抛物线的焦点弦问题

一、有关概念1.抛物线上任意两点之间的线段,叫做抛物线的弦, 经过抛物线的焦点的弦,称为焦点弦.垂直于轴的焦点弦叫做抛物线的正焦弦. 2.从抛物线上任一点M(x0,y0)到焦点F的距离r,称为抛物线的焦点半径(如图1).根据抛物线的定义,抛物线的焦点半径等于M到准线的距离d.即|MF|=r=d=x0 P/2.     

如何用好抛物线的焦半径与焦点弦解题

<正>许多抛物线问题的解答都牵扯着一个重要的因素,那就是抛物线的焦点,而抛物线的焦点往往又会联系到抛物线的定义,由此会产生一系列问题,诸如焦点弦的弦长问题、焦点弦的弦所在的直线方程问题、抛物线方程问题等。一、焦半径与抛物线定义结合求值例1已知F是抛物线y²=x的焦点,     

圆锥曲线中的相切美

给宝抛物线y2=2Px,P1P2是过抛物线焦点F的任意一条弦,我们可以得到如下有趣的结论．1、以焦点弦P1P2为直径的圆C恰与抛物线的准线l相切·如图1。分析：只要证明圆心C到准线的距离等于国的半径r．证明：作垂足分别为Q1,Q2,Q0根据梯形中位线定理和抛物线的定义得到：2、分别以焦半径FP1,FP2为直径的国C1和圆C2恰与y轴相切。如图2。证明：不妨设只,民的坐标分别为（x1,y1）．(x2,y2)设P1F的中点为C1,圆C1的半径为rl．这就说明回C1与y轴相切。同理可证国CZ与y轴相切·3、以马岛为直径的国必与焦点弦P人相切,且切点为抛物线的焦…     

解析几何中与焦点相关的常用结论

解析几何中涉及焦点及焦半径(椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线)、焦点弦(经过焦点的弦)的有关问题是一类基本的、常见的问题.对于这类问题,我们一般利用第一、第二定义,正、余弦定理等方法求解,熟练掌握有关结论并能加以灵活运用,将有效提高解题速度.     

抛物线焦点弦的常见性质

过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作一直线交抛物线于点P,Q,称线段PQ为抛物线的焦点弦,线段PF和QF分别为过点P,Q的焦半径,又过P,Q作准线l的垂线,垂足为A1,A2,又交y轴于点C,D,准线l与x轴交于点E,如图1.     

圆锥曲线焦点弦长的三角计算公式

我们知道，圆锥曲线上一点与焦点的连线称为焦半径．因此，圆锥曲线的一条焦点弦被该焦点分成两条焦半径（焦点可以是内分点，也可以是外分点）．在旧版高中教材中，用圆锥曲线的极坐标方程研究焦半径和焦点弦是比较方便的．现行新教材删去了极坐标内容，但我们仍然可以用新教材的观点和方法推导出使用方便、记忆简单的焦半径和焦点弦的三角形式的公式．     

基于课本挖素材,探究结论巧应用——椭圆、抛物线中与焦半径和焦点弦长有关的问题探究

数学课本是教师教学、学生学习的主要载体.在数学学习中,如何充分挖掘课本素材,探究素材背后隐藏的二级结论?如何利用二级结论,巧妙解决高考试题?笔者以椭圆、抛物线为载体,基于课本素材,探究椭圆、抛物线中与焦半径公式和焦点弦长有关的问题;以高考真题为载体,分析其在高考中的应用.     

统一定义在焦点弦相关问题中的妙用

过圆锥曲线焦点的弦称为焦点弦,关于焦点弦问题,除了运用弦长公式外,常利用过焦点的特点,即用圆锥曲线统一定义求出焦半径,从而得到焦点弦的长,也可使与焦点弦相关的问题获得简解,达到优化解题、提高解题效率的效果.圆锥曲线的统一定义:与定点(焦点)的距离与对应的一条定直线(准线)的距离的比等于常数(离心率e)的点的轨迹为圆锥曲线,当01时轨迹为双曲线,当e=1时轨迹为抛物线.     

