解读反函数

反函数是中学数学的重要内容 ,是函数部分的难点 ,高一学生初次接触这一内容时 ,学习和理解都比较困难 .为了帮助学生理解这部分内容 ,培养学生的理解能力和判断能力 .本文就现行教材中的反函数问题进行解读 .一、定义设函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的值域为Ｄ .根据这个函数中ｘ与ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出来 ,得到ｘ=φ( ｙ) .如果对于 ｙ在Ｄ中的任何一个值 ,通过ｘ=φ( ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么 ,ｘ=φ( ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ =φ( ｙ) ( ｙ∈Ｄ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 …     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

不求反函数巧解题

在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1　若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解　设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2　已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析　∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3　若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析　应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 …     

浅谈反函数教学

反函数概念既是中学数学的重要概念,又是教学中的难点之一。考察其原因不外乎以下几点：一是对反函数的概念搞不清楚;二是看不到反函数的应用;三是弄不清反函数的性质。 一、正确理解反函数物概念是学好反函数的关键 根据新编教材,反函数定义如下： 一般地,设函数ｙ＝ｆ（ｘ）,其定义域为Ａ、值域为Ｂ,我们从式子ｙ＝ｆ（ｘ）中解出ｘ,得到式子,ｘ在ｆ中都有唯一位和它对应,那么式子就表示自变量ｙ的函数,这样的函数,叫做函数的反函数,记作 对此定义的理解要注意下面几个方面： （１）式子表示的含义是ｙ为自变量,ｘ为ｙ的函…     

关于求f（x）的争论综述

1　争论缘何而起2 0世纪 90年代 ,笔者陆续见到文 [1]、[2 ]、[3]、[4].文 [1]的标题是 :怎样由 ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,文 [2 ]2 .3中的标题是 :已知复合函数定义域 ,求原函数 (外层函数 )定义域 .四文均认为 :在ｆ[ｇ(ｘ) ],ｘ ∈Ｅ 的前提下 ,ｆ(ｘ)的定义域就是 ｇ(ｘ) ,ｘ∈Ｅ 的值域Ｕ .如 :例 1[1] 　若函数 ｙ=ｆ(- 2ｘ2 1)的定义域是(- 1,1) ,则 ｙ=ｆ(ｘ)的定义域是 (- 1,1].例 2 [2 ] 　若函数 ｙ=ｆ(1ｘ 1)的定义域为[- 23,- 12 ],则 ｙ =ｆ(ｘ)的定义域为 [2 ,3].例 3[3] 　若 ｆ(1 1ｘ) =1ｘ2 - 2ｘ 1,…     

经济数学基础综合练习1

第 1章　函数1　填空题1 )设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 ,φ(ｘ) =ｌｎｘ ,则 ｆ(φ(ｅ) ) =.2 )函数ｆ(ｘ) =11 -ｘ2 +ｘ +1的定义域是 .3)设ｆ(ｘ) =1ｘ2 ,ｇ(ｘ) =ｘ ,则 ｇ(ｆ(ｘ) ) =.4)某产品的成本函数为Ｃ(ｑ) =4ｑ2 +8ｑ +2 0 0 ,那么该产品的平均成本函数 Ｃ(ｑ) =.2　单项选择题1 )函数 ｙ =ｘｘ- 2 的定义域是 (　　 ) .　Ａ (2 ,+∞ )　　　Ｂ (-∞ ,2 )　Ｃ [- 2 ,2 ]Ｄ (-∞ ,2 ) ∪ (2 ,+∞ )2 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 (　　 ) .　Ａ [- 1 ,1 ]　　　Ｂ [0 ,1 ]　Ｃ (-∞ ,0 )　　 Ｄ (-∞ ,0 ]3)若 ｆ(ｅｘ) =1…     

2001年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京、内蒙古、安徽卷)

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合Ｍ ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 (　　 ) .Ａ .32　　Ｂ .31　　Ｃ .16　　Ｄ .15( 2 )函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 (　　 ) .Ａ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｂ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｃ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)Ｄ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)( 3)ｌｉｍｎ→∞Ｃｎ2ｎＣｎ 1 2ｎ 2=(　　 ) .Ａ .0　　Ｂ .2　　Ｃ .12 　　Ｄ .14( 4 )函数ｙ =- 1-ｘ (ｘ≤ 1)的反函数是(　　 )…     

函数y=f(x)的反函数为何要表示成y=f-1(x)形式

现行中学数学试验教材中反函数是这样定义的: 函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C.我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y).如果对y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y).     

