直径——圆中重要的辅助线

在解圆的有关问题时,若能巧妙地作出圆的直径,将能获得简捷的解题思路,现举数例如下.例1(2005年宁波市)如图1,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,AC=2cm.⊙O的半径为.解:连AO且延长交⊙O于D,连CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B=30°,所以AD=2AC=2×2=4,所以⊙O的半径为2cm.例2(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且∠BAP=∠C.求证:PA是⊙O的切线.证明:作⊙O的直径AD,连BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,即∠D+∠BAD=90°,所以∠C+∠BAD=90°.因为∠C=∠PAB,所以∠BAD+∠PAB=90°,即AP⊥AD,所以PA为⊙O的切线.例3(…     

一道中考试题的解法探究

2011年江苏省苏州市中考数学试题中的第26题题目简单,但设计别具匠心,思路开阔,解法灵活,方法颇多,给学生以广阔的自主探究空间.题目:如图1,已知AB是⊙O的弦,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点(不与点A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.当∠D=20°时,求∠BOD的度数.探究1:如图1,因为∠BOD=∠OCB+∠B,∠OCB=∠A+∠D,所以∠BOD=∠A+∠D+∠B,即∠BOD=∠A     

题在课外,根在课内

每年中考都会出现许多好题,其中有些题是“源于教材,高于教材”令人称道.也告诉同学们一个道理,有一些新题“根在课堂上.”平时要打好基础,掌握题目的一些变化方法,就能举一反三.下面从一道试题入手,看其变化出的新题.供读者参考.原题已知:A是⊙O直径上一点,OB是和这条直径垂直的半径,BA和⊙O相交于另一切线和OA的延长线相交于点D.求证:DA=DC.简证:此题证法较多,连结OC.因为DC为⊙O的切线,C为切点,所以∠1+∠2=90°.因为OB⊥OA,所以∠3+∠B=90°.而∠B=∠1,∠3=∠4,所以∠2=∠4,故DA=DC.演变一如图2,平移MN,因为直径是弦的特例…     

有关圆的问题辅助线的作法

在解决圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,圆中辅助线的作法较多,变化万千,这里举例介绍几种常见的辅助线的作法.例1如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证证法:A一C平分∠DAB.连结BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠1 ∠B=90°.又AD⊥DC,∴∠ADC=90°,∴∠2 ∠3=90°,又DC为⊙O切线,∴∠3=∠B.由上可知:∠1=∠2,∴AC平分∠DAB.点拨当圆中出现直径时,常构造“直径上的圆周角”,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.证法二连结OC.∵DC为⊙O的切线,∴OC⊥DC.∵AD⊥DC,∴OC∥AD,…     

活用“规形”性质求角度之和

有这样一道题,已知:如图1,O是ABC内任意一点,试说明:∠AOB=∠1+∠2+∠C(留给同学们思考)。我们可以由这个图形中抽出“”,它形如圆规状,就把它叫做“规形”(如图2),由上可知∠BOC=∠A+∠B+∠C就是“规形”的性质。现就用“规形”这一性质来求角度之和。∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.例2如图4,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。解:由“规形”图可知,ABOC为“规形”,由性质得∠1=∠A+∠B+∠C又∵∠1=∠2而∠2+∠D+∠E=180°∴∠A+∠B+∠D+∠E=180°.例3如图5,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数解:由“规形”图可知,ACOD为“规…     

巧用基本图形解题

在几何中,基本图形是较复杂图形的基础,抓住一些基本图形的特性,许多几何问题常可迎刃而解,现举一例说明.如图1,线段AB、CD相交于点P,则∠A+∠D=∠B+∠C.这是一个很有用的基本图形,由于这两个三角形有一个角是对顶角,因此我们常称它为对顶三角形.其性质(图1中∠A+∠D=∠B+∠C)很容易得到.应用这一基本图形及其性质可以巧解许多问题.一、寻找基本图形解题例1如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解:显然∠A+∠B=∠2+∠3,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠1+∠3,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.二、构…     

四边形内角和定理的证明

证法 5 :如图 5 ,作AC的延长线CE ,则点C处有一周角 ,即∠BCE+∠DCE+∠BCD =36 0° .∵∠BCE =∠ 1+∠B ,∠DCE=∠ 2 +∠D ,∴ (∠ 1+∠B) +(∠ 2 +∠D) +∠BCD =36 0° ,即 ∠BAD +∠B+∠BCD+∠D =36 0° .证法 6 :如图 6 ,若延长BA、CD相交于点E ,则有∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 ,∴∠BAD+∠B +∠C+∠CDA=(180°-∠ 1) +∠B +∠C+(180°-∠ 2 )=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠B+∠C)=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠ 1+∠ 2 )=36 0° .证法 7:如图 7,若CD∥AB时 ,过点D作DE∥AB交BC于点E ,则∠A =180° -∠ 1,∠B =∠ 2 ,∴…     

