自然数方幂求和的直接法

一、引言设n,m为自然数,和∑~m=1~m 2~m … n~m=sum from k=1 to n k~m(1)可表达为n的m 1次多项式,问题在于如何确定这个多项式的系数.迄今为止,解决这个问题的方法很多,直到最近,还不断有新方法在国内外刊物上发表,但是所有这些老方法或新方法都有一个共同的特点:就是依赖于递推.为了求∑_n~m的表达式,首先必须求出∑_n~1,∑_n~2,…,∑_n~(m-1)的表达式.本文提出一个不依赖于淑芳的方法,姑且叫做直接法.     

∑(a_i)/(x_i~r)的最小值

《数学通报》2004年第7期问题1504是:已知x,y,z∈(0,+∞),x+y+z=1,求1x2+y12+z82的最小值.我们将它一般化,得到定理设p,r,n∈N,n≥2,ai,xi∈(0,+∞),i=1,2,…,n,∑xip=1(以下总略去求和限),则(∑xarii)min=(∑aαi)1α,α=pp+r.证引入参数λ>0,使如下平均不等式成立:aixir+…+xariip上+λxip+…+λxipr个≥(p+r)p+raipxipr·λrxipr.即(*)xairi≥p+p raip+prλp+rr-rλpxip(当且仅当xi=(aλi)p+1r,1≤i≤n时等号成立).由于∑xip=1,即∑xpi=∑(aλi)p+pr=1λp+pr∑aiα=λ-α∑aαi=1.从而(*)两边对i从1到n求和,有∑xarii≥α-1·λp+rr∑ai…     

论如何用傅立叶级数求P-级数∞∑n=1/np(P为偶数)的和

P-级数(∞↑∑↓n=1)1/n^P的求和问题，是数项级数求和中的难点问题．本文主要阐述了如何用傅立叶级数来求P-级数(∞↑∑↓n=1)1/n^P（P为偶数）的数。     

有穷数值幂积级数族求和通解

站在一定的高度就一类由等差数列和等比数列构成的有穷数值幂积级数族的求和通解问题进行了研究,获得了某些级数族的求和通解,简化了特殊级数∑nk=1km、∑mi=lΠmi=l(k i)及∑nk=1[Πmi=l(k i)]-1等的求和问题。     

组合数公式与一类数列求和

利用组合数性质不难证明公式: 用∑表示为用它求一类数列的和甚 为方便。 1.求连结自然数积的和 这类数列通项的特点是可直接用组合数表示。 例1 求和:1·2 2·3 3·4 … n（n 1）。 解　∵a_k=k(k 1)=2C_~2_(k 1).     

等差数列方幂的和及其推广

本文介绍一种利用计算数学中的差分概念推导出,求∑P=1^mp^m的和的一种新方法。利用这种方法．可以摆脱对∑P=1^mp^m-i(i=1．2,…,m)的依赖．得出求∑P=1^mp^m的和的一般模式．容易记忆;当m较大时．能大大减小运算量,便于计算机计算;能得到求∑P=1^mp^m的和的一般结果。然后,把问题推广为求∑p=1^n(a bp)^m(a、b为常p=1数,m和n为正整数)的和以及求∑p=1^n[(a bp)^k]^m(a、b为常数,”m和k为非零整数,且m、k同号,n为正整数)的和。     

∑ from k=1 to n k~2的三种求法

数列的求和问题是一个饶有兴趣的问题.本文给出三种求数列{n2}的前n项和的方法,并对数列求和的一般解法做些探讨.方法1:归纳假设法这种方法利用最初的数值计算列表发现规律,而后猜测答案,这是发现数学公式的重要方法之一,它给我们“在没有公式之前怎样去找公式”提供了一个很好的范例.取n=1,2,3,4,5,…分别计算∑nk=1k和∑nk=1k2列表如下:12345…∑nk=1k=1+2+…+n1361015…∑nk=1k2=12+22+…n215143055…∑nk=1k2∑nk=1k1(33)35373(39)131…计算∑∑kk2得到一个数列:33,35,37,93,131,…显然此数列可写成2n3+1,所以有12+22+32+…+n21+2+3+…+…     

关于应用复数求级数和的问题

在数学分析《级数》这一章中，经常要遇到一些数项级数以及三角函数项级数的求和问题。本文应用复数的有关知识，来求某些级数的和，方法比较简捷，也很有成效。     

一类级数的求和问题

从f(x)=x在（-ππ）内的傅立叶级数展开式出发，导出形如∑n=1^∞ （-1）^n 1sin nx/n^2k-1及∑n=1^∞ (-1)^n 1con nx/n^2k的三角级数的和函数特点及函数的递推求法，从而解决形如∑n=1^∞ 1/n^2k、∑n=1^∞（-1）^n 1/N^2k、∑n=1^∞ 1/（2n-1)^2k-1（其中k∈N）等级数的求和问题。     