由条件f(ωx φ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ…     

浅谈用“方程法”求函数的值域

求函数值域是中学数学中一个重要的问题 ,解决这个问题的方法较多 ,“方程法”就是其中的一种。　　一、用“方程法”求函数值域的解法原理　　所谓“方程法” ,就是运用方程思想 ,将函数 ｙ =ｆ(ｘ)的解析式视为关于ｘ的方程 (ｙ为参数 ) ,根据方程有实数解的条件 ,求出使该方程在函数定义域内有解的所有ｙ值的集合 ,则此集合即为函数 ｙ =ｆ(ｘ)的值域。　　下面证明用“方程法”求函数值域的正确性。　　设集合Ａ为函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域 ,Ｂ为它的值域 ,即Ｂ ={ ｙ|ｙ =ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ａ} ;又设Ｂ1 { ｙ|使“关于ｘ的方程”ｙ =ｆ(ｘ)在…     

数学奥林匹克高中训练题(59)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ　　　　 (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ　 (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 (　　 ) .(Ａ)奇函数　 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ…     

关于直线y=x对称到关于直线y=kx+p对称的图像表达式

从函数的表达式判定其在坐标系中的几何特性是中学生的学习难点之一。现行高中教材里在介绍到反函数部分时 ,也就只证明了互为反函数的两个函数图像关于直线 ｙ =ｘ对称。本文介绍另一个更具有启发性的一种证法 ,并沿着其思想方法探索出一般函数 ｙ=ｆ(ｘ)关于直线 ｙ =-ｘ对称的函数表达式是ｙ =-ｆ- 1(-ｘ) ,最后用代数方法推出关于更一般的直线 ｙ=ｋｘ+ ｐ对称的函数表达式。从方程的观点来看 ,函数与反函数没有什么区别 ,点 (ｘ ,ｙ)满足方程 ｙ =ｆ(ｘ) ,也满足方程ｘ =ｆ- 1(ｙ) ,所以 ,取ｘ为自变量画出的曲线ｙ=ｆ(ｘ) ,若改取 ｙ…     

高考数学强化训练(试验教材)

一、选择题 :本大题共 14小题 ,共 6 0分 .第 ( 1)～( 10 )题每小题 4分 ,第 ( 11)～ ( 14 )题每小题 5分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)如果集合Ａ ={ｙ| ｙ =-ｘ2 1,ｘ∈Ｒ},Ｂ= {ｙ|ｙ=-ｘ 1,ｘ∈Ｒ},则Ａ∩Ｂ =(　　 ) .Ａ .( 0 ,1)或 ( 1,1)　　　Ｂ .{( 0 ,1) ,( 1,1) }Ｃ .{0 ,1}　　　Ｄ .( -∞ ,1]( 2 )设函数 ｆ(ｘ) =1-ｘ1 ｘ的反函数为ｈ(ｘ) ,又函数 ｇ(ｘ)与ｈ(ｘ 1)的图象关于直线ｙ=ｘ对称 ,那么ｇ( 2 )的值为 (　　 ) .Ａ .- 1　　Ｂ .- 2　　Ｃ .- 43　　Ｄ .- 13( 3)函数 ｙ =Ａｓｉ…     

一望而解2002年部分高考题

20 0 2年高考数学试题的解法灵活多样 ,丰富多彩 .其中许多试题不需动笔就能一望而解 ,答案一见得知 .1 活用性质例 1　函数ｙ =2ｘ1 ｘ,ｘ∈ (-1 , ∞ )图像与其反函数图像的交点坐标为 .解　利用性质“函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像和它的反函数ｙ=ｆ-1(ｘ)的图像关于直线ｙ=ｘ对称” ,易知两函数图像若有交点 ,则交点必在对称轴ｙ=ｘ上 ,那么由ｙ=2ｘ1 ｘ=ｘ(ｘ>-1 )即得ｘ=0或ｘ =1 ,从而ｙ=0或ｙ=1 ,故交点坐标为 (0 ,0 ) ,(1 ,1 ) .2 逆向思考例 2　函数ｙ =ａｘ 在 [0 ,1 ]上的最大值与最小值的和为 3 ,则ａ =.简析 :反过来考虑 ,易知 ,函…     

