求二次函数在闭区间上的最值问题

<正>二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在中学数学中的地位非常重要,它的单调性由a、b决定,即当a>0时,f(x)在(-∞,-b2a]上单调递减,在[-b2a,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,-b2a]上单调递增,在[-b2a,+∞)上单调递减.它的单调性比较复杂,因此对于求二次函数闭区间上的最值问题,特别是含参数的最值问题较麻烦,一直是高中数学中的难点.下面笔者分     

函数单调性的八种理解及应用

函数的单调性可以从八个方面理解 ,且每一种理解都有其应用价值 ,分述如下 :设函数 y=f(x)的定义域为 1 ,D为I内的某个区间 .1　宏观理解在区间D上 f(x)的图象上升 (下降 ) f(x)是区间D上的增函数 (减函数 ) .例 1　已知a0 ,那么｜f(x) ｜在区间 [a ,b]上 (　　 )A 单调递减 ,且 f(x) >0B .单调递增 ,且 f(x) >0C .单调递减 ,且 f(x) <0D .单调递增 ,且 f(x) <0解　取a =- 3,b=- 2 ,利用数形结合画出示意图 ,观察图象知｜f(x) ｜在区间 [-3,- 2 ]上单调递增且…     

巧用增量法解抽象函数的单调性问题

抽象函数问题是函数中综合性、技巧性、灵活性都比较强的问题,而函数的单调性又常常是解决此类问题的关键.笔者通过研究发现,巧用增量法,是解决此类问题的一大法宝,现举例说明. 一、"差"型增量 [例1]定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y).试判断函数f(x)在R上的单调性.     

函数单调性质应用的探究

设函数f(x)定义在区间I上且x1,x2∈I,则①若函数f(x)在区间I上是单调增(或减)函数,则x1f(x2)).②若函数f(x)在区间I上是单调函数,则x1=x2f(x1)=f(x2).③若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=0在区间I上至多有一个实数根.④若函数f(x)与g(x)的单调性相同,则在它们公共的定义域内,函数f(x) g(x)亦与它们的单调性相同.⑤复合函数y=f(u)(u=g(x))的单调性适合“同增异减”规律,即若f(x)与g(x)的单调性相同(或相异),则y=f[g(x)]为增(或减)函数.⑥互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性.运用…     

合理“巧设”轻松求解导数题

<正>高考中经常把导数作为压轴题出现,其难度是显而易见的。那么怎么来处理这种高难度的导数题呢?下面就来对此类题的解法作一个探究。1.根据函数的单调性巧设自变量例1已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且_x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,则方程f(x)-f′(x)=2的实数解所在的区间是()。     

三次函数图象的对称中心的探究引申和应用

三次函数图象的对称性是高考的热点问题,任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”(-b/3a,f(-b/3a)),且“拐点”就是对称中心;对称中心在导函数y=f′(x)的对称轴上;若三次函数y=f(x)的两个极值点为x1,x2,设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则三次函数f(x)的对称中心是线段PQ的中点;通过引申更得出具有对称中心的单调函数的重要性质.这些性质在高考中广泛的应用.     

一道二次复合函数单调性的错解剖析

二次复合函数单调性是高考的热点之一,但求解中对复合函数单调性的判定方法:“由里到外,同增异减”的理解和应用误区颇多,本文举一例说明求二次复合函数单调区间的错因及正确解法.题目函数 f(x)=(x-1)~2 2,g(x)=x~2-1,求函数 y=f[g(x)]的单调区间.错解1 因为函数 f(x)=(x-1)~2 2在(1, ∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减;函数 g(x)=x~2-1在(-∞,0)上单调递减,在     

例析导数法在高考复习中的严谨性的缺失

正1."单调性概念理解"的严谨性缺失书本定义:设定义在某区间上的函数y=f(x),如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.理解这正是我们同学用来解决求函数单调区间的依据,但同学们往往忽略了这只是函数在这个区间上单调递增或递减的一个充分条件,而并非必要条件.     

2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明.     

利用导数判断函数的单调性

确定函数f(x)在区间(a,6)上的单调性,一般都是根据函数单调性的定义作判断.但是,用导数法判断函数的单调性比用定义法更简捷更有效. 设函数f(x)在某个区间内可导,如果f’(x)>0,则f(x)为增函数;如果f’(x)<0,则f(x)为减函数.简言为:导数为正,函数为增;导数为负,函数为减.这个定理是利用导数判断单调性的理论依据.     

导数与函数综合题一例

导数在函数中扮演着举足轻重的角色,它是研究函数的一个有力工具,最近几年已成为命题者乐此不疲的热点.题目已知函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a、b、c、d∈R,且a≠0)是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A、B、C三点.若点B的坐标为(2,0),且f(x)在区间[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在区间[0,2]和[4,5]上的单调性相反.(1)求c的值.(2)f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使f(x)在点M处的切线的斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)求|AC|的范围.解:(1)f′(x)=3ax2 2bx c.由f(x)在区间[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性,得x=0必为f…     

如何利用导数解决函数的单调性问题

函数的单调性是函数最重要的性质之一,而利用导数解决函数的单调性问题,是近几年高考考查的重点和热点之一,也是学生感到比较棘手的一类问题.该类问题主要有两种类型:一是利用导数判断函数的单调性;二是由函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.类型一利用导数判断函数的单调性解决此类问题的依据是:设函数f(x)在某个区间(a,b)内的导数为f’(x),则(1)若f’(x)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内递增;     

2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

判断函数单调性四法

一、定义法设x1,x2是函数f(x)定义域上的任意两个数,且x1f(x2),则此函数为减函数. 例1 (2001年春季高考题)设函数f(x)=x+a/x+b(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.     

函数基本性质的应用

<正>函数是高中数学的基础,对函数性质的考查一直都是高考命题的热点。因此,熟练掌握函数的基本性质,并运用这些性质去解决实际问题显得尤为重要,本文将对函数的单调性和奇偶性在解题中的应用进行探索。一、函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式:设x_1,x_2∈[a,b],则(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0x_1-x_2f(x_1)-f(x_2)>0f(x)在[a,b]上是增函数;(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0     

y=Asin(ωx+φ)题型的分类与解析(高二、高三)

函数y=Asin(ωx+φ)是课本上研究的一个重点.高考命题时,也常以此函数为背景编制高考题,常见形式有下述几种: 1.单调性,单调区间例1 函数f(x)=Msin(ωx=φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( ) (A)是增函数. (B)是减函数. (C)可以取得最大值M.     

函数的性质考点揭示

函数的性质,主要指函数的单调性、奇偶性和周期性.它们的应用往往是一个问题中综合了几个性质,甚至渗透或涉及到其它的知识体系.这样,函数的性质就自然又成为了高考的难点.因此,利用函数的性质解决具体问题时,要注重研究其内在联系,揭示其规律,掌握其最有效的解题方法.一、函数单调性的三点注意1.函数的给定区间上的单调性,反映了函数在区间上的函数值的变化趋势.在定义的使用中,要注意x1、x2的任意性,切不可用特殊值代替.例1求证函数f(x)=ex e1x在(0, ∞)上是增函数.【考点揭示】本题重在考查单调性定义的使用,即在定义域内某区间任取x1、x…     

单调函数一个性质的应用(高一、高二、高三)

由函数单调性的定义可知:若函数y=f(x)在区间I上单调,且x1、x2∈I,则f(x1)=f(x2)-x1=x2.根据问题的特点,构造恰当的函数,利用以上性质可以解一类求值题.     

2011年江苏高考数学卷第19题第二小问的别解及思考

题目:已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax,g(x)=x2+bx,f’(x)和g’(x)是f(x),g’(x)的导函数,若f’(x)g’(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设a<0,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.     

正弦余弦曲线对称问题的解法

高考中有关正弦(余弦)曲线有两类对称问题:中心对称和轴对称.本文给出求解这两类对称问题的若干方法. 例1 (2003年高考题)已知函数f(x)=sin(ωx φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值. 解法1:定义法.由f(x)是偶函数,知有