二阶线性递归数{In}的若干性质

用 F_n 和 L_n 分别表示斐波那契(比萨的)数和 Lncas 数.{I(3,3,n)}、{P(2,2,n……)}两数列的递推公式为,I_n=I_(n-1) I_(n-2),P_n=P_(n-1) P_(n-2).本文利用组合分析中常用的计算方法,建立递归方程(引理1,2)、组合计算(定理2,4等证明)和数学归纳法,讨论了数列{I_n}和{P_n}的有趣性质,以及二者与斐波那契数和 Lncas 数的联系,得到了较系统的结果,可将斐波那契数的性质可经推广到数列{I_n}、{P_n}上去.     

指数函数和对教函数是超越函数的一种证法

我们用定理来揭示它们的超越性定理(一)函数y=a~x当底不是1时,不满足任何代数方程。即要证下面的命题:设有一个非零的多项式P(x,y),当代入y=a~x以后,能够变成区间(-∞,+∞)内的恒等式: P(x,a~x)≡0 (1) 证明:假设存在一个非零多项式P(x,y),可以使恒等式(1)成立。我们把P(x.y)按y的降幂排列: P(x,y)=P_n(x)y~n+P_(n-1)(x)y~(n-1)+…+P_0(x), 再代入y=a~x这样,便把恒等式(1)写成以下形式:     

多边形Menelaus定理的若干应用

对于平面几何中著名的Menelaus定理,文[1]曾将它推广到多边形,得到 定理 设n边形A_1A_2A_3…A_n的n条边A_1A_2、A_2A_3、…、A_(n-1)A_n、A_nA_1所在的直线都与直线l相交,交点分别为P_1、P_2、…、P_n(它们都不是已知n边形的顶点),则     

初中数学复习指导

一、知识点扫描(一)概念1.命题:判断一件事情的句子叫做命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.一般地命题都可以写成"如果……那么……"的形式,其中"如果"引出的部分是条件,"那么"引出的部分是结论.正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.     

例谈射影几何命题的证明方法

从射影几何中的定义、公理和已知的定理出发,建立适当的射影坐标系,将几何问题转化为代数问题,再赋予代数结论的几何意义,从而得到射影几何命题的证明.     

对Cunningham链的补充

一、素数差值倍增等比数列 定义:设个位数相同的素数数列{P_n}(n=1,2,3,…),P_0为大于2和不等于5的素数。 若P_(n 1)=2P_n-P_0,则称{P_n}为素数差值倍增等比数列x型,简称x链。 若P_(n 1)=2P_n P_0,则称{P_n}为素数差值倍增等比数列y型,简称y链。 Cunningham链是指链后一项是紧邻的     

我在素数分布问题上的两个新推测

在华罗庚的《数论导引》第90页有这样一个问题:命P_n为第n个素数,则P_n-P_(n-1)之分布情况如何?由于在全体素数中存在着大量的素数对,故有两素数P_1和P_2,并且有P_2-P_1=2,所以P_n-P_(n-1)的最小值可小至2。但最大时如何?换句话说,也就是求的无穷大之阶。在同一页,作者又     

1986年联邦德国数学竞赛(第一轮)试题及解答

1.圆上有n个点(n>1),依次记为P_1,P_2,…,P_n,连接这n个点,使得折线P_1P_2…P_n不相交。问这样的连接方法有多少种? 解我们先作P_n点确定的情况下考虑可能的连接方法的种数。下面用数学归纳法证     

一道高考题的多种解法

题目(2009年广东卷理)已知曲线C_n:x~2-2nx+y~2=0(n=1,2,3,…),从点P(-1,0)向曲线C_n引斜率为k_n(k_n>0)的切线l_n,切点为P_n(x_n,y_n)(Ⅰ)求数列{x_n},{y_n}的通项公式.(Ⅱ)证明:x_1·x_3·x_5·…·x_(2n-1)<(1-x_n)/(1+x_n)~(1/2)<2~(1/2)sinx_n/y)n.分析:曲线C_n:(x-n)~2+y~2=n~2是以(n,0)为圆心,n为半径的圆,l_n:是过定点P(-1,0)圆C_n的切线,切点为P_n(x_n,y_n).     

初中平面几何教学质量评价——教学目标与形成性测验试卷连载(三)

第二章相交线平行线§2.8 命题、定理识记:1.能迅速答出"在数学里,判断一件事情的语句叫做命题";并答出"判断"就是对某一事物确定"是"还是"非".2.能答出"命题由题设和结论两部分组成",并知道证明题的"已知"和"求证"也是一种"题设"和"结论".3.能答出定理必须具备二点,1)是真命题.2)是以推理方法判断的.了解:1.能在实际中区别出不是命题的语句,如祈使句或疑问句等.2.能举出公理和定理的相同点和不同点,并以学过的公理、定理为例加以说明.     

