求递推数列的通项公式七法

一、待定系数法例1设数列{氏}满足al=a,乌 l=c‘ l、,其中a,。为常数,且。尹0.求数列笼氏}的通项公式.解析设乌 1 入=。(氏 入),将上式展开与‘l=c氏 l、比较系故,得A二一1.所以‘l一1二(牵l).当a护1时,{氏一1}是以(a一l)为首项,。为公比的等比数列.所以氏一1=(a--l)·     

2007年高考广东数学卷压轴题探源

2007年广东离考.理21、文20厄:已知函数f(x)二玩一1,a尹是方程f(x)=0的两根(a甲)J,(x)是函数f(x)的导数,设a,二l,入 .二册,‘n=’,2,”’(l)求a尹的值; (2)已知对任意的正整数n有久>“,记b产In玉二久,(解1,2,…).求数列{b。}的前n项和凡.解:(l)由xz x一1=0,一l V了2得x=二丝努,士努·(2)…f,(二)二2(:) l,:.几‘I二人es‘1节二减 入-1_嵘 l从 12乌 1久十lee在斋班生事务件拜.嵘 (卜丫了)幼3 丫了2‘ (1一v了)。全红‘‘(_.l V了、2 l入宁一--下奋---l。:lee一一典一~卜}马二户),11一V 51、久,。z l久十二‘嘴一l、‘/…     

例谈数列求和的十种常见策略

一、拆项分组法例1和式2李 4李 8李 … 乙斗匕1一矛 1一矛‘024击等于一解:通项是a。=2“·岁，故原式=‘2 2’ 2’ … 2’。) (合 l、2‘1一2，0)十…十一下万J=— 2’U‘l一Z (令)…，nan，…的前n项和·分析:这个数列的每一项都含有a，而a等于l或不等于1，对数列求和方法有本质上的不同，所以解题时需要进行讨论.解:若a=1，S。二1 2 3 … n二n(n l) 2若。兴l，s。二。 Za， 3a， … na”·此时，该数列可以看作等差数列1，2，3，…，n与等比数列a，矿，矿，…，an的积构成的数列，且公比q二a.二2046 1023 1024点评:先把每一项拆成两…     

极限检测题

一、选择题1.下列命题中正确的是(A)f(x)=xZ+Zxx+2,则丛f(‘)=一2(B)f(x)=去,则勿“·,=0(C)f(x)=万万万,则勿f(‘)=0(D)f(x)=}在(贡.>”’l、Lx+且气x相似文献   

题库(四)

~一_、、一~,,、。,二二、、~~卜,l,』二。,31、已知一认幽鳅Jkx)=ax汗Dx十c俐曰永阴拱只生怀声已L不,一了) 乙斗且f(3)=2. (l)求了丫(x)的表达式,并求出f(I),f(2)的值; (2)数列{久},{b。},若对任意实数,都满足g(*)·f(、)十an、 b刁 1,n(N*其中g(,)是定义在实数R上的一个函数,求数列}味},防户的通项公式.2.设定义在(0, 。)上的函数f(二)满足:(l曰寸于任意实数。,石,都有f(a·b)=f(a) f(b)一p,(2)、f(2),一l;(3)当x>1时,总有f(x)相似文献   

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

2006年普通高等学校招生统一考试 福建卷理22题解法集萃

题目:已知傲列{a。I满足a.二l,an+,二Za。+l(noN*).《I)求数列}anl的通项公式; (川若数列lbn}满足4b,一4比一,…4味,=(a。+l),“(noN*),证明:数列lb。}是等差数列;一11、:二n二n_l,a、、aZ*…上a。/n In二月*、吐".】It目目竺二一,<二上十二‘+.,.+二卫1一<毛不吸n任仪贾】.‘J aZ 83a叶.‘(I)证法l:’·’a。+:=Za。+,(noN*)…a,,+l二2(an+:) .’.{a。+l}是以an+l二2为首项,2为公比的等比数列·一十1二2。即a产2“一l(n oN*)证法2:‘:a。+I二Zan+.(n oN*)一合+‘韵一晋:(如’...Bp舞二扮(奋州3二。…处一矛匀一刃也…     

