具有多偏差变元二阶中立型方程周期解问题

利用重合度理论,讨论了含有变时滞的一类二阶中立型泛函微分方程：d^2/dt^2[x（t）-kx（t-τ（t））]＋∑i=0^m αi（t）f（x（t））,x（t-μi（t）））＋∑i=0^m βi（t）g（x（t-γi（t）））=p（t）周期解存在性问题,得到了周期解存在的充分条件．     

奇阶混合型微分方程振动的新判据

讨论一类奇阶混合型微分方程[x（f）＋ax（t-τ）-bx（t＋σ）]^（n）＋δ（qx（t-g）＋px（t＋h））=0．给出方程的一切解均为振动的充分条件．其中a,b,q,p,τ,σ,g,h为正常数,δ=±1,n为奇数．     

一类含有概周期强迫项的二阶非线性系统的概周期解

主要研究一类含有概周期强迫项的二阶非线性系统,即二阶非线性方程x″＋cx′＋g（t,x）=p（t,x（t-τ））的概周期解.在参考有关文献资料的基础上,将文献[9]研究的二阶非线性方程x″＋cx′＋g（x）=p（t）进行适当的推广.利用文献[10]中给出的证明方程概周期解存在性的方法,即指数型二分性和压缩映射原理研究二阶时滞微分方程x″＋cx′＋g（t,x）=p（t,x（t-τ））概周期的存在性,得到了某些充分条件,这些条件直接与方程的系数建立联系,推广了某些已有的结果。     

逐段常变量微分方程的伪ω周期解

给出了运段常变量微分方程y（t）=A（t）y（t）＋B（t）y（[t]）＋fCt）的伪ω周期解存在唯一性的充分条件。     

一类三阶泛函微分方程的周期解

利用重合度理论,研究了一类三阶泛涵微分方程x＇＇＇（t）＋a1[x”（t）]^k＋a2[x＇（t）]^k＋a3[x（t）]^k＋f（t,x（t）,x（t—τ））=p（t）的周期解的存在性,得到了周期解存在的充分条件。     

一类带有p—Lapcaian算子Lienard型泛函微分方程周期解的存在性

主要利用Mawhin连续性定理,讨论了一类具有多个变时滞的p—Lapcaian型中立型Lienard泛函微分方程：（φp（x（t）-cx（t-σ））＇）＇＋f（x（t））x＇（t）＋i=1∑ngi（t,x（t-τi（t）））=e（t）周期解的存在性并举例说明结果的有效性。     

一类高阶非线性泛函微分方程的强迫振动性研究

大讨论了一类高阶非线性微分方程x^（n）（t）＋p（t）f（t,x（t）,x^（n-1）（t）-q（t）｜x（s）｜^λsgn x（t）=m（t）的强迫振动性。建立了该方程的几个振动性定理,并用相同的方法讨论了高阶中立型时滞微分方程[x（t）＋cx（t-τ）]^（n）＋a（t）x（t）＋b（t）x（t-τ）=m（t）＋q（t）｜x（t）｜^λsgn x（t）＋α（t）｜x（t-τ）｜^σsgn x（t-τ）解的振动性。     

x^2＋（p＋q）x＋pq型式子的分解

形如x^2＋（p＋q）x＋pq的二次三项式,常用分组分解法分解：x^2＋（p＋q）x＋pq=x^2＋（p＋q）x＋pq=（x^2＋px）＋（qx＋pq）=x（x＋p）＋g（x＋p）=（x＋p）（x＋q）．当p=q时,这个二次三项式相当于完全平方式x^2＋2px＋p^2或x^2＋2qx＋q^2通过观察可知,二次项的系数是1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和．一次项系数的规律是：常数项是正数时．     

一类二阶微分方程解的行为

考虑时滞微分方程x＇（t）＋px（t-τ）一qx（t-σ）=0的振动性,获得了此方程的所有有界解振动的充分必要条件．     

高阶非线性中立型微分方程解的振动性

给出了不稳定型阶超线性时滞微分方程[x（t）-px（t-τ）]^（n）=q（t）｜x（t-σ）｜^βsign[x（t-σ）]．t≥t0所有有界解振动的充要条件．这里n≥1为偶整数,β〉1,τ〉0,σ〉0,和0〈p〈1,q∈C（[t0,∞）,[0,∞））．     

一阶线性时滞微分方程的振动准则

给出了时滞微分方程x′（t）＋p（t）x（t-τ（t））=0的一个新的振动准则，该微分方程中p，τ∈C（[0，∞），[0，∞）），函数T定义为T（t）：t-τ（t），t≥0函数T的递增函数且有limt→∞=∞.该振动准则可运用于当inft→∞∫^t T（t）p（s）ds≤1/e时的情况．     

