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本文利用分段函数的几个结论,智解第十一届“希望怀”全国数学邀请赛的有关试题. 结论1若分段函数F(X)= f(X)(x ≤ a)存在反函数,则它的反函数可表示为F-1(X)= g-1(X)(g(X)的值域). 例1(高一第一试题) x2(x≤0)函数y=2-X-1的反函数是 2-X-l(x > 0) 用当X≤0时,y=X2的反函数为 y=-X(x≥0); 当X>0时,y=2-X-1的反函数为 y=-log2(x+1)(-1<X < 0). 故原国数的反函数是 1一J工k>0〕. I--looZ(x+1)(1<x<… 相似文献
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题目:求函数f(x)=|x-a1|+|x-a2|与g(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|的最大值和最小值,其中a1,a2,a3都是常数,且a1<a2<a3.分析:此两函数的定义域是全体实数,且f(x)>0,g(x)>0,所以它们都只有最小... 相似文献
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求函数值域的方法较多,但在使用这些方法过程中,学生常常会出现一些错误,如忽视定义域、忽略变形过程中自变量取值范围的扩大,盲目使用一些常用方法等,现举例说明.1 忽视中间变量的取值范围例1 求函数y=arcsin(x2-x+1)的值域.错解 由-1≤x2-x+1≤1,得0≤x≤1.∵ 当x∈[-1,1]时,arcsinx∈-π2,π2,∴ -π2≤arcsin(x2-x+1)≤π2.所求函数值域为-π2,π2.剖析 上述解法忽视了中间变量x2-x+1的取值范围.事实上x2-x+1=x-122+34… 相似文献
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王启龙 《中学数学教学参考》1998,(4)
一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目:已知a,b∈R,且a+b+1=0.求证(a-2)2+(b-3)2≥18.证明一:综合法∵若x,y∈R,则有x2+y2≥(x+y)22.当且仅当x=y时取“=”.又∵a+b+1=0,∴(a-2)2+(b-... 相似文献
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1引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 f(x)=ax2 bx c,那么对 x∈R,恒有 f(x 3) -3f(x 2) 3f(x 1) - f(x)=0(1)解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察(1)的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 f(x)=ax2 bx c ,n为自然数 ,g(x,n)=Cnnf(x+n)+Cnn-1f(x+n-1)(-1)+ … +Cn1f(x+1)(-1)n-1+Cn0f(x)(-1)n (2)试求 g(x,3)的值 .自然提出 :(A)当 f(x)=ax2 bx c时 ,… 相似文献
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一、含有绝对值的一次函数的图象例1画出下列各函数的图象.(1)y=12|x|+1;(2)y=|2x+1|+|x-1|.解:(1)原函数可化为y=12x+1,(x≥0),-12x+1.(x<0).因此,原函数图象是由射线y=12x+1(x≥0)和y=-12x+1(x<0)组成的一条折线,转折点是(0,1),如图(1).整个图象关于y轴对称.(2)当x≤-12时,y=-(2x+1)-(x-1)=-3x;当-12<x≤1时,y=2x+1-(x-1)=x+2;当x>1时,y=2x+1+x-1=3x.即… 相似文献
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本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题,供参考. 例1已知函数f(x)满足f(x+a)= (a为常数,且a≠0),求证:函数 1-f(x) f(x)是周期函数. 分析:观察式子的特点,易知函数f(x)的 原型是y=tgx,且tg(x+)=,而4 × =π正是函数y=tgx的周期,故我们可以猜 测4a为函数f(x)的周期. 证明:f(x+2a)=f[(x+a)+a]= 1-f(x+a) f(x+4a)二f[(x+2a)+2a]= 即f(x+4a)=f(x),所以函数f(x)是周 期函数. 例2… 相似文献
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李文仅就解答有关最值习题时的几种常见错误举例剖析如下:1 配方法例1 若x,y∈R+,且x+y=4,求x2+y2+x2y2的最大值。错解 x+y=4x2+y2+x2y2=(xy)2-2xy+16=(xy-1)2+15这函数不存在最大值,只有当x·y=1时,x2+y2+x2y2取得最小值15。剖析 由已知x,y∈R+,且x+y=4得,0<xy≤(2)2=4.当日仅当x=y=2时等号成立。欲(xy-1)2最大,即|xy-1|最大,故正确的答案为:当xy=4,即x=y=2时,x2+y2+x2y2取得最… 相似文献
