢＣ中,Ｄ是ＢＣ上一点,ＡＢ＝１３,ＡＤ＝１２,ＢＤ＝５,ＡＣ＝１５,求ＤＣ的长．分析在△ＡＤＣ中,已知两边的长,要求第三边的长．若△ＡＤＣ不是特殊三角形,则无法求解．因此我们可以判断△ＡＤＣ是否是特殊三角形,然后利用已知条件证明上述判断．在△ＡＢＤ中,ＢＤ２＋ＡＤ２＝５２＋１２２＝１３２＝ＡＢ２,由勾股定理的逆定理可知,△ＡＢＤ为直角三角形,ＡＤＢ＝９０°．所…     

勾股定理在几何证明中的应用

勾股定理是平面几何中的重要定理之一，其重要地位，被数学家形象地誉为欧氏几何的“拱心石”．勾股定理及其道定理有着广泛的应用，本文举例说明勾股定理及其道定理在几何证明中的应用．勾股定理表达式中的每一项都是线段的平方，所以，在几何证明中，凡涉及有关线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题，都可以考虑应用勾股定理及其道定理来证明．例Ｉ已知：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，点Ｄ、Ｅ分别在ＢＣ、ＡＢ上．求证：ＡＤ２＋ＣＥ２＝ＡＣ２＋ＤＥ２证明在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＢＣＥ中，由勾股定理有Ａ…     

应用勾股定理进行几何计算

直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和，等于斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２＝ｃ２这就是我们所熟悉的勾股定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．灵活应用它，不仅可以解决与直角三角形有关的计算问题，一些与斜三角形有关的计算问题也可通过添作垂线后获得解决．现以近年来的中考题为例介绍勾股定理在几何计算中的应用．例１如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，已知ＡＤ＝４，ＢＤ＝１６，则ＣＤ＝（１９９５年甘肃省中考题）解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２０，ＡＣＺ＋ＢＣＺ一ＡＢＺ一４００．在Ｒｔ凸ＡＣＤ和…     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它在解有关直角三角形的问题中有广泛的应用．现举例说明它在几何计算中的应用，供同学们参考．例１如图１，凸四边形ＡＢＣＤ中，四边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ和ＤＡ的长分别是３、４、１２和１３，∠ＡＢＣ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积是多少？（第七届“希望杯”竞赛试题）分析由题设ＡＢ＝３，ＢＣ＝４且∠ＡＢＣ＝９０°，连结ＡＣ得Ｒｔ△ＡＢＣ，根据勾股定理易求ＡＣ＝５．在△ＡＣＤ中根据勾股定理的逆定理可以判定△ＡＣＤ为直角三角形．计算两直角三角形面积之和即为四边形ＡＢＣＤ的…     

勾股定理与几何证题

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．它不仅在几何计算中有着广泛的应用,而且在几何证题中也有广泛的应用．因为勾股定理确定的是直角三角形三边平方之间的关系,所以,在几何证题中,凡涉及线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题,都可以考虑应用勾股定理来加以证明．例１如图１,在△ＡＢＣ中,／Ｃ＝９０°,Ｄ、Ｅ分别是ＢＣ、ＡＣ上的点．求证：ＡＢ２＋ＤＥ２＝ＡＤ２＋ＢＥ２分析求证结论是线段平方的和差关系,而且给定图形中有好几个直角三角形,因此,宜考虑应用勾股定理来证明．在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ…     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理是平凡中的重要定理,应用十分广泛．本文专门介绍它在几何计算中的应用．由于题目中的条件不同,用法也不相同,那么我们怎样用好定理呢？一、根据条件直接用定理这类题目很多,仅举一例供大家体会．例１如图,在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ＡＣＢ＝９０°,ＣＤＡＢ于Ｄ．若ＡＢ＝１３,ＣＤ＝６,求ＡＣ＋ＢＣ的长．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中,由勾股定理得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２．ＡＢ＝１３,ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＝１３２＝１６９．ＣＤＡＢ,　Ｓ△ＡＢＣ＝ＡＣ·ＢＣ．由面积关系,得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ＝１３×６＝７８．（ＡＣ＋Ｂ…     

利用勾股定理解竞赛题

勾股定理是几何中一个极为重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．应用它，不仅可以解竞赛计算题，而且可以解竞赛证明题．例１若直角三角形的两直角边的长分别为１和２，则斜边上的高为（）（Ａ）；（Ｂ）（Ｃ）；（Ｄ）．（１９９５年昆明市初中数学竞赛试题）解如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝２，例２在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝１５°，ＡＢ＝１０，则△ＡＢＣ的面积为（）（Ａ）１０；（Ｂ）１０；（Ｃ）１２．５；（Ｄ）１５．（１９９３年吉林省初中数学竞赛试题）解如图２，作…     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

