Euler不等式的另一个三角形式的加强

方雅敏、李建潮老师在文[1]得到如下结果：R,r分别为△ABC的外接圆半径及内切圆半径,     

Euler不等式的几个最佳式

1765年,著名数学家Euler建立了关于三角形外接圆半径R和内切圆半径r的一个重要不等式：R≥2r（1）,文给出他的一个代数形式的加强：     

Euler不等式的一个隔离

1767年,伟大的数学家Euler建立了如下一个著名的不等式： 若三角形的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,则R≥2r．     

Janic不等式的类似

本文约定:△ABC的三边长,半周长、外接圆半径、内切圆半径,面积以及三边上的高、中线、角平分线及旁切圆半径分别为 a 、b 、c,s,R,r,D,ah、bh、ch,am、bm、cm,aw、bw、cw,ra、rb、rc,表示循环和. 1967年,R.R.Janic曾建立如下的不等式(见文[1],5.30) 2224bccaababcrrrrrr ?     

三维Euler不等式的推广

利用解析方法和几何不等式理论，研究了四面体外接球半径与内切球半径之间的关系，建立了四面体外接球半径与内切球半径的几个不等式，推广了四面体Euler不等式。     

Finsler-Hadwinger不等式的又一加强

设△ABC的三边长为a、b、c,其面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为△、s、R、r、∑表示循环和.     

Milosevic不等式的加强

<正>设△ABC的三边长为a、b、c三条边上的高及旁切圆半径分别为h_a、h_b、h_c、r_a、r_b、r_c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,半周长为s,面积为△,Σ表示循环求和.文[1]介绍了由Milosevic提出的如下一个不等式     

Euler不等式的再推广

应用几何不等式理论与解析方法,研究了n雏欧氏空间En中n维单形外接球半径与内切球半径之间的关系,建立了涉及单形外接球半径与内切球半径的一些几何不等式,进一步改进了著名的Euler不等式.     

Janic不等式的两个加强及其它

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b,c,R,r,△,ra、rb、rc,∑表示循环和. 1967年,R.R.Janic曾建立如下的不等式(见文[1])     

Milosevic不等式的又一加强

1987年,D.M.Milosevic提出并证明了下述不等式: 设△ABC的三边长为a、b、c,相应边上的高为h_a、h_b、h_c,外接圆半径和内切圆半径分别为R、r。则     

关于n维Euler不等式的加强

应用几何不等式理论与解析方法，研究了单形外接球半径与内切球半径之间的关系，建立了涉及单形外接球半径与内切球半径的一些几何不等式，从而加强了著名的n维Euler不等式．     

Bokov不等式的推广

1966年,E.A.Bokov建立了关于三角形高线长h_a、h_b、h_c和内接圆半径r的不等式:     

关于Milosvic不等式的一点加细

本文约定:在△ABC中,a,b,c表示三边长,A、B、C表示三内角,R,r,S表示外接圆半径,内切圆半径以及半周长.∑、∏表示循环和以及循环积.如∑a=a b c,∏a=abc.     

一个有趣平几公式的对偶式

文[1]给出定理: 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1,r2,则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2-(2r1r2)/(h).     

关于Gordon不等式的加强

<正>本文约定:△ABC三边长分别为a、b、c,面积为△,s、R、r分别表示△ABC的半周长,外接圆半径和内切圆半径.在△ABC中,有不等式a~2+b~2+c~2≥■△(1)这是著名的Weisenbock不等式~(\[1\]).(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式     

正切型Milosevic不等式的一个上界估计

<正>本文约定a,b,c,R,r,s分别为△ABC的三边长、外接圆半径,内切圆半径,半周长;Σ表示循环求和,Π表示循环求积．文[1]中介绍了由D. M.Milosevic提出的如下不等式     

Milosevic不等式的一个类似结论

设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积分别为a,b,c,R,r,s,Δ,∑表示循环求和.引理1在△ABC中,有Δ=abc/4R=sr=s(s-a)(s-b)(s-c);∑ab=s²+4Rr+r²;sin A/2=(s-b)(s-c)/bc.     

Finslen—Hadwiger不等式的再加强

本文约定△ABC的几何元素如下:以a、b、c表示△ABC的三边;s、r、R、△分别表示△ABC的半周长、内切圆半径、外接圆半径、面积;三条中线、高、角平分线长分别为ma、mb、mc,ha、hb、hc,ta、tb、tc.众所周知,Finslen—Hadwiger不等式.     

Janic不等式的推广及逆向不等式

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b、c,R、r,D,ar、br、cr,对△''ABC、△111ABC、△222ABC有类似表示. 1967年,RRJanic曾建立如下不等式[1]: 在△ABC中,有 2224bccbababcrrrrrr++? (1) GATsintsifas将(1)推广到两个三角形[2]: 在△ABC及△''ABC中,有 2224''''bccbababcrrrrrrD++矰. (2) 本文将其推广到三个三角形并得出推广结果的逆向不等式. 命题 在△111ABC、△222ABC及△''ABC中,有 121212121224''''bccbabaabbccRRrrrrrrrDD?+.(3) …     

Euler不等式加强式的改进及逆向

176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理　 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明　 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + …