利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

证明形如A+B=C的问题

证明几何题时遇到求证两条线段的和等于另一条线段的问题,常采用的两种方法:①合成法:即将短的两条线段A+B合成一条线段D,然后证明D=C成立;②分解法:即将C分解为两条线段D和E,C=D+E,使A=D,然后证明B=E成立,即化归为证明两条线段相等的问题.举例如下:例1如图:在等腰三角形ABC中,底边BC上有任意一点P,过P作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,过C作CF⊥AB于F.求证:PD+PE=CF郾证法1(合成法):过C作CM垂直于DP的延长线于M,∠M=90°郾∵PD⊥AB,CF⊥AB,∴四边形DMCF是矩形郾∴AB∥CM,CF=BM=DP+PM郾∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵∠B=…     

谈谈解初中数学“阅读理解题”和“陷阱”题常用策略

一、例谈解阅读理解题例1已知如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足是E,BF⊥CD,垂足是F,求证CE=DF,小利同学是这样证明的：证明：因为OM⊥CD？所以CM=MD.因为ME//OM//OF（？）所以ME=MF（？）所以ME—CM=MF—MD即CE=DF问号是老师给他的批注,老师还写了如下的评语：＂你的解题思路很清析,但证明过程欠完善、相信你再思考一下,一定能写出完善的证明过程＂,请你帮助小利订正此题,好吗？点评这类阅读题,在展示问题全貌的同时,在关键处留下一些疑问,让学生思考,以补充欠缺的地方.     

例说与等腰梯形有关的探索题

近年来的中考中,与等腰梯形有关的探索题屡见不鲜,下面解析两例.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD,BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.(1)求证:四边形MENF是菱形.(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和低边BC的数量关系并说明理由.(2005年广东省中考题)解:(1)在等腰梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴AB=DC,∠A=∠D,∵AM=DM,∴△ABM≌△DCM(SAS),∴BM=CM,∵E、F分别是BM、CM的中点.∴ME=12BM,MF=12CM.∴ME=MF,∵N为BC的中点∴EN,FN都是△MBC的中位线∴EN∥CM,FN∥BM∴四边形MENF是平…     

用图象法证两角和的正弦、余弦展开式

两角和的正弦、余弦展开式可用图象证明.1.求证:sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.证明如图,在RtΔABC中,∠B=90°,D为AB上一点,边D作DE⊥CD于D,交AC于E,过E作EF⊥AB于F.     

射影定理的一个推论及其应用

现在我们先给出射影定理的一个推论:直角三角形两条直角边平方的比等于它们在斜边上的射影的比。已知:如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证:AC2BC2=ABDD。证明:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ADC∽△ACB,△BDC∽△BCA,∴ACAB=AACD,BACB=BBCD,即AC2=AB×AD……①,BC     

解梯形问题常用的辅助线

在解梯形问题时,常常需要添作辅助线,其目的就是将梯形问题转化为同学们所熟悉的平行四边形和三角形来解决.下面举例说明梯形中常用的辅助线的作法郾一、作梯形的高例1如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=∠C=90°,MA=MB,∠BMC=75°,∠AMD=45°.求证:BC=CD郾证明作AE⊥BC于E郾∵AD∥BC,∴DC=AE郾∵∠AMB=180°-75°-45°=60°,MA=MB,∴△AMB为正三角形郾∴AB=BM郾又∵∠ABE=60°+15°=75°=∠BMC,∴Rt△ABE≌Rt△BMC郾∴AE=BC郾∴BC=CD郾二、作梯形的中位线例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O…     

向量法在立体几何中的特殊用途

一、证明直线与平面平行一般情形下,我们在证明线、面平行时,常用其判定定理,即寻找线、线平行,但有时却难以找到平面内与已知直线平行的直线.此时,可以利用向量中的共面向量定理来证明.例1四棱锥P-ABCD中,PC⊥面ABCD,PC=2.在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,且PB=4PM,PB与面ABCD成30°角,求证:CM∥面PAD.分析要证CM∥面PAD,却难以在面PAD中找到一已知直线与CM平行.若能证C 与面PAD中的两向量共面,而C 又不在平面内,即可得证.证明如图1所示,建立空间直角坐标系.∵PC⊥面ABCD,∴∠PBC为PB与…     

