从重要极限到泰勒公式

极限lim x→0sinx/x=1说明当x→0时,sinx≈x,这其实是函数f(x)=sinx在x0=0处的一次近似式,一般地,如果函数在x0处可导,则其一次近似式为f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0),误差为x-x0的高阶无穷小.为了进一步减小误差,提高精确度,扩大使用范围,就需要使用泰勒公式:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)/2!(xx0)2+…+f(n)(x0)/n!(x-x0)n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x0)n+1,其中ξ在x0和x之间.     

切线的求法及应用

1．圆锥曲线的切线求法可导函数y=f（x）上任一点P（x0,y0）处的切线方程为y-y0=f^1（x0）（x-x0）,其中f^1（x0）=lim△r→^△y/△x=lim△x→0f（x0＋△x）-f（x0）/△x,     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

关于f(x)=a/cos~nx+b/sin~nx最小值猜想的商榷与简解

《中学数学教学参考》于2006年第10期刊登了王凯成老师的关于f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,b〉0,n∈N^＊）最小值猜想的初等证明一文,结论是x=arctan n＋2√a/b时,f（x）min=（2/a^n＋2,2/b^n＋2）,笔者觉得该结论值得商榷,     

高考数学常用公式“变形记”（下）

32．圆系方程： （1）过点A（x1，Y1），B（x2，y2），的圆系方程是：（x-x1）（x-x2）＋（y-y1）（y-y2）＋λ[（x-x1）（y1-y2）-（y-y1）（x1-x2）]=0→←（x-x1）（x-x2）＋（y-y1）（y-y2）＋λ（ax＋by＋c）=0，其中ax＋by＋c=0是直线AB的方程，λ是待定的系数。     

利用导数巧解函数题

利用导数判断函数的单调性 例1 判断函数f（x）=1/2x^2-lnx的单调性. 解 由题意可知函数f（x）的定义域为{x｜x〉0},f′（x）=x-1/x=x^2-1/x=（x＋1）（x-1）/x.     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的简证

文[1]用较大篇幅证明f（x）≥（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）n＋2/2（a＞0,b＞0,n∈N（=｜x=arctan n＋2√a/b） 下面给出两个初等而简捷的证明供大家参考．     

一类新型算子在空间内加权逼近的正逆定理

构造了一类新型的Kantorovich算子,即K^＊n（f,x）=n＋2/2 Σ^n k=0 Pn,k（x）∫^k＋2/n＋2 k/n＋2 f（t）dt。讨论了该算子在Ba空间内的加权逼近,得到了其逼近的正逆定理。     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2     

问疑答难

与方程根的个数有关的参数问题设函数f（x）=（x＋2）^2-2ln（2＋x）.若关于x的方程f（x）=x^2＋3x＋a在区间[-1,1]上只有一个实数根,求实数a的取值范围.解：方程f（x）=x^2＋3x＋a可化为x-a＋4-2ln（2＋x）=0.令g（x）=x-a＋4-2ln（2＋x）,则g′（x）=x/（2＋x）.     

一道高考试题的别解

1．问题的提出 已知函数f（x）=1/3x^3＋ax^2＋bx,且f′（-1）=0. （Ⅰ）试用含a的代数式表示b,并求f（x）的单调区间;     

一类广义积分的计算方法

对于广义积分∫0^∞d^m/dx^m（1/1＋x^2）d^n/dx^n（1/1＋x^2）dx和∫0^∞d^m/dx^m（sin x/x）d^n/dx^n（sinx/x）dx（m,n为非负整数，采用Fourier变换及级数计算出它们的值，并指出在区间（-∞，＋∞）上可积的函数f（x），亦可仿此计算广义积分∫0^∞f^（m）（x）f（n）xdx。     

2010年高考全国卷I理科第20题（Ⅱ）的简解

题 已知函数f（x）=（x＋1）ln x-x＋1．（I）略;（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．对（II）,参考答案给出的方法有较强的技巧性,思维重心显得偏高．笔者给出下面的简解,供参考．     

一道高考适应性试题的思索之旅

考题（2013年河南新课程高考适应性考试试题）已知函数f（x）=ln（x＋1）-f（0）x-f′（0）x2＋2．     

江苏卷第20题（2）

题目 设f（x）是定义在区间（1,＋∞）上的函数,其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x）,其中h（x）对任意的x∈（1,＋∞）都有h（x）〉0,使得f′（x）=h（x）（x^2-ax＋1）,则称函数f（x）具有性质P（a）．     

对函数f（x）在x0点导数求法的一点看法

摘要：函数f（x）在x0点导数求法f（x0）=f（x）｜x-x0存在一点问题,     

关于直线方程的一个结论及其应用

结论 已知直线mx＋ny＋p=0过点（x0,y0）,则这条直线的方程可表示为：m（x-x0）＋n（y-y0）=0,其中,m、n不同时为零．     

一类三阶非线性微分方程的可积条件

构造了适当的变换,研究了一类三阶非线性微分方程y″′＋py″＋qy′＋ry=f（x）（y″-sy′-s1y）n（n≠0）的可积条件,并给出了其通解的积分表达式.     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

函数与其导函数的联系及应用

高中课本中导函数定义：如果函数y=f（x）在开区间（a,b）内的每点处都有导数,此时对于每一个x∈（a,b）,都对应着一个确定的导数f′（x）,从而构成一个新的函数f′（x）,称这个函数f′（x）为函数y=f（x）在开区间内的导函数.f′（x）=y′=lim△x→0△y/△x=lim△x→0f（x＋△x）-f（x）/△x.那么函数y=f（x）与其导函数y=f′（x）有何关系？本文将用导函数自身的定义来探讨它们之间的联系并加以应用.……