两类非线性递归数列的通项及其应用

定义:若数列{a_n}用递推公式给出:a_1=a,a_(n 1)=f(a_n)(n=1,2,…)则称{a_n}为递归数列,f为定义函数。当f为非线性函数时,称{a_n}为非线性递归数列。本文给出两类非线性递归数列通项公式的求法。一、递推公式为一次有理式的情形     

有理递归数列通项公式的求法

定义对数列{u_n}:u_i=a_i(i=1,2,…,r),存在r元函数f(x_1,…,x_1),使u_(n r)=f(u_n,u_(n 1),…,u_(n r-1))(n∈N),则称数列{u_n}为r阶递归数列,f为数列的定义函数,常数a_i(i=1,2,…,r)为初始值。当f为有理式时,称{u_n}为有理递归数列。本文研究了两类一阶有理递归数列通项公式的求法。     

例析数列的综合运用

例1(2004·黄冈市质量检测试题)已知等差数列闻的公差尸0,对任意“6叭{都有、荆.- (l)求证:对任意n‘N.,所有方程邸阵2崛声+ha二0均有一个相同的实根:磐(2)若al=己,方程、z+2气。、二。的另一不同根为、,。。二件,求数列}。。}的 1+久通项公式.(3)在(2)的条件下,设5。二典+牛+…+华一,求lim、_. b lb:b乡3b沪n+,”‘曰‘一n-解析(l)…}久}是等差数列,…an+鲡二Zan+1,即an一2崛l+鲡=0,,:EN’,x二一1是所有方程邸件2‘lx长碗2=O的相同实根.n一2 一 一一 一氏‘1一+2一n 十 一一d一2一d+一几 n一 ︸一ha一久 一一 久 一 得 理 定 达 韦 由 N…     

用待定系数法求一阶线性递推数列的通项公式

由一阶线性递推数列求数列的通项公式,在很多文章中都进行了研究,而且也得出了在不同情况下求通项公式很多方法,比如累加法,累乘法,构造法等.但是却很少有文章对所求通项公式结构进行探讨,关注问题的结构有利于清楚地研究问题.一、方法探究定理:若数列{an}满足a1=a,an+1=f(n)an+g(n),则an=(∏(n-1)(i=1)f(i))·a+∑(n-2)(j=1)(∏(n-1)(i>j)f(i))g(j)+g(n-1)     

全国数学奥林匹克集训班选拔考试题

试证1一处 十1一al 第一天 (l,87 .5.2上午4小时30分) 一、对于任意正整数无,试求最小正整数f以),使得存在5个集合S;,52,‘.‘,8。,满足 i)·{S宜」“无,落=z,2,…,5, 主i)召,n召,十;二功,‘=z,2,…5, S。=51;+4二十 {51 11){门S,{=了(k).又.、,:。靳个数,:一般的不小、。的、。整数n时,有何结果? 二、在平血直角坐标系,}‘给定一个l的边形尸,满足 i)尸的顶点坐标都足整数; ii)P的边都与坐标轴平行; iii)P的边长都是奇数.试证P的面积是奇数. 三、已知数列谧:。}满足 尹」二2,r。二尹J八…r。一:十1,呢妻2、犷]然数。3,a:,二,an满足十里,…     

数列为等差数列的一个充要条件

四川人民出版社出版,高中基础知识丛书《数学》 (1984年1月第1版)P120例题: 已知数列的S。=,2十bn c,问该数列是等差数列,还是等比数列?其解答如下: a,=S。一S。一1=b a Za(n一r), 数列为等差数列,公差d二20. 此解答不妥一’:a:=S:.a b e,a:一Q:‘Za一c,当c斗。时该数列不合等差数列定义, 事实上,数列为等差数列的充要条件是:前”项和S。二a拐, bo. :,,‘_、。,二‘。,.,.。___.n(“一l)J 证:若协。}是等差数列,则S,‘“:十丛气一址d, ~.~t一‘,声~’J“~z诸F护、,一‘’一‘’2一’11,‘J呢犷O二,代二.n= Z’Zal一d 2则S。二训, 如…     

基本不等式解题“五技巧”