巧用平移法解多中点问题

三角形中位线定理是一个很重要的定理,用它来证明多中点问题,经常要用“取中点,连中点得中位线”的方法,但在何处取中点呢?这个问题需要认真地研究.请看下面的例题.例1如图1,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,且DB=EC,M、N分别为BE、CD的中点,直线MN交AB于P点,交AC于Q点,求证:AP=AQ.证明:取BC的中点F,连MF、NF,则NF∥DB,MF∥EC,且NF=12DB,MF=12EC.因为DB=EC,所以MF=NF,∠1=∠2.又因为∠1=∠4,∠2=∠3,所以∠3=∠4,所以AP=AQ.说明:证明过程简明易懂.但是有不少同学可能会问:为什么会想到要取BC的中点呢?这是因为D…     

从一道课本习题到一道竞赛题

让我们先考虑《几何》第一册习题十六的第2题:题1 求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知:梯形 EBCF 中.BE(?)CF,∠E=90(?),M 是 BC 的中点,求证:ME=MF.     

证明三角形全等错误评析

在证明三角形全等时,有些同学常出现种种错误.下面举例说明,以引起注意.例1已知:如图1,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,求证:∠D=∠E.错证:在△ACE与△CBD中,∵AC⊥BC,DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC,DC=EC.∴△ACE≌△CBD.∴∠D=∠E.评析:上面的证明中,错误地应用了“SAS”,但∠ACB与∠ECD并不是这一对三角形中的内角.也就不是AC与CE、BC与CD的夹角,错误原因是未能深刻理解“SAS”判定方法.!正确证明:∵AC⊥BC,DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°.∴∠ACE=∠BCD.在△ACE与△CBD中,∵AC=BC,∠ACE=∠BCD,…     

2007年第7期问题解答

109.如图,正方形ABCD和正方形CEFG有公共的顶点C,M是AF的中点.连结MD、MG.问:MD、MG有怎样的关系?证明你的猜想.解:MD=MG,且MD⊥MG.证明:延长DM到N,使DM=MN,连结FN,交CD于点H,因为M是AF的中点,所以MA=MF.因为∠AMD=∠FMN,所以△AMD≌△FMN,所以AD=FN,∠DAM=∠NFM,则AD∥FN,∠AD     

一道重庆市2011年中考几何综合题的多解研究

例1如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连结EG、AF.(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.解析:命题者把等腰直角三角形与钝角三角形有机地组成一个梯形,令等腰直角三角形的斜边为梯形的下底,钝角三角形的最小边为     

面积计算与几何证明

利用面积计算来证明某些几何问题,具有直观、简便、灵活、新颖的特点,兹举例说明如下。一、证明线段相等例1 如图1,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上一点,且BD=CD,P是BC上任一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,求证:PE+PF=AB。 (1986年西安市中考试题)     

一图多题 一题多解

在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,(1)DE平分,(2)CE平分∠BCD;(3)DE⊥CE;(4)E是AB的中点;(5)AD+BC=CD,以其中两个为题设,其余三个为结论,是真命题的有几个,并会证明.析以其中两个为题设,其余三个为结论组合成的命题有十个,其中有九个是真命题,笔者就其中六个进行简单的分析证明.命题1(1)(2)→(3)(4)(5)已知,如图(1),直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,若DE平分,CE平分交AB于E,求证(1)DE;(2)E是AB的中点;(3)AD+BC=CD.     

一道平面几何赛题的思考

题目如图1,四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,PE⊥AD,PF⊥BC,PG⊥CD,M是线段PG和EF的交点,求证:ME=MF.(2006年江西南昌市高中数学联赛题)     

例析两线垂直的几种常用证法

题目 如图1,在梯形ABCD中,AB//CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点。求证EB⊥EC。（2008年山东省初中生毕业升学考试）下面笔者通过对本题的证明来探求证明两直线垂直或一个角是直角的几种常用方法,     

三角形的内接正方形的若干结论

三角形中内接正方形是常见的基本图形,它的一些结论有着广泛的应用.本文就三角形内接正方形的作图,面积关系及其应用作一探讨.1　三角形内接正方形的作法如图1,在锐角△ABC中,以BC为边作正方形BCDE,连AE、AD,交BC于F、G,分别过点F、G作FM⊥BC,GN⊥BC交AB于M,交AC于N,连MN,则四边形FGNM为△ABC的内接正方形.证明:由作法可得:MF∥BE∥NG∥DC,FG∥DE.所以MFBE=AFAE=FGED=AGAD=GNDC所以MF=∥NG且FM=FG,∠MFG=90°.　　所以四边形FGNM为△ABC的内接正方形.由作法可知,锐角三角形的内接正方形有3个.对于直角…