初等数学中的映射方法及其应用

“映射”从广义上讲就是一种对应。凡是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立一种“对应关系”,就定义了一映射。“映射方法”从广义上讲,就是指实现由未知到已知、由难到易、由繁到简的某种对应方法或变换手段。它不仅提供了思考问题的一种方式,也给出了解决问题的一种     

数学变换与小学数学教学

数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。变换是事物的一种形式或内容换成另一种。数学变换亦称“映射”、“映象”“映照”、“对应”等。     

感悟数学思想（下）

七、类比思想通过比较两类事物相同或相似的属性并由其中一类事物的某种已知属性,去推测另一类事物也具有相同或相似的属性,这是人们认识事物的一种重要思想——类比思想.在数学解题中,类比是一种特殊的思维方式,通过两类问题的类比,可以为我们解决问题提供线索,沟通联系,指出目标,使思维有了方向,能发现问题的解决途径,有利于我们对问题的最后解决.类比思想是数学发现最重要和最基本的方法之一,数学上许多重要定理都是由类比而猜想,由猜想而证明的.类比的思想在某些数学发现中起到了至关重要的作用,是“伟大的引路人”.八、对应思想对应作…     

数学对应思想及其对解题的指导

“对应”是现代数学中重要的基本概念之一,它所反映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学概念与数学方法的基础。“对应”是一个不加定义的概念。其实,古代数学中对应的概念已有萌芽,但不明确,主要源于测量或度量。在测量几何的度量问题时,我们用有刻度的尺,量多少就是多少,刻度尺从某种意义上讲,就蕴涵了“数与点的对应”思想。求多边形的面积,其实质是在多边形的集合与实数集之间建立对应。但它不是一一对应。因为两个不同的多边形的面积可能相等。在数学史上,量长度是在直线上取0为原点,1为单位长,我们就可以在直线上点出2,3,…,还有“几分之几”,这实质上是对直线进行坐标化,点与数一一对应起来,这个理论一直到费马与笛卡尔时代才真正发挥作用,由此建立了解析几何。     

提高学生数学化能力之我见

所谓数学化，从广义上讲，就是人们在观察现实世界时，运用数学的方法来分析研究各种具体现象，并加以整理组织的过程。简言之，数学地组织现实世界的过程就是数学化。从狭义上讲，数学化就是对某一现象或规律用数学的语言来描述的过程。可见，数学化是一切数学应用于实际的“先锋”，没有数学化的材料，就难以运用数学的方法作处理。 一个实际或现实的问题只有数学化后，才有可能用数学的思想方法解决。所以，提高数学化能力至关重要。 首先，从社会的发展对人们的要求看。随着社会的发展，科技的进步，人类已进入信息时代。社会的数字化程…     

基于数学文化,探讨数学创新方式

通过认识和了解苏教版的相关教科书,尤其是苏教版的初中数学教材,我积极探究了初中数学教学的教学方法策略。谈及研究探讨数学创新方式,个人认为有以下三个表现方面可以入手:一、以数学文化为前提,兴趣教学数学作为一种文化,从狭义上讲包括数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展;从广义上讲,还包括了数学家、数学史、数学美、数学教育,以及数学与社会的关联、数学与其他不同文化的联系等等。如何使数学教学变     

高中数学新教材第二章教学问答（一）

27.什么叫做映射 ?答 :映射是高等数学中最基本、最重要的概念之一 .它的定义如下 :设Ａ与Ｂ是两个集合 ,如果按照某种对应法则 ｆ,使得对于集合Ａ中的任何一个元素 ,在集合Ｂ中都有惟一的元素和它对应 ,则称这一对应 (包括集合Ａ、Ｂ以及Ａ到Ｂ的对应法则ｆ)为集合Ａ到集合Ｂ的映射 ,记作 ｆ∶Ａ→Ｂ .如果有映射 ｆ :Ａ→Ｂ ,使得ａ∈Ａ和ｂ∈Ｂ对应 ,则称ｂ为ａ(在 ｆ下 )的象 ,ａ称为ｂ的原象 .对于映射这一概念 ,应使学生明确以下几点 :(1 )映射中的两个集合Ａ、Ｂ可以是数集、点集或由图形组成的集合等 .集合与对应是两个基本数学概念…     

化归思想应用例说

就"化归"的具体应用而言,关键问题是如何把"原问题"转化为"已知模型",也就是说"化归过程".数学中用以"化归"的方法很多,这里仅对几种常用到的方法进行介绍. 1.映射法.什么是"映射"?笼统的说,是指两类数学对象或两个集合的元素之间建立某种"对应关系".它的解题过程是:首先通过映射将原来问题转化为问题乙,然后在求得问题乙的答案乙后,利用逆映射再求原问题的答案.     

