也谈抛物线焦点弦的性质——由一道高考题引发的思考

目前,有关抛物线焦点弦的性质已被总结出很多,它为我们研究抛物线的焦点弦问题提供了帮助．本文对2013年高考全国大纲卷理科数学第11题给出几种方法,同时也对此问题进行推广,并总结出几条有关抛物线焦点弦的性质．     

抛物线的焦点弦的性质知多少

在高中数学中,把过抛物线焦点的直线与抛物线相交得到的弦长称为抛物线的焦点弦.而关于抛物线焦点弦的性质是高考必考考点之一,所以掌握抛物线焦点弦的性质就非常重要.那么,它的性质到底有多少呢?我们先来看下面的例题:     

从一道高考题看过抛物线焦点弦性质的应用

今年高考“3 Ｘ”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ ∥ｘ轴 ,证明 :直线ＡＣ经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为ｙ1 ,ｙ2 ,求证 :ｙ1 ｙ2=-ｐ2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若…     

圆锥曲线焦点分弦的一个统一结论

08年高考江西卷和08高考全国卷（二）都出现了抛物线焦点分弦的题目,这就引起了笔者的兴趣,查阅07年各省市及全国高考卷,令人兴奋的是重庆高考卷（理）也出现了双曲线焦点分弦的题目,总的来说,这三道题目都考查了圆锥曲线的统一定义以及数形结合的思想方法,经过一番研究,一个关于圆锥曲线焦点分弦的统一结论跃然纸上,我们先来看看07年重庆高考卷（理）第16题．     

“y1y2=-p~2”的巧用

题目:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,求证:.y1y2=-p2. (全日制普通高级中学教科书(试验修订本,必修)数学第二册(上)P119习题8.5第7题. 这个结论是抛物线焦点弦的一个重要性质.其证法甚多读者自证.如果能灵活运用,解证抛物线焦点弦等较复杂的题目,能使解证题快速简捷,事半功倍之效果.现举例供参考:     

让课本题目的价值在探究中深化和推广

在数学教学中 ,如何开发课本题目的价值 ?如何引导学生寻求课本例题、习题的内在变化规律及其之间的联系 ,从而进行类比、联想、发散、深化和推广 .本文结合人教版全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )《数学》第二册 (上 )第八章“圆锥曲线方程”中 ,有关抛物线焦点弦、定点弦性质的例题、习题探究过程 ,谈谈这方面的问题 .1　多题一组 ,形成题链 ,加强题与题之间的横向整合 ,在反思探究中深化和推广如下三道题 :题 1　 (第 119页第 7题 )过抛物线 y2 =2 px(p>0 )的焦点的一条直线和此抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为 y1、y2 ,求…     

再谈圆锥曲线焦点弦长的统一公式

<正>一、问题的提出例1 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,求|AB|+|DE|的最小值.该例题是普通高中教科书《数学选择性必修第一册》(湖南教育出版社,2019年第1版)课本P149习题3.3的第12题,原题则出自2017年高考全国数学理科I卷.原题作为选择题,有不少资料上都利用了抛物线焦点弦的弦长公式来给出简解,过程如下：     

抛物线过焦点弦的两个性质

在高考中抛物线的焦点弦及焦点三角形面积是解析几何的热点之一,对于抛物线过焦点弦的弦长公式,     

对一道高考题的探讨

20 0 1年全国高考理科数学第 (19)题 (文科第 (2 0 )题 )为 :设抛物线 y2 =2 px(p>0 )的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线于 A,B两点 ,点 C在抛物线的准线上 ,且 BC∥ x轴 ,证明直线AC经过原点 O.由于本题中 O点就是抛物线的顶点 ,因此本题中的结论实际上就是 AC经过抛物线的顶点 ,这反映了抛物线的一个几何性质 .我们自然会联想 :椭圆、双曲线是否也具有类似的几何性质 ?我们先研究椭圆 .问题 1　设椭圆 x2a2 y2b2 =1(a>b>0 )的左焦点为 F,经过点 F的直线交椭圆于 A,B两点 ,点 C在椭圆的左准线 l上 ,且 BC∥ x轴 ,则直线 AC是否…     

对一道高考题的再探讨

2001年全国高考理科数学第(19)题(文科(20)题)为: 设抛物线y=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.     