凹四边形的一个性质及其应用

本文介绍凹四边形的一个性质的四种证法及应用,供初一或初二学生学习时参考.一、凹四边形性质如图1,试说明∠BOC=∠A+∠B+∠C.解1如图2,延长BO交AC于D,则由三角形外角性质得∠BOC=∠C+∠ODC,∠ODC=∠A+∠B.所以∠BOC=∠A+∠B+∠C.     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

对一道课本例题的探究

人教版初中《几何》第三册中有一道好题,它的内涵丰富,具有典型的代表性和拓展性.因此,对其深入探究,可以充分发挥其丰富的教学价值.原题如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB. 一、一题多解,培养学生的发散思维能力本题入口较宽,灵活运用所学内容,可以做到一题多解.证1连接OC,则OC⊥CD,故OC∥AD,∠DAC==∠CAB,所以AC平分∠DAB.证2连接CB,由弦切角定理,∠DCA=∠B.又∠ADC=∠ACB=90°,∴∠DAC=∠CAB,∴AC平分∠DAB.证3作切线PA交CD于P,则PA=PC,∠PAC=∠PCA,…     

数学重在分析推理(二)

(接上期)定理3两条平行线,第三条直线和它们相交,则内错角相等.分析在图5中,直线l2∥l1,l3与l1,l2相交,要想证图5明∠1=∠2,根据基本事实2,只要能证明∠2=∠3就行了.证明因为∠1和∠3是,所以=().又已知∠2=∠3,所以=().定理4两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角互补.分析在图6中,直线l2∥l1,直线l3与l2,l1相交.∠1和∠2是同旁内角.要想证明∠1+∠2=180°,根据基本事实2,图6只要能证明∠2=∠3就可以了.证明因为∠1+=180°(),又已知∥,所以∠2=∠3,所以∠1+∠2=().定理5试证明:三角形ABC三内角之和∠A+∠B+∠C=180°.分析在图7中,CE∥B…     

折纸问题与中考试题

例1如图1,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变郾请试着找一找这个规律,你发现的规律是()郾(A)∠A=∠1+∠2(B)2∠A=∠1+∠2(C)3∠A=∠1+∠2摇摇(D)3∠A=2(∠1+∠2)(2003年北京市海淀区中考题)解延长BE、CD交于A',则∠A'=∠A郾在四边形ADA'E中,∠A+∠ADA'+∠A'+∠A'EA=360°.又∠2+∠ADA'=180°,∠A'EA+∠1=180°,∴∠2+∠ADA'+∠A'EA+∠1=360°郾∴∠A+∠A'=∠1+∠2,即摇2∠A=∠1+∠2郾故选(B)郾评析将任意三角形纸片轻轻一折,却折出了相关角与角之间的规律郾…     

旋转图形解题两例

例1如图1,设O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 115°,∠AOC=125°,则以OA、OB、OC为边所构成的三角形的各内角的度数各是多少?解如图2,把△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC,则AD=AO,∠2=∠1.所以∠2+∠3=∠1+∠3 =∠BAC=60°.     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

3月份《30分钟智力冲浪》参考答案

1.B.2.A.提示:利用平移知AH,HG与ED即可.3.∠AEC=43∠AFC.提示:如图1,过E作EG∥AB.由AB∥CD知EG∥CD.有∠AEG=∠BAE=4∠1,∠GEC=∠DCE=4∠2.即∠AEC=4(∠1+∠2),同理∠AFC=∠BAF+∠DCF=3(∠1+∠2).图1图24.15°.提示:如图2,(方法之一)因为∠AFE=∠B=90°,∠EFC=60°,所以∠AFD=180°-∠AFB-∠EFC=30°.由矩形的角是直角,知CD∥AB,故∠BAF=∠AFD=30°,由折叠知∠BAE=∠FAE,故∠BAE=15°.5.将“平面上n(n≥2)条直线两两相交”的各种可能通过平移变为一种情况:在平面上任取一点O,将这n条直线均平行移动为通…     

从多个角度考虑

在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不…     

处理二倍角问题的一种常用方法

引例如图1,∠DAC是△ABC的一个外角,且∠DAC=2∠B.求证:△ABC是等腰三角形.证明:因为∠DAC=∠B+∠C,∠DAC=2∠B,所以∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形.     

多角形中内角和的求法(初二、初三)

1.基本知识(1)三角形内角和等于180°.(2)n边形内角和等于 (n-2)·180°.2.基本事实(1)在图1中,易证图1∠A+∠B=∠C+∠D.(2)在图2中,易证∠A+∠B+∠C =∠D+∠E+∠F. 按照以上知识,通过添加辅助线,就可以较容易地求出某些一笔画图形中的多角和.     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

用计算法证明几何题

不少几何题,可由题设及图形特征,通过边计算边推理进行证明。这是几何证明中常常采用的一种证题方法。 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,D和E是斜边AB上的点,且AD=AC,BE=BC。求证:∠ECD=45°。证明 ∵ AD=AC,BE=BC。 ∴ ∠1+∠2=∠4=∠3+∠B,① ∠1+∠3=∠5=∠2+∠A,②