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刘文武 《黔南民族师范学院学报》2000,(3)
宋庆先生在《一个新发现的代数不等式》(见数学通讯1999年第6期)一文中得到如下定理及推论: 定理 若x,y,z是正数,则 xn(x- y)+ yn(y-z)+ zn(z-x) ≥(1)其中n≥0;当n≤0时;不等式(1)反向,等号当且仅当x=y=z或n=0时成立 推论若x,y,z是正数,则 xn(y+z-2x)+yn(z+x-2y)+zn(x+y-2z)≤(2)其中n≥0;当n≤0时,不等式(2)反面,等号当且仅当x=y=z或n=0时成立。 本文目的是将不等式(1)与(2)进行推广,得到相应的两个不等… 相似文献
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曾灼华 《广东教育学院学报》1996,(3)
本文考虑利用Gauss求积公式Qn(f),n∈N来逼近定积分I(f)=w(x)f(x)dx。其中权函数w(x)=W(x)/p(x),p(x)=(2b+1)x2+b2,b>0和W(x)=(1-x)α·(1+x)β=,α,n>1。误差函数Rn(f)=I(f)-Qn(f),在某些解析函数空间是连续的。对于满足限制条件的权函数,我们得到了计算误差函数Rn(f)的明显表达式。若α=β=和n>1时,若和α=β=和n>1时,若和α=-β=和n>2时, 相似文献
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1 问题提出《数学通报》1995年第8期问题969题:已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:3-3<1-3a2+1-3b2+1-3c2≤6.已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔1〕~〔4〕,但对其下界却少有研究.我们自然要问:其下界的求解方法可否优化?为便于说明,不妨摘抄原文如下:图1对于函数y=1-3x2,它的图像是椭圆3x2+y2=1(x>0,y≥0)在第一象限的部分,是凸的.过A(0,1)、B33,0的直线方程为y=1-3x.对于0<x≤33,有1-3x2>1-3x.∴u=… 相似文献
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一、填空题(每小题2分,共28分) 1.64的平方根是_。 2.若3=1.732,30=5.477,则0. 003=_。 3.使a-2+32-a有意义的a的值为。 4.若a2=(a)2时,a为数。 5.若最简二次根式3b-1(a+1)与4b-a是同类二次根式,则a=_,b=_。 6.化简(1-2)2=_;当a<-2时(a-2)2+(a+1)=_。 7.2-x=8则x=_;则x=_X3=0.125.则x=。 8.比较大小:45_53,3-2_ 。 9.2-5的有理化因式是_,倒数是_。 10.若3a+1+|b… 相似文献
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一道代数习题的几种几何解法平凉师范宋灵宇中师《代数与初等函数》第一册271页第5题是:求函数y=x-2+16-x的最大值.有以下几种几何解法.解法1函数定义域是〔2,16〕,利用不等式(a+b2)2≤a2+b22(当且仅当a=b时取“=”号),有(x... 相似文献
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杨必成 《广东教育学院学报》1998,(2)
证明如下定理,设非负实函数f(x),g(x),x∈[0,∞),满足条件,0<∫∞0fp(x)dx<∞,0<∫∞0gq(x)dx<∞(P>1,1p+1q=1).则成立下列不等式∫∞0∫∞0f(x)g(y)x+y+1dxdy<πsin(πp){∫∞0[1-1-sin(πq)/(πq)(x+1)1/p]fP(x)dx)}1/p×{∫∞0[1-1-sin(πP)/(πP)(x+1)1/q]gq(x)dx)}1/q.从而改进了积分型Hilbert定理 相似文献
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设F,G是两人分布函数,记:X^+F(α)=sup{x:F(x)〈α},X^-F(α)=inf{x:F(x)〉α},Xf(α)=1/2「F^+F(α)+X^-F),」,Aα∈(0,1),用^d≤表示分布函数间的散布序,F^e≤G的充要条件是:Aα,β∈(0,1),α〈β,XF(β)=-XF(α)+XF(1-α)XF(1-β)≤XG(β)-XG(α)-GX(α)+XG(1-α)-XG(1-β)本文在 相似文献
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一、已知函数的解析式 ,求复合函数的定义域例1 求函数 y=lg x的定义域.解 :中间函数的定义域是x≥0 ,函数lgx的定义域是x>0 ,所以复合函数 y=lgx的定义域是既满足不等式x≥0又满足不等式 x>0的x值的集合 ,即不等式组x≥0,x >0,的解集.∴定义域是(0 ,+∞ ).二、用符号表示的函数的定义域对用符号表示的函数 ,应紧紧抓住中间变量这一关键环节 ,由已知的定义域 ,得出相应的条件组(不等式或不等式组).如 ,已知 f(x)的定义域为x∈〔a,b〕 ,求 f 〔φ(x)〕的定义域 ,则由a≤x≤b ,可得a… 相似文献