逆用直线方程的点斜式解题

如果直线l经过点A(x0 ,y0 )且斜率为k ,则直线l的方程为y - y0 =k(x -x0 ) ,反过来 ,如果直线l的方程为 :y- y0 =k(x-x0 ) ,那么直线l经过点A(x0 ,y0 ) ,在解题中 ,如果能逆用直线方程的点斜式 ,能简化解题过程 ,现分析几例 ,供参考 .　　　　　图 1例 1　曲线 y =4 -x2 + 1与直线 y=k(x- 2 ) + 4有两个交点 ,求k的范围 ,分析　该题若利用解方程的方法来解较繁 ,但若将直线方程变形为 y- 4=k(x- 2 ) ,会发现直线恒过定点A(2 ,4 ) ,这样就可以利用数形结合来解决 .解　将曲线方程变形得x2 + (y- 1) 2 =4　 (y≥ 1) ,该曲线是以 (0 ,1)为圆…     

关于直线和圆的陷阱题

例1求过点P(5,4)且与圆x2+y2=25相切的直线l的方程.错解设所求过点P(5,4)的直线l的斜率为k,则其方程为y-4=k(x-5),即kx-y-5k+4=0.圆x2+y2=25的圆心O(0,0),半径r=5,由条件｜-5k+4｜!#k2+1=5,解得k=-490,则直线l的方程为9x+40y-115=0.剖析错解忽视了斜率不存在的情况.应对直线斜率的存在性进行分类讨论,还要补上当斜率不存在,即直线l垂直于x轴时直线l的方程x=5,再证明直线l=5与圆x2+y2=25相切.综合得直线l的方程为x=5或9x+40y-115=0.注意解与直线斜率有关的问题时,要分斜率存在与不存在两类.例2若点P(m,n)到A(-2,4)、B(6,8)的距离之和最小,…     

直线问题中的陷阱分析

一、忽视斜率不存在的情形例1直线l过点P(2,1)且与直线y=3~(1/2)x 1的夹角为30°,求直线l的方程．错解：设直线l的斜率为k,则|(k-3~(1/2))/(1 3~(1/2)k)|=tan30°,解得k=(3~(1/2))/(3),故所求直线方程为y-1=(3~(1/2))/(3)(x-2),即3~(1/2)x- 3y 3-2 3~(1/2)=0．     

用物理知识解数学题(高二、高三)

1.光的反射例 1 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在的直线方程. (89高考) 解圆方程的标准形式是(x-2)2+(y-2)2=1. 设光线l所在的直线方程是 y-3=k(x+3) (斜率k待定)由题意知k≠0,于是l的反射点的坐标是(-3/k-3,0).     

一道习题的探究与拓展

1.问题提出直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O为坐标原点.当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.方法 1由题意可知,直线斜率存在且k<0,设l:y-1=k(x-2)(k<0),则A(2-1k,0),B(0,1-2k),∴|PA|·     

巧算平均数

【例1】　已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】　已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是　　　　.解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】　求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73…     

导数应用中的误区“三连发”

找准切点求切线例1求曲线(fx)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.错解由于原点在曲线上,所以原点为切点.而f′(x)=3x2-6x+2,所以f′(0)=2.所以y-0=2(x-0),即所求切线方程为y=2x.     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆C1:x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,圆C2 :x2 +y2 + 2x + 2 y- 8=0 ,求经过两圆交点A、B的直线l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,(1)x2 + y2 + 2x + 2 y- 8=0 . (2 )(1) - (2 ) ,得- 4x+ 8y - 16 =0 ,即x- 2 y + 4=0 ,变形得　x=2 y- 4. (3)将 (3)代入 (2 )化简整理 ,得y2 - 2 y =0 ,解得 y1=0 ,y2 =2 .将 y1=0 ,y2 =2…     