一类偏差变元偶数阶p-Laplacian中立型微分方程周期解的存在性

利用Mawhin连续性定理,研究一类含偏差变元偶数阶p-Laplacian中立型微分方程（）φp（）x（t）-cx（t-δ）（n）（n）=f （x（t））x＆#39;（t）＋g？＆#232;？？t,x（）t-τ（）t,｜x｜∞,｜x＆#39;｜∞＋e（t）.获得其周期解存在性新的充分条件．值得注意的是g（t,x）关于x的增长级允许超过p-1.     

错在哪里？

1 陕西师范大学附中 申祝平 （邮编：710061） 题设z、Y∈R,且2x^2＋3xy十2y^2=1,试求xy＋x＋y的取值范围．解命S=xy,t=x＋y,u=xy＋x＋y=s＋t,则有2x^2＋3xy＋2y^2=1→2t^2-s=1.u=s＋t=st^2＋t-1=2（t＋1/4）^2-9/8.故xy＋x＋y的取值范围为[-9/8,＋∞）．解答错了!错在哪里？ 错解 求函数u=2（t＋1/4）^2-9/8的值域时,没有考虑自变量t（即x＋y）的聚会范围!     

不能忽视函数定义域的作用

作为函数三要素之一的定义域,它直接制约着函数的解析式、图象和性质。在解函数问题时,不少学生往往会忽视甚至无视定义域的作用,从而导致错误的发生。本文试举例说明,以期引起大家的注意和重视。例1已知f（槡x＋1）=x＋2槡x,求f（x）。错误解法：设槡t=x＋1,则槡x=t-1,x=（t-1）2。于是f（t）=（t-1）2＋2（t-1）=t2-1,f（x）=x2-1。     

一类高阶时滞泛函微分方程解的振动性

研究了一类高阶时滞泛函微分方程x^（n）（t） ＋p（t）x（t-τ） =0解的振动性，其中，n≥2是偶数。p∈C（ [t0 ＋∞）），获得了一个新的振动性条件；     

二阶不稳定中立型时滞微分方程的无界正解的存在性

考虑二阶不稳定型中立型时滞微分方程[x（t）-p（t）x（t-τ）]″=q（t）｜x（t-σ）｜^α-1x（t-σ），t≥t0，其中α〉1，τ〉0，σ〉0，且p，q∈C（[t0，＋∞），R^＋）获得了该方程的一个无界正解，推广了文献中的结论。     

非局部波动方程组解的全局存在性与爆破问题

本文主要处理非局部波动方程组解的全局存在与爆破问题,考虑如下非局部波动方程组的初值问题：{δ^2u1/δt^2=δ^2u1/δx^2＋‖u2（·,t）‖p1,δ^2u2/δt^2＋‖u3（·,t）‖p2,δ^2u3/δt^2=δ^2u3/δx^2＋‖u1（·,t）‖p3,-∞〈x〈∞,t〉0 ui（x,0）=fi（x）,δui/δt（x,0）=gi（x）,i=1,2,3,-∞〈x〈∞ 这里0〈p1,p2,p3〈＋∞,‖ui（·,t）‖=∫-∞^＋∞ φi（x）｜u（x,t）｜dx,i=1,2,3,其中φi（x）≥∫-∞^＋∞ φi（x）dx=1,i=1,2,3。所有这些初值函数都为连续的且｜fi（x）｜＋｜gi（x）｜恒不等于0,i=1,2,3.根据对称性,本文假定p1≤p2≤p3.     

高屋建瓴 势如破竹——函数凹凸性在解题中的应用

某市模拟考试中，将2006年四川省高考题改编得如下一道题目： 已知函数f（x）=x^2＋2x＋αlnx。（1）若f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数α的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数α的范围。[第一段]     

一类时滞Duffing方程周期解问题

利用重合度理论研究一类时滞微分方程ax＇＇（t）＋f[x＇（t）]＋h[x（t）]＋gl∫-τ^0x（t＋s）dm（s）]=p（t）周期解的存在性,得到了该方程存在T（T〉0）周期解的充分性定理.     

一道高三调考题的繁解、错解、简解

[问题]（武汉市2007年高三二月调考理科数学第21题） 已知函数f（x）=x^2＋2x＋alnx. （1）若函数f（x）在区间（0,1]上恒为单调函数,求实数α的取值范围; （2）当f≥1时,不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立。求实数α的取值范围．