让学生在数学文化的氛围中感受数学美

“数学文化”即数学的思想、精神、方法、观点、语言及其它们的形成和发展；从广义上说，还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分以及数学与各种文化的关系。在我看来，狭义的数学文化犹如小家碧玉，需要仔细雕琢与思量；广义的数学文化犹如大家之风范，沁人心脾。在缺乏数学文化的课堂中，唯有单一的知识传授和干瘪的思维训练，而缺乏一种灵性、一种美感，一种穿越时空溯源历史的灵动感。     

高等数学教学中方法性数学思维模式构建

李政道先生说过:“中国历来是讲究做‘学问’,现在学生只是作‘学答’”。在我们的数学课堂上,更多地是教会学生作“学答”,而不是做“学问”。让学生对数学思维方式发生兴趣,形成方法性数学思维模式,由学会数学到会学数学,将是一件大工程。一、方法性数学思维内涵我国著名学者徐利治先生于20世纪80年代提出了关系映射反演方法,是一种分析处理问题的普遍方法,属于一般科学方法性质范畴的一种工作原则,这种方法或原则包括对所要研究的问题中的关系结构,采取映射和反演两个步骤去解决问题。凡是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立了…     

用映射法解题

(本讲适合高中)对应是数学上一个极为重要的概念,而映射则是一种特殊的对应.利用映射的思想解题,使所研究对象的集合对应于一个熟知的集合,把复杂的问题化为较易解决的题目,     

配对原理(映射法计数)

(本讲适合高中 )1　知识与方法定义 1　设Ｘ和Ｙ是两个集合 (二者可以相同 ) ,如果对于每个ｘ∈Ｘ ,都有惟一确定的ｙ∈Ｙ与之对应 ,则称这个对应关系为Ｘ到Ｙ的映射 ,记为ｆ∶Ｘ→Ｙ .这时ｙ=ｆ(ｘ)∈Ｙ称为ｘ∈Ｘ的像 ,而ｘ称为ｙ的原像 .特别地 ,当Ｘ和Ｙ都是数集时 ,映射ｆ称为函数 .本讲主要介绍有限集上的映射及其性质 ,这在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广 ,是参赛者必不可少的预备知识 .这里 ,我们用 |Ａ|表示集Ａ的元数 .定义 2　设ｆ为从Ｘ到Ｙ的一个映射 .( 1 )如果对于任何ｘ1、ｘ2 ∈Ｘ ,ｘ1≠ｘ2 ,都有ｆ(ｘ1)≠ｆ(ｘ2 ) …     

变换与化归

变换是数学中最常用、最重要的一种思想方法。通过各种变换,常常可以把复杂或未知转化为简单和已知,从而达到化归的目的。“‘变换’,亦称‘映射’、‘映象’、‘映照’、‘对应’等。设 A 与 B 是两个集,如果按照某个对应法,使 A 的每一个元素在 B 中有一个确定的元素与它对应,称这个对应法为从 A 到 B 的‘变换’。”(《辞海》,一九七九年版)初中数学没有也不可能介绍变换的这     

合情推理在中学数学教学中的应用

合情推理是相对演绎推理而言的，从本质上讲，合情推理就是由特殊的、具体的认识推广到一般的、抽象的认识，或从两类不同的事物之间进行对比，发现他们的相同或相似之处的一种思维方式．其主要形式是归纳与类比．与演绎推理相比，在数学教学中，合情推理能够培养学生的发散性思维能力，提高学生“洞察”问题的能力，极大地激发学生的学习兴趣，调动学习数学的积极性，有利于培养学生的创新精神和创造能力．     

浅谈中学数学中的化归思想

笛卡儿认为,任何问题都可以化为数学问题。这里的“化”意为“化归”,善于使用化归是数学家思维方式中的一个重要特点,可以这样说,化归思想是解决数学问题的最基本的思想。化归,就其本意而言,就是转化和归结。数学思想是指观察、判断、分析、解决问题的数学意识。数学化归,广义上讲是一种数学思想,即化归思想;狭义     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考

1 一般化、特殊化的基本认识 1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 郑毓信、梁贯成老师在《认知科学、建构主义与数学教育》一书第二章第二节“高层次数学思维的研究”第115页中指出，“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用。具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式。     

一次学科整合的有效尝试——从《北京的春节》教学谈起

何谓学科整合？从广义上讲是指将两种或两种以上的学科,融入到课程整体中去,改变课程内容和结构,变革整个课程体系。从狭义上讲,就是将两种或两种以上学科,融合在一起进行教学,强调把知识作为一种工具、媒介和方法融入到教学的各个层面中,培养学生的综合实践能力。本文所阐述的学科整合指的是后一种,是学科教师通过努力可以实现的一种教学方式。     

数学认识论的历史及其发展趋势

从数学基础研究的角度看，数学认识论的发展经历了从数学基础主义的“确证”观到庞加菜、皮亚杰等人的数学的“发现”的认识观，直至数学社会学理论中所强调的“确证”与“发现”相结合的数学认识观。数学观有由“绝对主义”向“可误主义”或“拟经验主义”转变的发展趋势。     

浅析特殊化思想在中学数学中的应用

数学大师希尔伯特曾讲：“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用,这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一．”特殊化思想方法,是在解决一些较为抽象复杂的数学问题时,先考虑简单情形,或者考虑特殊对象、特殊位置,或者考虑极端情况,将抽象问题放到简单背景下去考虑,从对特殊对象的研究中找出一般规律,最终完成从具体到抽象、从局部到整体的思维过程的一种数学思想方法．     

高中数学研究性学习的教学思考

一、数学研究性学习的教学含义 研究性学习．广义理解是指一种学习理念策略,基本思想及方法论;从狭义角度讲它是一门独立的,与学科课程并列的课程形态．数学研究性学习。是指对某些数学问题的深入探讨,或者从数学角度对某些日常生活或其他相关学科中出现的问题进行深入研究探索．