浅谈组合计数

设X是有限集,用|X|表示X的元素的个数,在不同领域中都会遇到对有限集X的计数问题,不要以为这是轻而易举可以解决的问题,有许多计数问题是相当艰难的,解决它需要知识,更需要智能,解计数问题更多地是依靠机智,依靠对特殊问题的具体分析,在方法上是灵活多样的。计数问题是组合数学的重要组成部分,也是数学竞赛中经常出现的热门试题,本文简要介绍组合计数的一些重要方法。一、映射与计数有两个集合X和Y,如果对每一x∈X有一个y∈Y与之对应,则说定义了一个从X到Y的映射f:X→Y。如果由x_1≠x_2可推出f(x_1)≠(x_2),则称映射f为单射。如果{f(x)|x∈X}=Y,则称映射f为满射。若映射f既是单又是满,就说f是一一映射。     

一类含参数问题的参数求法

已知含参数的二次函数在某区间上的最大补）值，求参数的值．这是高中数学中常遇到的问题，在各类考试试题中屡见不鲜．怎样解这类问题呢？下面先指出这类问题常见四种类型，并分别举例说明其解法，最后加以小结．类型1“口定轴定”型当二次函数中参数只出现在常数项中，这时函数图象的开口方向和对称轴是确定的，由函数在区间上的单调性，容易求解．例1已知函数f（x）＝x2＋x＋a2－1在[0，1]上最小值为0，求参数a的值．解“．f（X）的图象开口向上，对称轴工—一7，”．八三）在「0，1」上递增，八0）最小，2”’“”—”——“—’““—…     

三角综合题解法分析

三角函数与方程、函数、三角形、圆结合，便可构成丰富多彩的综合题．这类题常出现在中考试卷中．在解这类题的策略上，常用到转化思想和分解思想，即把问题转化为边角关系、线段的相等关系、比例关系来解或者化整为零、各个击破．现以中考题为例分类分析其解法思路‘一、三角函数与二次函数相结合例1如图1，抛物线y—一X’＋pX＋g与X轴交于A、D两点，与y轴交手c”点，＊ac？s一90”，且ig二C？AO一tgzCBO—2二（）求此二次函数的解析式；（2）略．分析设A（xI，0）、B（x。，0），其中xIndo，x厂＞0．只须求出xl＋x2和x；x2即可．结…     

Banach空间中一类广义变分包含的迭代解

在Banach空问中介绍一类涉及集值映射的广义变分包含问题，构造其迭代序列，并证明迭代序列收敛于变分包含问题的解，给出迭代解与解的误差估计，是几位作早期与最近的相应结果的改进与推广。     

中考试题中的分式问题

分式是一种重要的代数式．与分式有关的问题在历年中考中占有相当的份量，应引起我们足够的重视．下面就中考题中与分式有关问题的类型及其解法作初步分析，供参考．一、分式概念类1．公式无意义的问题解答这类问题，只要求出使分母值为零的字母的值，注意千万不能将已知分式化简后再讨论．例1当X＝时，分式没有意义．（1991年福建省）解由x－1＝0得x＝1当x－1时，已知分式没有意义．2分式值为零的问题解答这类问题，应求出使分子值为零而分母值不为零的字母值．（1993年山西省）当x－1时，x2＋2x－3＝0；当X—－1时，X‘＋ZX－3羊0．当X…     

一种求矩阵方程AXB=C最小二乘对称解的迭代法

提出一种迭代法求最小二乘问题min‖AXB-C‖的对称解.通过这种方法,给定初始对称矩阵X1,在没有舍入误差的情况下,经过有限步迭代,找到它的一个对称解.并且,通过选择一种特殊的初始对称矩阵,得到它的最小范数对称解X^＊.另外,给定矩阵X0,通过求解最小二乘问题min‖AXB-C‖（其中C=C-AX0B）,得到它的最佳逼近对称解.     

对判别式法讨论曲线交点方法的反思

用判别式法讨论二次曲线交点容易发生错解，刊物上不断有对此提出新的解决方法．尽管人们在处理这类问题时比较谨慎，由于方法依赖于几何直观，仍易发生错解．为彻底解决该类问题，我们来探讨一下解此类问题的通法——判别式法．下面先简略谈谈判别式法造成的错误，然后对这一方法实质作进一步分析．     

有关分式的中考试题分析

分式是一种重要的代数式，与分式有关的试题在历年中考中占有相当的份量，应引起我们足够的重视．下面就有关分式的中考试题的类型及其解法分析如下，供同学们学习时参考．一、根念型1．分式无（有）意义的问题解答此类问题，只要求出使分母值为零（不为零）的字母的值，注意千万不要将已知分式化简后再讨论．当X一j时，已知分式无意义·2．分式值为零的问题解答这类问题，应求出使分子的值为零而分母的值不为零的字母的值．的值为0的所有X的值为由X－2一0，得X一2；由X＋1一0，得X—－1．当X—－1时，（x－3）（X十里）一0；当X一2时，…     

分式方程话检验

同学们在解分式方程时，常常对所求得的解不加检验而出现增根问题．老师也一再强调解分式方程时验根必不可少，千叮咛万嘱咐，可同学们对这个问题并不真正理解．下面我们根据分式方程求解的过程来讨论这个问题．我们知道，解分式方程的基本思想是去分母将下程变形转化为整式方程求解．在去分母的过程中，随着方程未知数取值范围的扩大，就有可能出现增根．为确保分式方程的解准确无误，“驻林就成为必不可少的步骤．例如：方程两边同乘以（X－1），并整理得解此方程，得x1＝1，x2＝2．那么X1、X2都是原方程的解吗？我们将X1＝1、X2＝2代入…     

