妙用公式“sin~2α+cos~2α=1”

公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos…     

用数形结合思想证明半角公式tanα/2=sinα/1＋cosα=1-cosα/sinα

高中数学必修4（北京师范大学出版社）第124页,对半角公式tanα/2=sinα/1＋cosα=1-cosα/sinα进行了证明,步骤如下： tanα/2=sinα/2/cosα/2=sinα/2·2cosα/2/cosα/2·2cosα/2=sinaα/1＋cosα; tanα/2=sinα/2/cosα/2=sinα/2·2sinα/2/cosα/2·2sinα/2=1-cosα/sinaα. 上述方法,主要采取对分子、分母同时添项并化简的方法完成了上述证明．下面介绍一种利用数形结合思想进行证明的方法．     

三角问题的向量解法

对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】　若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c…     

对一道常见题的探究(高一、高三)

题化简sin~2 20° cos~2 50° sin20°cos50°.我想出了这道题的两个解法:解法1 sin~2 20° cos~2 50° sin20°cos50° =1-cos40°/2 1 cos100°/2 cos20°-sin30°/2=2-sin30° (cos100° cos20°)-cos40°/2     

构造几何图形巧解代数题

“数”与“形”是数学研究的两大对象,在数学解题中以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便,因此在解某些代数问题时,可依据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为几何问题,然后运用几何等知识去解决所求问题.笔者将对某些代数题构造几何图形妙解进行归类分析。 1 构造单位圆解三角题 例1 已知cosα cosβ-cos(α β)=3/2,α,β∈(0,π),求α,β的值. 解 由cosα cosβ-cos(α β)号得cosα cosβ-cosαcosβ sinαSinβ-3/2=0. (1-cosβ)cosα sinβsinα cosβ-3/2=0.(1)     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文、理科)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 (　　 )　　 (A) y=-1…     

“至少”与“至多”

题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是(　　) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α …     

│a·b│≤│a│·│b│在解题中的应用

向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的…     

2002年普高统招(北京卷)数学(理)试题

参考公式:三角函数的积化和差公式 sinαcosβ=1/2[sin(α β) sin(α-β)] cosαsinβ=1/2[sin(α β)-sin(α-β)] cosαcosβ=1/2[cos(α β) cos(α-β)] sinαsinβ=-1/2[cos(α β)-cos(α-β)] 正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=1/2(c’ c)l.其中c’、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球=4/3πR3.其中R表示球的半径     

2004年高考三角函数求值问题选解

例1(2004年全国高考文史类试题)设α(0,π2),若sinα=35,则2姨cos(α+π4)=()A.75B.15C.-72D.4解∵α(0,π2),sinα=35,∴cosα=45.∴2姨cos(α+π4)=2姨(cosαsinπ4-sinαcosπ4)=cosα-sinα=45-35=15,故选B.例2(2004年全国高考广西卷)已知α为锐角,且tanα=12,求sin2αcosα-sinαsin2αcos2α的值.解sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=sinα(2cos2α-1)sin2αcos2α=sinαcos2αsin2αcos2α=sinαsin2α=12cosα.由α为锐角及tanα=12,得1cos2α=sin2α+cos2αcos2α=tan2α+1=54.∴1cosα=5姨2.∴sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=1…     

三角变换十式十招

三角变换的一般技术颇多.本文就一些特殊条件下的特有变换技术,归纳如下.1.条件中有“sinα cosα=m”或要求“sinα cosα”,方法是平方。例设α∈(0,π),sinα cosα=7/13,求tanα的值.2.已知tanα,求asin2 bsinαcosα ccos2α的值,方法是将asin2α bsinαcosα ccos2α写成asin2α bsinαcosα ccons2α/sin2α cos2α,然后分子、分母     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

三角函数中sinα±cosα,sinαcosα的友好关系

在三角函数求值问题中,若已知sinα cosα,sinα-cosα,sinαcosα中的一个式子的值,可求出其余两个式子的值,继而可以解决有关问题,这是因为利用平方关系sin~2α cos~2α=1,可知(sinα±cosα)~2=1±     

课本三角公式的向量新证法

下面以三角中的几个基本公式 (定理 )的证明为例 ,谈谈向量基础知识在解题中的灵活应用 ,望能增添同学们学习向量知识的兴趣 .【例 1】　证明cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ .课本上采用解析法证明这一公式 ,学习向量后 ,运用平面向量的数量积 (内积 )证明公式显得十分简单 ,这种灵活运用新知识解决问题的思想方法毫无疑义是符合新教材编写精神的 .证 :在单位圆O中 ,设∠P1 Ox =α ,　∠P2 Ox =-β ,则P1 ,P2 坐标为P1 (cosα ,sinα) ,P2 (cosβ ,sin( -β) ) .即OP1 =(cosα ,sinα) ,　OP2 =(cosβ ,-sinβ) .∵∠P1 OP2 =α …     

关于诱导公式的“逆运用”

不少学生对诱导公式背得“滚瓜烂熟”,但却不能“倒背如流”,也就是不能“逆用”诱导公式。究其原因,还是不能灵活运用诱导公式。所谓诱导公式的“逆运用”,顾名思义,就是把诱导公式反回去应用。例如,能根据需要把sinα写成形如sin(π-α),-sin(π+α),-sin(2π-α),sin(2π+α),-sin(-α),cos(π/2-α),-cos(π/2+α),-cos(3π/2-α),cos(3π/2+α)等形式。在反三角函数的讨论及复数的研究中都需要大量“逆用”诱导公式。例1 求下列各式的值。 (1) arc sin(sin4) (2) arc ctg(ctg5) 对本题只需“逆用”恰当的诱导公式把自变量化     

巧设参数求解三角问题

有些三角问题,初接触时往往感到无从下手,此时,如果能巧妙地设出参数,则可以使问题出奇制胜地得以解决.现举数例说明,供同学们参考.一、求三角函数值例1设sinα+3cosα=2,求sinα-cosαsinα+cosα值.分析:此题若条件与sin2α+cos2α=1联立,求得sinα,cosα值,再代入计算,则过程较繁.可设sinα-cosαsinα+cosα=k,只须求出k的值即可.解:设sinα-cosαsinα+cosα=k,与sinα+3cosα=2联立得:sinα=1+k2-k,cosα=1-k2-k(k≠2)由sin2α+cos2α=1得:(1+k2-k)2+(1-k2-k)2=1即k2+4k-2=0解得k=-2±6.∴原式=-2±6.例2求sin220°+cos280°+3sin20°…     

向量背景下的三角函数的考查

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一.它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.以下针对向量在三角函数的图象与性质方面的应用作一简单的介绍,体现向量在三角函数中的工具作用.一、求值例1已知△ABC的三个顶点A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),其中π2<α<3π2.(1)若|AC→|=|BC→|,求α的值;(2)若AC→·BC→=-1,求cosα-sinα的值.解:(1)AC→=(cosα-3,sinα),BC→=(cosα,sinα-3).由|AC→|=|BC→|,有(cosα-3)2 sin2α=cos2α (sinα-3)2,整理得sinα=cosα,tanα=1.又因为π2<α<3π2,所以α=5π4.(2)因为AC→·BC→=-…     

错在哪里

1.设sin α+sin β=1/3,则sin α-cos2β的最大值是( ). A.4/3 B.4/9 C.-11/12 D.-2/3 错解:由sin α+sin β=1/3,得sin α=1/3-sin β,则y=sin α-cos2β=1/3-sin β-cos2β=1/3-sin β-(1-sin2β)=(sinβ-1/2)2-11/12.     

“弦化切”思想在三角问题中的应用

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…     

参数法求解三角函数问题

通过对三角问题结构的分析,合理引入参数,借助参数架起已知通向未知的桥梁,这样往往可以使问题得以方便简捷地解决,请看下面的例子. 一、整体设参 例 1 已知 3sinα+cosα=2,求(sinα-cosα+1)/(sinα+cosα+1)的值.解:设(sinα-cosα+1)/(sinα+cosα+1)=k,则(1-k)sinα-(1-k)cosα=k-1,与3sinα+cosα=2联立,可求得sinα=(3k+1)/(2k+4),cosα=(5-5k)/(2k+4)(k≠-2).