二面角的一题多解

例题△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=2,点P是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,PA=AC,求二面角B—PC—A的平面角的一个三角函数值.     

一个几何命题及其应用

命题 已知△ABC及空间任意一点P,则有其中a、b、c是△ABC的三边长,G是它的重心。 本文用平面几何方法给出证明,并列举几例说明它的应用.证明中用到了如下斯台沃特(Stewart)定理:在△ABC中,D是BC上任意一点(如图1).若AB=c,AC=b,     

例说顶角为20°的等腰三角形

例1如图1,在等腰△ABC中,AB—AC,么A一20。,D是AB边上的一点,AD—BC,连接（D,则么BDC=——。     

不动点定理及其应用

1912年,荷兰数学家布劳维证明,任意一个把维球体映入自己的连续映象（即拓扑变换）至少有一个不动点．这就是著名的拓扑不动点定理．我们知道,直线是一维空间,平面是二维空间,普通空间是三维空间,四维、五维及以上的空间就很抽象了,下面对一维球体做出一个有趣的例子．     

一个三角形线性不等式

设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理　设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明　令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边…     

三角形“1号心”的几何性质

文[1]定义了三角形的“1号心”,本文从几何的角度探讨它的某些性质.定理1在△ABC所在的平面内任意取一点P,分别作点P关于△ABC的边BC、CA、AB的中点D、E、F的对称点D'、E'、     

正三角形的两个等价命题

如图1,P是△ABC内任意一点(包括在边界上),过P作BC、CA、AB的垂线,垂足为D、E、F。则 (1)△ABC为正三角形对任意的P     

据本巧设题(3)

1.M是边长为1的等边三角形△ABC内任意一点,求MA~2 MB~2 MC~2的取值范围(初中联赛级,江苏涟水,王明升)2.M是△ABC中任意一点,AB=4,BC=5,CA=6,试求MA~2 MB~2 MC~2的取值范围.(高中联赛级,江苏涟水,王明升)3.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.求证:     

用特殊值法解题

利用特殊位置解题［典型例题］例1如图1,在等边ABC的边AB上任取一点D,又在AC上取一点E,使AE＝BD,BE和CD相交于0．求COE的度数．分析如果动点D逐渐运动到AB的特殊点——端点B,最后B、O、D重合,则A、E重合于A点,ZCOE亦重合于ZABC,放所求的／COJ为gr．解：为等边三角形,例2等腰三角形的腰为5,底为6,P是底边上任意一点,则P到两腰的距离之和为＿．分析rtABC的面积等于从P向两腰所作垂线段的和与一腰的乘积的一半,这里面ABC的面积是一个不变值,与P点在BC上的位置无关,因此可选P点在BC的端点或中点这些特殊…     

一个等腰三角形命题中渗透的面积法

在学习等腰三角形时,我们曾经遇到过这样一个几何命题:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:CF=PD+PE.对于该题,一般学生会想到截长法与补短法.     

圆内接多边形的一个美妙性质

本文揭示圆内接多边形的一个美妙性质.引理 从△ABC的外接圆上任意一点P,向三边BC,CA,AB或其延长线引垂线,设垂足分别为D,E,F(它们都不是△ABC的顶点),则     

有关三角形面积的一个不等式

众所周知,若P为△ABC的重心,连结AP、BP、CP并延长分别交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 S_(△DEF)=1/4S_(△ABC)。如果P为△ABC内的任意一点,那么S_(△DEF)和1/4S(△ABC)又有何大小关系呢?本文将回答这一问题。定理:若P为△ABC内的任意一点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则     

一类三角形不等式的等价定理及其应用

在三角形的不等式中，有一类是关于三角形内部任意一点到三边距离的．近年来，已有一些新的这类不等式出现（参见[1]—[4]）．本文给出与此类不等式相关的一个等价性定理，并阐述它的应用．一、定理及其证明定理设P为△ABC内部任一点，P到边BC，CA，AB的距离分别为PD，PE，上的高分别若有关于次不等式：则此不等式等价于证对于△ABC内部任意P点，显然有恒等式由此即知，存在着小于1的正数λ_1,λ_2,λ_3使以下三式同时成立：由以上三式分别可得代入（l）中即得不等式（2）．反之，在不等式（2）中取则又易得出不等式综上，不等式（l…     

等腰三角形的一个性质及应用

等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PE⊥AB,PD⊥AC,CF⊥AB,E、D、F分别为垂足. 求证:CF=PE+PD.     

三角形内点的一组性质

性质1 D,E分别是△ABC的边AB,AC上的任意一点,连结BE,CD交于点P．     

一个等腰三角形性质的推广和应用

文[1]中给出一个等腰三角形的性质定理: 定理1已知△ABC中,AB=AC,如果D为BC边上任意一点,那么AD<'2>-AB<'2>=BD·DC.     

为学生掌握几何语言铺设阶梯

第一,进行几何语言的解义和表达的训练学生对于“每”、“某”、“任意”、“分别”等词义不能确切掌握,例如课本上的练习题“作直线AB,在AB上取一点C,在AB外取一点D,用三角板分别过C和过D点作AB的垂线”,画成右图的学生约占20～30%.因此教师要引导学生搞清词义,对课本上较为复杂的句子要作     

1986年第3期问题

AB是Rt△ABC的斜边,在射线 AC、BC上各取一点B′、A′,使得A′B=AB′=AB,P、Q是形内两点,若P、Q到Rt△ABC各边距离之和相等,则PQ∥A′B′,反之亦然。     

巧用三角函数证几何题

学习了《解直三角形》一章之后,我们还可以用三角函数知识证明一些几何题。 例1 如图1.在△ABC中,AB=AC,D为BC边上任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,垂足分别为E、F、G。求证:DE+DF=CG。 证明 ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=α。     

几种形式Euler公式的证明

Euler公式在数值计算中应用很广,本文给出Euler公式在一维空间、二维空间的证明以及在n维空间中的形式与证明.