一巧拆 例1已ha是大于l的正整数,求证:2n>1十。勺任不. 点拨:要证的不等式即为二>nV尹,而此式左边可看成等比数列l,21,22,23,…的前n项的和,由此可用拆项法证明这道题. 证明::,n是大于1的正整数,三巧乘例3若n oN’,求证:(‘十音,(,+今,…(1十招不)>·2一‘二‘一(2一2·,二‘+答=‘+2+22+23+…+2几一‘心尹尸而刃 2 点拨:这是一个数列不等式,通常用数学归纳法证明,但从k到左+1难度较大,考虑到不等式左边每一项中的分数分母依次相差3,可采用连乘相约的办法来处理.件心碑 .今7一4一ro一7一4丁l一︸一一一 一一+一、,+一,J +一31一、J胜︸一1…     

变系数线性递归数列的通项与求和问题

一、递归数列的有关概念 对于一个复数列a_1,a_2,…,a_n…(1) 若存在K∈N与K+1个整标函数P_1(n),P_2(n),……,P_k(n)和f(n)使得对于(?)n     

单元测试题二(必修5)

一、坟空题1.在△ABC中,若a=z,占=2万,A=30。,则B等于2·····二、·一{ x)2夕)2,则x )镇6‘一Zx 4y的最大值为_. 3.若数列{a,}的前n项和S,=nZ一lon l(n任N‘),则此数列的通项公式为4.△A刀C的内角A、B、C的对边分别是a、b、。,若a、b、。成等比数列,且。一2a,则     

一次分式函数迭代循环的充要条件

设f:M~M.记f,(二)一f(二),fZ(二)~f(f(二)),…,人(二)一f(人、(l’)).若存在最小的整数,:>1,使得人(,)二r,则称f(x)为n阶循环函数. 方程。了+(d一a)二一b一O称为f(二)一a了十b‘一了+d(a,b,:,d任C,t’半O)的特征方程,a,尸为根,△~(d一a)2+4b。为判别式,记k-a—faa一,’月‘则有引理设f(x)~a工+b‘J十d(c半O,ad一be铸0).若△一O,则 (a十d)(x一a)人(二)一a+不决竺匕等一=千学.J·、-·一’2,。c(x一a)+a+d‘若△界O,则 (月k’一a)x一(k,一l)a月j.‘工夕一一.几下石一-万又一一下一万一-…不二下一一 戈尺一1夕了州卜尸一a况得证如存在g(x…     

线性递归数列通项求法

新教材将数列放在高一讲授 ,并提出了递推公式的概念 ,笔者认为这是一个很重要的信息 ,许多数列问题中的通项主要由递推关系给出的 ,递归数列在竞赛试题中也是屡见不鲜 .本文举例谈谈线性递归数列求通项的几种常见类型和方法 ,旨在抛砖引玉 .1　可化为 an+1 -an =f (n)型的递归数列方法 :an =a1 + ∑nk=2(ak -ak-1 ) =a1 +∑nk= 2f (k -1)例 1　已知递归数列a1 =2an -an-1 =2 n (n≥ 2 ) .求 an.解 :an =a1 + ∑nk=2f (k -1) =a1 + ∑nk=2(2 k) =n2 + n.2　可化为 an+1 an=f (n)型的递归数列方法 :变形为 anan-1=f (n -1) ,an-1 an-2=f (n -…     

2007年高考数学模拟试卷(一)

(本大厄共12小顺每小肠5分,共60分.在每小翅给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.设全集U={l,2,3,4,5},A二!l,3,5},B二{2,4,5},则(C砂)n(C尹)等于() (A)中.(B)【4}.(C){l,5}.(D)《2,5}. 2·“,已知sine=夸,且9‘n6-。。se>,,则。‘·,e等于()‘A,,·8,·‘B,,“·8,·‘C,‘8,,’·‘D,乎·7.(文)如图2,在正三棱柱ABC一:药C:中,已知AB二l,D在BB:上,且BD二1,若AD与侧面AA,CC,所成的角为a,则a的值为()平卒‘A,一尝·‘B,一芸·‘C,一夸·‘D)譬“’已知8‘n希9‘n斋二‘A’晋,…     

由数列递推公式求通项公式的几种方法

例1 3招 若数列2,az=2解’:a。一a:二{a。}满足a.十:=a-,求其通项公式。n一1 名(a,卜,一。,)k=1 n一1=名(3k 2) k=13.2 几一4 2:。a.=音‘3“’十“’ 11一1若乙l(幻可求,则满足递推公式a。,: k=1一“。=j(”),。:二。的数列的通项公式均可如此求出。 例2.数列{a.}满足a。 ;=2