挖掘课本“四题”潜能，加大培养能力力度

2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求     

对抛物线焦点弦的一个性质的研究与推广

问题 (人民教育出版社高中<数学>第二册(上)123页第2题)过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,自A,B向准线作垂线,垂足分别为A',B',求证∠A'FB'=90°. 这是抛物线焦点弦的一个性质,若将其直接迁移到其它圆锥曲线上,结论显然不成立.那么能否改变它们的叙述方式再进行推广呢?下面从两个方面进行探究.     

探究抛物线切线的一组性质

笔者在研读2006年重庆市高考数学文科试卷末题的过程中,顿悟并引申出关于抛物线切线的一组性质．为了方便验证,先介绍两个引理．引理1作抛物线y~2=2pχ(p＞0)的弦AB,且A(χ1,y1)、B(χ2,y2),则弦AB通过焦点F的充要条件是y1y2=-p~2．     

一道关于抛物线的高考试题的深度探究

文章通过对2019年北京市数学高考理科第18题的深度探究,得到了抛物线的顶点、焦点弦与以通径为直径的圆的关联性质及其纵向、横向推广,并由各种推广得出了关于圆锥曲线的一个统一结论,揭示了问题的本质和规律.     

此题可在圆锥曲线内推广(高二、高三)

2001年高考第19题是很典型的抛物线性质的命题: 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.     

椭圆焦点弦四边形面积的最值——两道高考题的和谐统一与推广

定义以椭圆的两条焦点弦为对角线的四边形称之为椭圆焦点弦四边形.题1 (2005年高考全国卷Ⅱ理21)P,Q,M,N四点都在椭圆X~2 (Y~2)/2=1上,F为椭     

看2000年解几试题做2001年高考准备

解析几何是高中数学的一块重要内容 ,历来是高考的重点 .本文将通过对 2 0 0 0年全国高考数学 (理科 )解析几何试题特点的分析 ,谈谈2 0 0 1年高考解析几何复习的策略 ,供考生参考 .一、试题特点2 0 0 0年高考解析几何试题 ,呈现以下几个特点 .1 覆盖面广第 (8)题考查极坐标的概念和圆的极坐标方程的求法 .第 (1 0 )题考查直线与圆的基本知识及几何分析能力 ,要求考生能根据曲线的方程 ,讨论曲线的几何性质 .第 (1 1 )题考查直线与抛物线的基本知识及性质 .第 (1 4)题考查椭圆的定义和性质 .第 (2 2 )题考查坐标法 ,定比分点坐标公式 ,双曲…     

圆锥曲线常考问题的解答技巧

一、圆锥曲线的定义与性质问题高考真题(2011年高考辽宁理科卷第3题)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为     

一类活用焦点弦命题巧变的思考

圆锥曲线是高中数学的重要内容,而活用焦点弦诸多独特性质解决应变问题成批。例如: 1.圆锥曲线是抛物线的充要条件是焦点弦为直径的圆与准线相切。 2.已知y~2=2px的焦点弦一端过A(3,23~(1/2)),则此焦点弦方程为y=3~(1/2)·(x-1);若此焦点弦为入射光线,则其反射光线的方程如何? 3.已知抛物线的顶点是椭圆16x~2+25y~2=400的右焦点,且两曲线的公共弦过抛物线的焦点,则此抛物线方程如何?     

研究考题内涵 挖掘考题价值

高考试卷中,不少考题耐人寻味.认真研究考题的内涵,充分挖掘考题的价值,对高中数学的日常教学意义非凡.本文以一道高考试题的内涵分析及其引申为题谈谈笔者的研究所得,期待抛砖引玉.1高考考题(2007年高考全国卷Ⅱ第12题)设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为抛物线上三点,若