求圆的切线方程的几种方法的比较

基本问题 :已知圆的方程为 x2 + y2 =r2 ,求过圆上一点 P0 (x0 ,y0 )的圆的切线方程。解法 1:若 y0 ≠ 0 ,则所求切线斜率存在 ,设所求方程为 y- y0 =k(x- x0 ) ,代入 x2 + y2 =r2 得 :(1+ k2 ) x2 + (2 ky0 - 2 k2 x0 ) x+ y0 2 + k2 x0 2 -2 kx0 y0 - r2 =0 ,由判别式△ =0得 :(r2 - x0 2 ) k2 + 2 x0 y0 k+ r2 -y0 2 =0。又 x0 2 + y0 2 =r2 ,∴ y0 2 k0 2 + 2 x0 y0 k+ x0 2 =0。即 (y0 k+ x0 ) 2 =0 ,解得 k=- x0 / y0 。故所求切线方程为 y- y0 =- x0 / y0 (x- x0 ) ,即 x0 x+ y0 y=x0 2 + y0 2 亦即 x0 x+ y0 y=r2 。 1当 y0 =0时 ,…     

2013年全国高考四川卷(文) 20题的极坐标和参数方程解法

从一点出发的线段和角的问题,首选极坐标或直线的参数方程求解,如2013年高考四川卷(文)20题:已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l∶y=kx与圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求k的取值范围;(1Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且2/|OQ|2=1/|OM|2+1/|ON|,请将n表示为m的函数.|解(Ⅰ)将y=kx代入x2+(y-4)2=4,     

直线与圆锥曲线公共点问题

<正>直线与圆锥曲线的公共点,是学生比较头痛的问题,经常出错.如何正确地处理这类问题,现举几个例子加以说明.例1求过点(1,-2)且与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切的直线的方程.错解设所求直线方程为y+2=k(x-1),整理得kx-y-k-2=0.①已知圆的圆心为C(2,1),根据圆心到直线①的距离等于半径,得     

直线方程与等差数列

直线方程教学后 ,引导学生联想、反思、类比、归纳 .与学生一起讨论了直线方程与等差数列的关系 ,对新、旧知识进行了融合和建构 .不仅可培养学生的发散思维能力、缩短思维的回路 ,而且可以更新学生的学习理念 .1　直线方程与等差数列有什么形式的直线方程就对应着什么形式的等差数列通项的表达式 .( 1 )斜截式方程y =kx +b(k为斜率 ;k =y2 -y1x2 -x1,x1≠x2 ) ;an=dn +b　 (d =an-amn -m ,d为公差 ) .( 2 )点斜式　y -y1=k(x -x1) ;an-ap=d(n -p) (n ,p∈N+ ,p是常数 ) .( 3 )两点式　y -y1=y2 -y1x2 -x1(x -x1) (x1≠x2 ) ;an-ak=am-akm …     

互动平台

读者信箱开通啦,欢迎同学们把学习中遇到的各种问题寄给我们。来信请寄:南京市高云岭56号《新高考》编辑部互动平台栏目收,邮编:210009,E-mail:xingaokao@163.com。我遇到这样一道题目:求半径为4,与圆x~2+y~2- 4x-2y-4=0和直线y=0都相切的圆的方程.我的解答是:由题意,所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标为O_1(a,4),且方程形如(x-a)~2+ (y-4)~2=4~2.又已知圆x~2+y~2-4x-2y-4=0,即     

跳出两直线位置关系解题中的陷阱

与两直线位置关系有关的试题在高考中一般以选择题的形式出现,难度中等,但有一些陷阱,稍不留意,就会陷入.一、忽视概念例1已知直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0平行,则m的值为()A.3或-1B.-1C.3D.-3或1错解由已知得l1∥l2,m≠0,m-2≠0,且-m1=-m3-2,解得m=3或m=-1.选A.剖析两直线平行指的是两条不重合的直线平行,要跳出陷阱,可在解题后进行验证.当m=-1时,两条直线是重合的,故舍去.应选C.二、忽视斜率不存在例2经过点(1,0)且与直线y=-x+3成45°角的直线方程是()A.y=0B.x=0C.x=1D.y=0或x=1错解设所求方程为y=k(x-1),由1k+k-·(-(1-1))=ta…     