中招数学试题中的综合题解析

在近几年的中招数学试卷中，我们经常看到这样一种综合题型，即已知Rt△ABC两锐角A、B的正弦（或余弦）分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根，要求方程中的参变数或其他问题．解这类题的—般思路是应用根与系数关系、公式sin2x＋cos2x=1及判别式．     

用二元一次方程组解表格应用题

一些表格类的应用题,由于给定的条件有限,需要借助表格中的未知数解答．此时,若要求的未知数不是很多,我们就可以借助方程或方程组来求解．下面向同学们介绍用二元一次方程组解这类表格应用题的方法．     

中考试卷中关于二次根式的试题分析

二次根式是初中数学的重点内容之一，因此，各地中考试卷中有关二次根式的试题占有相当的比例．这类试题大致可归纳为三类，现举例分析如下一、概念、性质类1．的意义．例1下列各式中正确的是（）码由二次根式定义知，（A）、（B）的左端无意义，可先排除．成立的条件是a0，所以（D）错．故选（C）．例2其中X＜0的值一定是（）（A）0；（B）4－2X；（C）2X一4；（D）4．（94年安徽省中考试题）解、X＜2，．2－X＞0．原式一（2－X）＋（2—X）=4－ZX．应选（B）．2积的算术平方根．例3化简：．（94年厦门市中考试题）解由积的算术平…     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

一类不等式问题的常用方法

恒成立不等式问题是高考、竞赛中一类常见的题型，综合性强、覆盖面广、灵活性大，令不少同学望题生畏．下面通过例题介绍解这类问题的六种常用方法，供大家参考．     

利用余弦定理讨论“已知两边和其中一边的对角解三角形”的问题

初中代数第四册教材用正弦定理并借助于作图,对“已知a,b和A,解三角形”的情况进行了讨论。此种情形解的情况很复杂,有时无解,有时有唯一解,还有时有两个解。教材只着重介绍了用正弦定理解这类问题,但这类问题也可用余弦定理解决,有时比用正弦定理更简明,用余弦定理解这类问题,实际上是归结为讨论一元二次方程有无正根的问题。下面我们用余弦定理来讨论这种类     

有关映射问题分类解析

映射是中学数学中一个基本而重要的概念．近年来，在各级各类测试题中，常常出现以映射为知识点的小题，由于映射概念的抽象性，学生对这类问题的处理常常颇感困难．实际上，求解映射问题的关键是对映射定义的理解，在下，集合Ａ中的元素在集合Ｂ中必有唯一的象，而Ｂ中的元素在Ａ中不一定有原象．因此，建立从Ａ到Ｂ的映射，本质上就是给Ａ中的每一个元素在Ｂ中找到一个象．下面，我们对有关映射的问题作一分类解析．１ 确定某给定映射下的象集（或原象） 例１（２０００年全国高考题）设集合Ａ和Ｂ都是自然数集合Ｎ，映射ｆ：Ａ－Ｂ把集合…     

用直角三角形解测量问题

学习了解直角三角形，可以应用它解决许多有关测量的问题，常见的有以下几种类型．一、测量底都能直接到达的物体的病例1如图1，在离铁塔150米的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为300，已知测角仪器高AD一1．52米，求铁塔高BE．（精确到0·1米）（广东省1994年中考试题）解在Rt凸ABC中，zBAC—30o，AC—DE—150米，BC—AC·ig30”一150X～～一86．6（米）”－3～—””’”又CE—AH一1．52米，BE—BC＋CE—86．6＋1．52—88．1（米）答：铁塔高BE是881米．说明：这类问题利用直角三角形中锐角三角函数的定义可直接求解．二、测…     

OT（X，y；θ））的正则元、幂等元的一些特殊性质

设X,y任意的非空全序集合,OT（X,Y）是X到Y的全体保序映射构成的集合,0是Y到X的一个确定的保序映射．Va,B∈OT（X,y）定义：旺B=aθB,这里aθB表示一般映射的合成,则OT（X,Y）关于运算。构成一个半群,称为保序的夹心半群,记为OT（X,Y;O）．当X,Y都是有限集合且{X}〉1,{Y}〉1时称保序夹心半群OT（X,Y;O）为有限保序夹心半群．主要讨论有限保序夹心半群正则元、幂等元的一些特殊性质．     

一类中考方程题的五种特殊解法

在历届全国各地的中考试题中，经常见到（其中a、b、c都是常数，a，b不用时为零，f（x）是关于x的式于）的方程．这类方程一般都是分式方程和无理方程．如果按照解分式方程和无理方程的一般步骤去解就相当复杂，甚至解不出来，本文举例介绍这类方程的五种特殊解法，供读者学习时参考．1．观察法对于可化为形如的方程，可通过直接观察得f（X）一C，或几C）一土1，从而获得其解（用换元法很容易证明，留给读者）．一．、＿＿＿3xx“－15例1解方程十二一十二7二一手．。、—，—’、一二z－13又2（济南市1993年中考题）群原方程可变形为经检…     

求轨迹的一种方法

一般地，在直线的参数方程的是直线上的一个定点．若用辩证思想去“以静制动”（即视动点为定点），那么，我们就可以巧妙地处理在某种条件下的一类动点在直线上运动的轨迹问题，下面列举数例来说明这种方法．例至没动直线z垂直于X轴，且与椭圆军十生一1交手A，B两点，P是l上满足42－——””—”一’“““”－——”——『”’～IPAI·IPB一1的点，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．（1992年上海市高考题）解设动点P（X。，入），直线／的参数方程加．（t为参数）代人椭圆方程得卜一八十土Zt‘十好。t＋x。’十如0’－4＝0，…