一类三角方程的根的计数方法

设月={0}f(以。,51,、0)=0,0任〔0,2二)},B={(x,梦)}f(x,夕)=0,z,+夕2=l,二,歹任R少, l叮2补 叱x‘十岁‘=1.由图2知.此方程组有二解,故应选(0. ,:A~刀,口~(eu叨,51.10),则,是月到B上的一一映射,从而有1川一1川. 事实上,任取0〔月,则。唯一对应着B,!,元素(二,;)二(eos口,51::刀);反之.任取(:,,)〔B,则(x,;)唯一对应着A,}‘元素0任{川x=e吸冠〕,夕=sjl一0,o任[0 .2二)}. 利用这个结论,我们可以把求}川的问题转化为求},jl.尤其是在J(二,妇一。的卜}象(把爪:,妇一。看成是平面曲线)容易作出的情况卜,这种方法能收到“短、平、快”的效果.试…     

题库(十五)

l，已知八川在(。刊一二)上有意义，且满足条件:①厂力在(。，十二)递减，且 /(”)典:②在(。，一卜。。)恒有厂帐) ·!f(a，一月一户‘，· (1)求厂戈l); (2)给出一个满足题设条件的函数.f(川. 2.定义在R_L的单调函数f(川，满足./(3)一}。g经，且对任意二，y任R都 有j(.二+夕)一j(二)+f(户. (1)求证了(对为奇函数; (2)若了(走·，)+.f(3一少一2)<。对任意、任R恒成立，求实数龙的取值 范围. 3.已知数列{2阴，{的前，，项和S一2’‘月 一红护，任N)，设工一止十上十…+ 乙与a八 一兰(，，eN 0. U如尸卜1 (l)求证孔十l一于<。; (2)若卫<…     

题库(二十)

1.己知为》一l，‘>。，函数f(.、一)一:十b的图象与函数g〔.川一厂十b二卡:·的 图象相切. (l)求b与‘、的关系式(用〔，表示b). 陀)设函数F(‘门一/(曰g(J). ①当〔、一魂时，在函数F(、)的图象上是否存在点M(J、，，、)，使得F(川在 ~.，*，._，卜“一、bJ‘J_，，、_。。_，，‘__一_一，一、、，_，__. 点M的一切线斜率为令.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由. J’一尸“一~“”/俨3一曰’J一’一J一~J”“一~一’甲了‘目”J一’r门叮‘尹J~卜目 ③若函数F(J，)在(一二，+二〕)内有极值点.求‘的取值范围. 2.已知函…     

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

反三角函数的统一表达式

设x,a为实数,〔妇表示不超过a的最大整数.则有 a r e 5 in(5 1 nx)=‘一‘,〔,(一〔令合〕·),a r eeos(eo sx)=‘一‘,〔a(x一印一羞一)‘r。七;(t、二,二一〔万‘合〕·‘x“‘ 号,‘任z,,ar。c。‘(c t gx)=x一〔器〕‘(x今k爪证令一k任Z)。k,‘粤(无任z) 乙则i一2李、k落: 石兀取‘=〔聋·扫X一汀.1、\十丁J兀少X一兀尹Ik 一 X声‘、 n .‘1 S则凳 韵为偶),产.、/饭、nX5 InX十合)为奇)X一才尹..叹户了、s一/!lj、;一(一1)〔盖 告〕5 1 nX-:a re sin(sinx)=(一l)〔七.全〕a r C 51·{(一i)〔乞 5 in(一〔器 扫二)}:一〔穿 合〕今.…     

高三数学寒假摸底自测题

一淡目喇.(本大是彤仁8泞，】清题，每个刁嘴晒6分，共48分) 1.设A、B两个集合，定义A一B一{川x任A，且x份B}，若M=咬二，}2， l!(2》，N={y ly=sinx，二任R卜，则M一N=(). A[一3，l〕;B〔一3，一l〕; C[一l，l」;D(一。、，一l) 2.一个等差数列的首项a‘一3，末项“。一45(n)3)且公差为整数，那么n的取值个数为(). AS;B6;C7;DS 3.在f3了一兴、”的展开式中含有常数项，则正整数一’一又一2一‘)”J‘~‘’一’卜刁「谬‘··~-，、，乃‘二‘一~~，:的最小值为(). A4;BS;C6;I)7 4.如果实数二、y满足}tanxl }tan川>!tan， tan引…     

美国数学竞赛题和解答

第四届(1975年) 1.(a)敲明 〔5刘弓一〔5川坏13洲一刃十〔3夕 刘,这里、,夕二0.其中「“〕表示不大于“的最大整数(例如〔丫丁]二1). (乙)利用(召)或不利用(a),敲明 (5,,2)乞(sn)1 而,:万汉不石呼一。)汉3,千石乃。’对任何正整数。,n均为整数。征(a)实际上我仍可以征明〔5刘十〔5夕〕)〔3、十y〕 厂3夕十劣〕详一〔万了 厅」 (1)祀了一二一〔刘,犷一,一[列,’那么O泛二‘<1,o《,‘(1. [5、〕 !5夕〕一[5[二] 5、,」 [5[y〕 5夕,〕 一5 tx}」一!5二‘〕 51,〕十15,‘〕, 〔3、十夕〕一于〔3夕斗一二〕 「劣〕 「夕〕 二3〔x} 〔y] 13.、‘ …     