利用对称 化难为易

同学们在初中《几何》第二册第三章中已学习过有关轴对称的概念和一些性质．其实利用轴对称也是一种重要而基本的解题方法、有些几何证明问题，若能借助轴对称方法求解，常常可化难为易，简捷求解．例１如图１，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝６０°，∠ＡＤＢ＝９０°－１／２∠ＢＤＣ．求证：△ＡＢＣ是等腰三角形．分析欲在△ＡＢＣ中直接证得ＡＢ＝ＡＣ，显然有困难．若将面△ＢＤ以ＡＤ为轴翻折过去，得△ＡＢ’Ｄ，并能证得ＣＤＢ’为直线段，则问题便可获证．证明以ＡＤ为轴作△ＡＢＤ的对称图形凸ＡＢ’Ｄ，则ＬＡＤＢ‘一ＬＡＤＢ．ＣＤＢ‘…     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

应用垂径定理解题

垂径定理的基本功能是证明两条线段相等和两段弧相等． 例１ 如图１，已知ＡＢ为的直径，且ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｍ，ＣＤ＝８，ＡＭ＝２，则ＯＭ＝（２０００年江苏省南京市中考题） 分析… ＡＢ⊥ＣＤ，ＣＤ＝８， ∴由垂径定理可知 ＣＭ＝ＭＤ＝４ＡＭ＝２，… 欲求ＯＭ，只需求出半径ＯＡ的长即可．为构成直角三角形，应连结 ＯＣ．设 ＯＡ的长为ｘ，则 ＯＭ＝Ｘ－２．于是，在ＲｔＯＭＣ中，根据勾股定理列出关于ｘ的方程，得ｘ２＝（ｘ－２）２＋４２．解此方程，得ｘ＝５．从而可求得ＯＭ＝３．解略． 若已知图形中没有垂径定理的基本…     

三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

对角互余四边形的一个性质推广

文［１］给出了对角互余四边形的一个性质： 定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°,则 ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２ 逆定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２,则 ∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°。 但逆定理的结论     

面积法在平几中的应用

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１　证明线段相等例１　（１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明　连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知　∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ…     

证明三角形全等的基本思路

证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ…     

巧构三角形解题

在数学解题中,有些题目用常规思路去做很繁琐,但巧妙构造三角形,便可得到简洁解法。 例１．己知△ＡＢＣ的三个内角 Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ= ２Ｂ,求的值。 （１９９６年全国高考题） 解：∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°,由Ａ＋Ｃ＝２Ｂ,得Ｂ＝６０° 而cos=１０５°=,cos１５°= 易知＋ 构造△ＡＢＣ,如图１,使Ａ＝１０５°,Ｂ＝６０°,Ｃ＝ １５ °从而cos= １５°,从而 cos＝ 例２、求值sin~２１０°＋ｃｏｓ~２４０°＋ｓiｎ１０°ｃｏｓ４０。 （１９９５年全国高考题） 构造△ＡＢＣ,如图２,使Ｂ＝１０°,Ｃ＝５０°,Ａ＝１２…     

利用面积巧解题

分析这道题的常规解法是通过相似三角形对应边成比例，求出ＡＤ的长，再用勾股定理计算出ＣＤ来．倘若利用三角形面积公式解这道题，既简捷又明快．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得例２如图２，已知ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１６，Ｐ为ＢＣ上任一点，ＰＤＡＢ，ＰＥＡＣ，垂足分别为Ｄ、Ｅ．试求ＰＤ＋ＰＥ的值．解过Ａ作ＡＭＢＣ，垂足为Ｍ，连结ＡＰ．由评析通过这道题的解，我们发现利用面积解题，确实给人以耳目一新之感．例３如图３，已知ＢＤ、ＣＥ是否ＡＢＣ的两条高．求证：ＡＢ·ＣＥ＝ＡＣ·ＢＤ．分析这道题的常规解…     

利用底角和顶角的关系解题

根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和定理，我们可以推出等腰三角形的底角α和顶角β有如下关系：α＝９０°一１／２β．对于一些与等腰三角形内角有关的几何问题，利用这一关系，可取得意想不到的效果．例１如图１，在西ＡＢＣ中，ＡＣＢ＝７０°，ＡＣ＝ＢＣ，点Ｐ在ＡＢＣ的外部，且与点Ｃ均在ＡＢ同侧．若ＰＣ＝ＢＣ，求ＡＰＢ．例２如图２，已知ＡＢＣ＝１００°，ＡＭ＝ＡＮ，ＣＰ＝ＣＮ，求ＭＮＰ．解在ＡＭＮ和ＣＰＮ中，例３如图３，在ＨＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＡＢ上一点，延长ＣＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＨＤ，延长ＥＤ交ＢＣ…     

一个被遗漏的解

一个被遗漏的解静宁县石咀初中方水田初中几何二册复习参考题六第２题为：已知：△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝２０，高ＡＤ＝１２，求角平分线ＡＥ的长。绝大多数学牛的解法是，如图（１），在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＤＣ中，利用勾股定理求得ＢＤ＝９，ＤＣ＝１６。在...