联想·构造·创新

实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一数大于3/2。     

(a·b)c=a(b·c)成立的充要条件

<正>我们知道,在向量数量积的运算中,不考虑(a·b)·c,这是因为数量积运算符号"·"只适用于两个向量之间,而不适用于数与向量之间,a·b是一个数,故(a·b)·c没有意义.但(a·b)c与a(b·c)都有意义,通常情况下,(a·b)c≠a(b·c),那么(a·b)c=a(b·c)在什么情况下成立呢?成立的充要条件又是什么呢?经探究,得知     

对一个猜想不等式的拓展与证明

正在应用放缩法证明不等式时,有以下一个典型例子[1]:设0≤a,b,c≤1,则a/(1+b+c)+b/(1+c+a)+c/(1+a+b)+(1-a)(1-b)(1-c)≤1(1)当且仅当a,b,c中有两个为零,另一个为[0,1]中的任意数,或者当a,b,c不全为零且不为零的数都等于     

整除问题——初一数学竞赛系列讲座(5)

对整数a和b(b不为0),如果存在一个整数q,使a=b×q,则称a被b整除,也称b整除a,否则就称a不能被b整除.例如35=5×7,于是35被5(或7)整除.整除有许多性质,下面列出最常用的几个:1.如果b整除a,则b整除a的倍数.2.如果b整除a与c,则b整除(a±c).3.如果b整除a,a又整除c,则b整除c.4.如果a整除c,b也整除c,并且a与c互质,则ab整除c.在整除问题中,能被2,3,4,5,8,9,11,25等整除的数有如下的特征:1.如果一个整数的末位数字是偶数,则这个数必定被2整除.2.如果一个整数的末位数字是0或5,则这个数必定被5整除.3.如果一个整数的末两位数字组成的数被4(或25)整除,…     

比例法

在数学知识中,如果数与数之间满足a/b=c/d,那么ad=bc.如果ad=bc,那么a/bc/d,这是比例的基本性质;如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d,或a/(b±a)=c/(d±c)这就是合分比性质.在物理学中,有许多规律都是描述物理量之间的比例关系,因而上述     

用数形结合思想认识二次函数的ABC

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的系数a,b,c的符号和它的图像之间有着相辅相成的关系.由二次函数的图像位置可以得到a,b,c(或者含有的a,b,c的代数式)的符号;反之,由a,b,c(或者含有的a,b,c的代数式)的符号也可以确定图像的位置.这是一种由形到数、由数到形的转换,是数形结合思想的很好的诠释.也是一种等价、同一的关系,     

卡布列克常数（4）

在本系列文章的开始,曾发现猜想:在卡氏运算下,四位数有卡氏常数6174,现在可以对“猜想”做一个交代.设a,b,c,d是组成四位数的各位数字,并且a≥b≥c≥d(排除a=b=c=d).作一次卡氏运算a b c d-d c b ax y g w对b与c的大小关系进行分类:(b=c;(b>c.情况(b=c时,a b b d-d b b ax y z     

两个不等式的面积证法

题1 (第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题)设a、b、c为正数，求证：a^2/b c b^2/c a c^2/a b≥1/2（a b c）。     

一个结论的证明及应用

如果1/a 1/b 1/c=1/(a b c),则a,b,c三个数中必有两个互为相反数.分析要证明这一结论,只需证明a,b,c三数中必有两个数之和为0即可.证明由1/a 1/b 1/c=1/(a b c) (a b c)(bc ac ab)-abc=0 (a b)(a c)(b c)=0 a b=0或b c=0,或a c=0,即a,b,c三个数中必有两个互为相反数.下面介绍这一结论的具体应用.     

数列中数学思想的运用

函数与方程思想例1已知三个实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m为正常数),求b的取值范围.解设这三个数为b/x,b,bx.由a+b+c=m,     

一个计数问题的推广

问题:求满足[a,b,c]=20 000,(a,b,c)=20的所有正整数三元数组{a,b,c}的组数(1992年中国天津市代表队测验题).     

从一道中考题谈初中生数学阅读能力的现状

1 案例 下面用一个例子来说明当前学生数学阅读能力的现状. 阅读以下材料: 对于三个数a, b, c,用M{a, b, c}表示这三个数的平均数,用min{a, b, c}表示这三个数中最小的数.     

几类特殊勾股数的探索

勾股数是指满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c,但不一定满足a2+b2=c2的数a、b、c都是勾股数。利用好勾股数可以迅速判别三角形是否为直角三角形,从而利用直角三角     

勾股弦数的表法及一个性质

不定方程x~2+y~2=z~2 (1)的正整数解x=a,y=b,z=c,称为一组勾股弦数a、b、c. 《数学通报》1979年第5期,《勾股数组的一个性质》一文论证了一个有趣的性质: 勾股弦数a、b、c中,必有含因子3的数,必有含因子4的数,必有含因子5的数。     

一道值得研究的数学题

最近,我们发现一道数学题:“已知 a、b、c 均大于零,0相似文献   

上海市1988年初一、初二数学竞赛试题

初一 1.分解质因数:999999=____. 2.已知自然数α,b,c(其中c≥3).α除以c余1,b除以c余2,则αb除以c的余数是____. 3.已知四个数的和为64,若第一数加3,第二数减3,第三数乘以3,第四数除以3所得的结果均相同,则这相同的结果是____. 4.下图是由9个相同的带有对角线的小正方形拼成的图形.假定已知形如ABCD的四边形都是正方形,则图中一共可     

一组有趣数字的规律探究

<正>网上曾经流传着这样一组有趣数字:令a=123789,b=561945,c=642864,d=242868,e=323787,f=761943.则有a+b+c=d+e+f及a2+b2+c2=d2+e2+f2.去掉各数的最高位数字,得到新数a1,b1,c1,d1,e1,f1后仍然会有a1+b1+c1=d1+e1+f1及a21+     

一个结论的证明及应用

如果1/a+1/a+1/c=1/a+b+c,则a,b,c三个数中必有两个互为相反数. 分析要证明这一结论,只需证明a,b,c三数中必有两个数之和为0即可.     

几道数学竞赛题的简解

题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1)     

数列综合题中的思想

一、函数与方程思想 例1已知三个实数a、b、c成等比数列,且a＋b＋c=m（m为正常数）,求b的值的集合。