级数∑n=1^∞1／n^2m的一种初等求和法

章给出了级数∑n=1^∞1/n^2m的一种初等求和方法，此法仅涉及极限与多项式的Newton公式。     

再探“sum from i-1 to ∞ (1/i～(1/2))的整数部分”

《一个不等式问题的初等研究》(《数学通讯》1 998年 5月对“求 ∑ni=11i 的整数部分”这一问题进行探讨 .该文提出的具体问题是 :设 an=1 12 13 … 1n,求 a1 0 0 ,a1 998,a2 0 0 0 ,a2 0 2 0 的整数部分 .该文最后又提出无法解决的一个遗留问题 :∑1 999i=11i 的整数部分是 87呢 ,还是 88?笔者在本文中侧重于求 ∑1 0 0i=11i 及 ∑1 999i=1 1i 的整数部分的解法作深层次探究 .1　求 ∑1 0 0i=11i 的整数部分的解法引申求 ∑1 0 0i=11i 的整数部分一题 ,也屡见于诸多中学数学复习用书 ,如《高中数学练习总复习》(江苏教育出版社 )中的…     

一种无穷级数的求和方法

无穷级数是数学分析中的一个重要内容,无穷级数的和对于研究无穷级数的特性、函数性质、近似计算等都有重要的作用．但求无穷级数的和没有一般的统一方法．级数∑专是一种重要的级数∞∑n=1n1/2文章给出了利用傅立叶级数展开、帕塞瓦尔等式、已知级数构造法求此无穷级数和的几个方法．     

一个求最值问题的简解与推广

<数学通报>2009年第4期刊登的问题1785:"设0≤xi≤1(i=1,2,3,...,n),n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1.试求f(x1,x2,...,xn)=n∑i=1xi/(1+x2i)的最大值"的解答繁难复杂,不易发现和掌握.     

数项级数求和的若干方法

数项组数的求和是级数理论中的重要问题之一.一般来说,数项级数求和是一个很困难的问题,因为除等出级数、等差级数等特殊级数外,一般级数难以求出它的部分和.在一般数学分析教材中,并没有专门系统地介绍无穷级数求和的方法,只在介绍完幂级数和付里叶级数后,附带给出了求某些数项级数和的方法.而对于大量的一般数项级数,在确定它收敛后,要求出它的和还是很困难的.本文旨在研讨其他的一些求和方法,这些方法在实践中具有较大的应用价值.     

三角函数观点下的整数幂和问题

正高中数学中经常遇到如下整数幂和问题:∑k=1nk,∑k=1nk2,∑k=1nk3,…,其中∑k=1nk可根据等差数列求和公式求得,对于∑k=1nk2,∑k=1nk3,要想直接计算难度较大.笔者结合自己的教学实际,从一组三角函数公式出发,谈谈整数幂和问题在三角函数视角下的求解.定理1     

巧用“平均值”速解有关等差数列题

在等差数列这部分知识体系中,常常遇到求某些等差数列前n项和问题。除了课本介绍求和公式外,就某些特殊题,这里介绍一种用“平均值”求某些项的和。     

对两个优美不等式的再巧证

《数学通报》2009年第4期刊登的问题1785：“设0≤xi≤1（i=1,2,3,…,”）,n∈N,n≥3,且∑i=1^n xi=1.试求f（x1,x2,…,xn）=∑i=1^n xi/1=xi^2的最大值”的解答繁难复杂,不易发现和掌握．笔者立足基本方法,从简单自然解题的角度探究发现,用均值不等式解之,更能凸现问题本质,展示数学的简洁美．     

利用导数计算自然数方幂和的一种方法

从所周知,方幂和Sm(n)=sum from p=1 to n P~m可表成n的m+1次多项式,即有Sm(n)=sum from v=1 to n P~m=am0n~m++am1n~m+……+amm~n.本又利用导数的方法、给出了确定系数am0,am1,…,a_(mm)的线性方程组,并进而给出了求前几个系数的公式,且证明了除前三个系数外,其余系数交错为0.     

有关p-级数∑n=1^∞ 1/n^p与交错级数∑n=1^∞ （-1）^n/（2n-1）^p的和的研究

本文探索求p-级数S（p）=∑n=1^∞ 1/n^p及交错级数J（p）=∑n=1^∞ （-1）^n/（2n-1）^p的和的一般方法和策略,获得一些重要的结论：证明了p-级数与交错级数的和所满足的两个公式,并给出了求p-级数∑n=1^∞ 1/n^p的和的近似公式及误差估计式。     

欧拉常数γ及简单应用

调和级数∑n=1^∞1/n是发散的，而极限linn→∞[∑k=1^n1/k-lnn]却是收敛的，通常将极限值linn→∞[∑k=1^n1/k-lnn]称为欧拉常数γ。欧拉常数γ存在性的证明有多种方法，例如，可利用函数不等式、几何直观（平面图形面积）、数项级数的收敛性、积分中值定理等方法。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。