圆锥曲线焦半径公式的应用

我们知道,二次曲线上任意一点P到焦点F_1或F_2的距离叫二次曲线的焦半径. 椭圆、双曲线、抛物线焦半径公式如下: 椭圆     

焦半径公式在2000年高考题中的应用

焦半径是指圆锥曲线上任一点到焦点的距离.设 P(x_0,y_0)为圆锥曲线上任一点,则其对应于抛物线、椭圆、双曲线的焦半径分别有如下结论:1.设抛物线y~2=2px(p>0)     

圆锥曲线重要几何量问题的求解

纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题 ,圆锥曲线是命题的热点之一 ,而且比较接近高考 .在圆锥曲线中 ,焦半径、焦 (顶 )点弦长、焦 (顶 )点三角形面积等是非常重要的几何量 ,也是各类竞赛的重点 .为此 ,本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略 .一、基础知识1.圆锥曲线定义、方程、基本元素ａ、ｂ、ｃ、ｅ、ｐ之间的关系 ,焦半径以及一些重要公式 .2 焦点弦长 :ＡＢ是经过圆锥曲线 (指的是椭圆ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ >0 )、双曲线ｂ2 ｘ2 -ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >0 ,ｂ >0 )、抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 …     

抛物线焦点弦的若干性质

二次曲线是高中解析几何的核心内容,抛物线是常见的二次曲线之一.在与抛物线有关的问题中,过抛物线的焦点的弦的问题是十分常见的,本文介绍若干有关抛物线的焦点弦的性质.性质1:已知抛物线y~2=2px,焦点弦P_1P_2⊥x轴,则:|P_1P_2|=2p     

圆锥曲线一个结论的推导及应用

圆锥曲线中与焦点弦有关的问题历来是高考考查的热点.本文给出焦点弦的倾斜角、两个焦半径、离心率这三者之间的一个重要结论,并举例说明在高考中的妙用.     

抛物线的切焦线定理

圆的切割线定理是一个众所周知的结论，那么抛物线是否也有类似的结论呢？本人经过探索，发现确实有一个很优美的结论．由于是和切线与焦半径、焦点弦有关，我们暂时就把它叫做抛物线的切焦线定理，下面就对标准位置的情形作一研究．     

以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系——由新课标苏教版的一道习题引发的反思

习题经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线与抛物线相交于P1、Q1两点,求证:以线段P1Q1为直径的圆与抛物线的准线相切.证明设P1Q1的中点为M,点P1、Q1、M在抛物线准线上的射影分别为点P2、Q2、N,则P1P2=P1F,Q1Q2=Q1F.因为MN是直角梯形P1Q1Q2P2的中位线,所以MN=1/2(P1P2 Q1Q2)=12(P1F Q1F)=1/2P1Q1,圆心M到准线的距离等于圆的半径,所以此圆与准线相切.结论以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线相切.反思1若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应的准线相切,那么此圆锥曲线是否是抛物线?判断设圆锥曲线的焦点F,过焦点的弦为PQ,…     

抛物线的焦点弦的性质知多少

在高中数学中,把过抛物线焦点的直线与抛物线相交得到的弦长称为抛物线的焦点弦.而关于抛物线焦点弦的性质是高考必考考点之一,所以掌握抛物线焦点弦的性质就非常重要.那么,它的性质到底有多少呢?我们先来看下面的例题:     

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的线段统称为它的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式,下面是用处较多的椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式:1)对于椭圆ax22 by22=1(a>b>0)而言,焦半径公式为:|PF1|=a ex,|PF2|=a-ex.2)对于双曲线ax22-by22=1(a>0     

圆锥曲线的焦点问题例析(二)

三、圆锥曲线的焦点弦问题过焦点的直线与圆锥曲线相交,两个交点的线段叫焦点弦,与焦点弦有关的圆锥曲线问题常用定义(特别是第二定义中的焦半径公式)把问题转化.1.如果弦MN过椭圆的焦点F1,设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=a ex1 a ex2=2a e(x1 x2).【例6】设椭圆方程为ax22 by22=1     

一类活用焦点弦命题巧变的思考

圆锥曲线是高中数学的重要内容,而活用焦点弦诸多独特性质解决应变问题成批。例如: 1.圆锥曲线是抛物线的充要条件是焦点弦为直径的圆与准线相切。 2.已知y~2=2px的焦点弦一端过A(3,23~(1/2)),则此焦点弦方程为y=3~(1/2)·(x-1);若此焦点弦为入射光线,则其反射光线的方程如何? 3.已知抛物线的顶点是椭圆16x~2+25y~2=400的右焦点,且两曲线的公共弦过抛物线的焦点,则此抛物线方程如何?     

椭圆的另一个焦半径公式及其应用

<正>我们知道,如果焦点在x轴的椭圆上动点P横坐标为x0,F_1,F_2为左、右焦点,那么椭圆的焦半径公式为PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,对这一公式及其应用通常都很熟悉.然而在一些高考试题中,对椭圆焦半径另一公式考查较多.而考生因对此不熟悉,导致在解涉及椭圆焦半径相关问题时,往往感到困难,无从下手,失分较多.椭圆焦半径及弦长问题,多涉及三角、离心率、直线斜率(或倾斜角)等高