关于直线的参数方程与应用

在直角坐标系下,如果一条直线l经过已知点P_0(x_0,y_0),倾角为a,那么它的参数方程为 {x=x_0 tcosa y=y_0 tsina (t为参数) (*) 这个方程很重要,应让学生很好理解和掌握。 (一) 关于参数t的几何意义方程(*)中,参数t的几何意义是直线l上的定点P_0(x_0,y_0)与l上的任意一点P(x,y)所成的有向线段P_0P的数量P_0P,即t=P_0P。当P_0P与l同向时,有     

一道概率问题的变式探究

引例甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的正方体骰子,规定:如果某人某一次掷出1点,则下一次继续由此人掷,如果掷出其他点数,则由另一人来掷,且第一次由甲掷.设第 n 次由甲掷的概率为 p_n,由乙掷的概率为 q_n.(1)计算 p_2,p_3的值;(2)求证:{p_n-q_n}是等比数列;(3)求 limp_n.n→∞解(1)由已知得,p_1=1,q_1=0,p_2=1/6,q_2=5/6,p_3=1/6 p_2 5/6 q_2=(26)/(36)=(13)/(18).(2)由题意得,p_n=1/6 p_(n-1) 5/6 q_(n-1),q_n=1/6 q_(n-1) 5/6 p_(n-1)(n≥2),两式相减得p_n-q_n=1/6(p_(n-1)-q_(n-1)) 5/6(q_(n-1)-p_(n-1))=-2/3(p_(n-1)-q_(n-1)),即数列{p_n-q_n}是公比为-2/3的等比数列.(3)由结论(2)得     

命题·定义·公理·定理辨析

初学几何的同学对定义、公理、命题、定理这几个概念分辨不清，由此引出许多概念错误．本文针对这几个概念简要分析如下，供同学们学习时参考，一、命题判断某一件事情的句子叫命题．例如，“北京是中华人民共和国的首都”、“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”等都是命题．命题必须是判断．例如“对项角相等吗？”这不是判断，因此它不是命题．命题都由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的未知事项．命题都可写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的是题没，用“那么”开始的是结论．例如…     

暑期数学练习(Ⅰ)

一、选择题: 1.已知集合M一灭(x,,)}4二 夕=6},P={(x,,)}3x 2,一7},则M门P=(), A.(1,2)B.(l}U{2}C.{l,2}D.{(l,2)} 2.已知复合命题,’P且q”是真命题,则复合命题,’P或:”的真假情况是(). 入真命题B.假命题C.真假与叮有关D.真假与r有关 3.已知非零向量a泊方向相反,则下列各式中     

取近似值,还是求范围

<正>《中学数学》曾经刊载了《中考也考高等数学》一文,作者对2008年杭州市一道中考数学试题作出解答及点评,令读者深受启发.笔者再提供两种解法,仅供大家参考.原题(2008年杭州)如图1,记抛物线y=-x~2+1的图象与x轴正半轴的交点为A,将线段OA分成n等份,设分点分别为P_1,P_2,…,P_(n-1).过每个分点作x轴的垂线,分别与抛物线交于点Q_1,Q_2,…,Q_(n-1),再记直角三角形OP_1Q_1,P_1P_2Q_2,…的面积分别为S_1,S_2,…,这     

知识蕴涵逻辑系统

使用经典逻辑对海量知识系统进行分析处理和信息挖掘需要解决的关键问题之一就是司各脱法则问题.司各脱定理表明,矛盾蕴涵一切,如果一个知识系统包含着相互矛盾的信息,那么任何命题都将成为这个系统的推论.基于对蕴涵的一般认识,可以对司各脱法则问题提出一种不同于已有逻辑系统的解决策略.在根据这种策略而建立的知识蕴涵逻辑系统D中,(1)蕴涵关系符合直觉:(2)经典逻辑中基本的逻辑规律在该系统中得以保留:(3)不改变经典否定、合取的性质:(4)司各脱法则不成立.本文在给出严格形式语义的基础上,证明了该系统具有可靠性、协调性、完全性和可判定性.知识蕴涵逻辑系统D可以提供一个分析、处理海量知识系统的逻辑工具.利用公理B→(A→(A→B)),可以将知识系统中真知识归为一类,利用公理￢B→(￢A→(A→B)),可以将知识系统中的假知识归为一类,利用公理B→(￢A→(A→B))(其中A和B相关)可以将相互矛盾知识中的相关真知识演绎出来.     

问疑答难

1．已知命题P：函数y=c^x在R上单调递减;Q：函数f（x）=1n（2x^2＋4x＋1/c）的值域为R,如果P或Q为真命题,P且Q为假命题,求非负实数c的取值范围。     

质数无限多的欧几里德证明的评述

每个学过基数理论的学生都知道质数无限多的欧几里德证明:如果对P_1,P_2,…,P_n是第一个n个质数,N是它们的乘积,每一个质数除以(N+1)比P_n大。如这样,我们设N_i(n)是除P_i外的质数的乘积(N_i(n)+1)的质数因子或者比P_n大,或者就是P_i。例如:     

一组含参分式不等式及其应用

命题1:若 x>a>0,,n>1(n∈N),则有x~n/(x-a)≥(n~n·a~(n-1))/(n-1)~(n-1),当且仅当 x=(na)/(n-1)时,等号成立.命题2:若 x>a~(1/m)(a>0),n>m>1(n,m∈N),则有 x~n/(x~m-a)≥1/m·(((n~n·a~(n-m))/(n-m)~(n-m))~(1/m),当且仅当 x=((na)/(n-m))~(1/m)时,等号成立.可以把命题1看作命题2的特例,所以只需证明命题2成立.证明:由题设知,     

整数集合的划分问题

把整数集合P分拆成若干个非空的真子集P_1、P_2、…、P_n,并且使得 (1)P_i∩P_j=φ(i、j=1、2、…、n,且i≠j) ;(2)P_1∪P_2∪…∪P_n=P。则称P_i(i=1、2、…、n)为P的一个划分。 近些年来,整数集合及其子集的划分问题是国内外较高层次的数学竞赛的热门题型。就其题型分类而言,常归结为两类:其一讨论子集划分的存在型;其二论证划分子集