根据条件灵活选用

数学爱好者2006·8例题过点P(3,1)作一条直线,使它夹在两直线2x-y-2=0,x y 3=0之间的线段AB恰被P点平分,求此直线的方程.分析1直线x=3与直线2x-y-2=0,x y 3=0的交点分别是(3,4),(3,-6),由于-62 4=-1≠1,所以x=3不是直线AB的方程.设出所求的直线为y-1=k(x-3),求出点A、B的坐标后     

求对称曲线方程的公式算法

众所周知,曲线f(x,y)=0关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0,关于y轴对称的曲线方程是f(-x,y)=0,关于原点成中心对称的曲线方程是f(-x,-y)=0由此想到曲线f(x,y)=0关于任何已知直线ax+by+c=0成轴对称的曲线方程是什么形式?关于任何已知点M(a,b)成中心对称的曲线方程又是什么形式?这就是本文要探讨的问题。 先看一名中学生对下面一道习题的奇妙解法。题目是:“求直线3x-4y+2=0关于直线x-y+3=0成轴对称的直线方程。” 解 由x-y+3=0,得x=y-3,y=x+3,同时代入3x-4y+2=0中,得3(y-3)-4(x+3)+2=0,即4x-3y+19=0。此即为所求的对称直线方程。     

构造直线和圆有交点解题

构造直线和圆有交点,利用点线距离公式可以简洁地解答不少问题. 例1若实数x,y适合方程x2+y2-2x-4y +1=0.那么代数式y/x+2的取值范围是____. 解:令y/x+2=k,则直线kx-y+2k=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有交点,所以|k-2+2k|/(k~2+1)~(1/2)≤2 解得0≤k≤12/5,故y/x+2∈[0,12/5]. 例2求函数y=sinx/2-cosx的值域. 解:由原函数式得ycosx+sinx-2y=0. 令u=cosx,v=sinx,则直线yu+v-2y= 0与圆u2+v2=1有交点,所以+-2y|/(y~2+1/~(1/2))≤1.     

教科书上的一道错题

高中《数学》第三册(选修Ⅰ)第37页例2已知曲线y=31x3上一点P(2,83).求:(1)过点P的切线的斜率(2)过点P的切线方程该例题教材给出的解法是错误的,现摘录如下:错解:(1)y′=(31x3)′=x2∴y′|x=2=22=4即过点P的切线的斜率为4(2)根据直线方程的点斜式,过点P的切线方程为y-38=4(x-2)     

常见直线对称问题的求法

数学中充满了对称,对称美是数学美的重要特征之一.直线中的对称问题,是直线方程中最基本的问题,也是历年高考中考查的热点问题,常见的直线对称问题有以下3种类型:1点关于直线的对称问题例1求点P(-4,3)关于直线l:2x 3y-6=0的对称点P′的坐标.解设P′的坐标为(x,y),则线段PP′的中点坐标为x2-4,32 y.PP′的斜率为yx- 43,直线l的斜率为-32.因为PP′⊥l且PP′的中点在l上,所以y-3x 4·(-23)=-1,2·x2-4 3·y2 3-6=0x=-1332,y=1639·即P′的坐标为-1323,1639.2直线关于点的对称问题例2求直线l:3x-y 1=0关于点M(2,-4)对称的直线方程.解在所…     

高二数学测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:y=1,l2:3x+y-1=0,那么直线l1与l2的夹角为()(A)60°(B)120°(C)30°(D)150°2.若a,b∈R,且a3>b3,则下列判断正确的是()(A)1a<1b(B)1a>1b(C)ab3.若直线l经过点(3,-3),且倾斜角为30°,则直线l的方程是()(A)y=3x-6(B)y=33x-4(C)y=3x+43(D)y=33x+24.已知F1、F2是椭圆x42+y22=1的两个焦点,P是椭圆上的点,若PF1·PF2=0,则这样的点P有()(A)2个(B)4个(C)6个(D)0个5.抛物线y=-31x2的准线方程是()(A)y=23(B)x=61(C…