函数值域的求法

一、观察分析法通过对函数的解析式或对应法则的观察分析求值域．例１求函数ｙ＝３ｘ＋１（ｘ∈Ｒ）的值域解：∵ｘ∈Ｒ,由幂函数的性质知３ｘ∈Ｒ,∴函数ｙ＝３ｘ＋１的值域为Ｒ．二、求反函数的定义域如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域上存在反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）...     

“211杯”函数知识竞赛

一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 (　　 ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3}　　Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3}　　Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 (　　 ) .Ａ .ａ =3　　Ｂ .2 <ａ <18　　Ｃ .ａ >2　　Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 (　　 )个 .Ａ .0　　Ｂ .1　　Ｃ .2　　…     

2002年湖南省高中数学奥林匹克

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ　 (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ　 (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 (　　 )…     

求函数定义域、值域典型错解剖析

函数的定义域是函数的要素 ,若对其概念理解不透 ,在解题中很容易造成错解 .下面列举几例加以剖析 .例 1　设函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],求函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域 .错解 :∵ 2 ≤ｘ≤ 3,∴ 4≤ｘ2 ≤ 9.∴函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域是 [4,9].错因 :∵函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],∴函数ｙ =ｆ(ｘ2 )中的变量ｘ2 应属于集合 [2 ,3].显然上面的错解是由于对函数定义域的概念理解不深造成的 .正解 :由 2≤ｘ2 ≤ 3,得 2≤｜ｘ｜≤ 3,即-3≤ｘ≤-2 ,或 2≤ｘ≤ 3.∴函数定义域是 [-3,-2 ]∪ [2 ,3].评注 :求复合函数Ｆ(ｘ) =ｆ[ｇ(ｘ…     

函数f(x)图像与f-1(x)图像交点的性质及其应用

20 0 2年全国高考文科第 (14 )题 :函数ｙ=2ｘ1+ｘ(ｘ∈ (- 1,∞ ) )图像与其反函数图像的交点坐标为 .其答案是 (0 ,0 )、(1,1) .对这道题 ,一般的解题思路是 :先求出其反函数ｙ=ｘ2 -ｘ(ｘ∈ (-∞ ,2 ) ) ,再解ｙ =2ｘ1+ｘ与ｙ=ｘ2 -ｘ组成的方程组即得所要求的交点坐标 .而有的同学的解题思路是 :先解ｙ=2ｘ1+ｘ与ｙ=ｘ组成的方程组 ,认为所求得的解就是所要求的交点坐标 .这种解法虽然简捷 ,结果也正确 ,但不知是否合理 ?下面我们对函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像与其反函数ｙ=ｆ- 1 (ｘ)的图像交点的性质进行一些探讨 ,便知第二种解法有一定的道…     

不可忽视的六类高考数学互化题

历年高考的命题原则是“源于教材 ,而略高于教材” ,故深入研究教材中重要的知识点和典型的思想方法 ,就能优化复习方法 ,提高复习效率 .等价转化的思想是中学数学四大思想方法之一 .本文挖掘出了高中数学教材中六种典型的互化 ,并结合近年高考题说明其应用 .一、原函数与反函数的互化ｙ =ｆ(ｘ) ｘ =ｆ-1(ｙ) (通常写成ｙ =ｆ-1(ｘ) ) ,即通过三部曲 :反解—互换—表定义域 .特别地有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ ,也就是点 (ａ ,ｂ)在原函数上 ,则点 (ｂ ,ａ)一定在反函数图像上 .例 1　 (2 0 0 2年全国高考题 )函数ｙ =2ｘ1 ｘ ｘ∈ (-1 ,…