关于反三角函数数列求和

设,任N,。任R,则如下各等式成立:i)are sin〔 拼牡(n+1)·(侧(:+1)2一那2一侧几“一仍2)〕=are“in竺一aresin一下哭 几拜甲1({号…、1)arCC08+训(n“一mZ)〔(忍+1)“一仍:〕‘,r3二l]明儿(刀+1)二are eos一卫L-一are 凡+leos塑 牡丝{簇1、路l/are七g饥(2几+1)了.、iii=aretg(叨戈0)(n+l)2哪一ar。tg兰,仍iv)a retg竺(3n2+3忍+1)____工_(n十1)2__,n“一己tU‘g—一a工习毛g;、二了 71乙打‘ (mv)等0)arCC七gf土丝二七哎一arCCog几阴功一arCctg几+1。(叨等0)饥设are oin竺=x,5 ifl 饥刀+1=夕C、Jar竺2(劣,夕任〔一色,2则。in劣=巡,5 in…     

求等差数列正整数次幂和的一种方法

关于乙尸(‘任N)的计算,已经有了一些方法.而对其一般情形乙讨(k〔N,{a,}是等差数列)的计算.笔者还未见到文章沦及,本文给出一种方法. 定理若{“。)是等差数列,且公差d括。,k任N,则习时可表成关于)I的‘十1次多项式.d侧。 一一 a·习i=1证:(1)当*一时,二a夕一 d.十(a;一于)”,结论成立. 、一‘2’一’一曰‘目’~一’ (2)假设结论当k镇从时成立,则由 (u: ,,d)”‘ 了=〔a, (,,一l)d」,tI 乏 几 。[a,十伽一1)d亚十‘d … C笼转少十“,〔a, (,,一l)d」,,I干公一压, (。一2)了」加 “十吼 :压, (”一2)J〕’ ‘d … C二:转d,十“,…,(a,十…     

每期一题

题:设z〔R,:/(l+22)〔R。则12卜1。 证法一:利用复数的代数式。设之二a+b云(今今0,a,乙〔R),有z八1+‘2) 、_a+a乙“+as+吞(1一aZ一西2)玄 一_一「而卜--一 丫!1+:名I’>o,由已知得:b(l一a,一bZ)=O,又b斗O, .’.砂十b,二1,故}川=侧妥‘不丢三二1, ·证法二;利用复数的三角式。 设之二犷(coso+isino)·(了)o,‘ino钾0), 有:八1+:’)=下(。050+1 sino).=2,z:=1,故}:卜1。 汀法五:利用二共扼复数的积为一实数 48(1+,·“广。”20一下’sinZ。)小+“’[,由分子的虚部了(x一:“)sino=o,故,=1。 证法三:利用一个实数的共辘复数仍是这个数。 由…     

高一第一学期期中测试

、选择题 川 1.已知集合 合八了自N为( 八丁~)( 夕一2{,N一汀八夕)}、二一刃一!{.刀l‘么集 八., (.{污 一1 (3,一1) {(3.一更) 2.设函数/( 、.()一“ 矛)一(逮 L弓.1‘之 B 正) 1)’ 挂R 的减函数.则“的取f直范川是 (.‘,~)2 D.“2 厦)) 3.已知函数/(,’一廿。_,。。,.911]汗一/(一,一!一‘ A.J(今匕一8(’.81).8或8 4.如果函数/(.:)一,}2(。之一l).,十2在卜_间[4.十)上是递增的. 那么实数‘,的取值范围是(). 八.‘亡乏_一:弓卜.〔才一3(’.‘之气5 D.“少5 5.已知命题户:u一‘,一().命题叮:(),一。逮共、1.则户是(I的(). 八.充分不必…     

一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

函数y=x＋p／x（p≠0）的单调性及其简单应用

1函数y一x 吏(p护0)的单调性 1.lp<0时,y=x 吏在区间(一co,0)与 工(0,十co)内均是增函数. 证明:因为函数y二二在(一co, co)内是增函数,当,<0日寸,,一;在‘一,0)与(“, oo)内均是增函数,所以函数y一x十吏(P<0)时在(一co,0)与(0, co)内均是增函数. 1 .2P>0时,设xl相似文献   

每期一题

题已知P,+叮s==2,其中P,召〔R,求证P十q《2. 证法一设m二P+q,则q=勿一P,代入P3+口名二2,得 3阴P“一3oZP+ms一2二0……① ,.’P,口任R, .’.m〔R,且切专O(否则P=一‘=群势沪+护二0),故关于P的实系数一元二次方程①有实根,从而有 (一3川“)“一4·3阴·(川3一2))0- 即一3勿(川“一8) ”一3爪(从一2)〔(m+l)2+3〕)0, .’.0<切(2,故有p+q城2. 证法二(反亚法)假设户+刃>2,则,.’力3+叹3之(茸:一卜刃)(力“一P住+叮2)“2, .’. PZ一妇+口“<1.……② ,.’P,q〔R,.,.乡2+夕2》ZPqs几PZ一pq+召盆二tZ)l,故得夕十q《2.粤证法四令夕=xcos…     

两个命题的推广及其统一证明

文「1]介绍了如下两个命题: 命题1月十B一‘十D沪o,矛十兮~户+,(。为大于1小于8的某一整数),则一月一B-一C一D,(一月)’+(一B).二(一C)’十(一D)’,}川十1川二}cl+}川,夕l口尹、l 或CD十卜一一A一CB=D或!”一n, 飞B=〔了.一{一{}月}因}月】、}B}、}C川’=】cl’十}川:川)o,由情形①的结论有 命题2月+B一c+刀,公万+弓石歹一了万+令万护0(。为大于1小于8的某一整数),则{滋一尸,或{月一“LB=D,tH=〔了.】川=A二C,B=D,}Al=!n}}刀}=le!月一D,刀一C. 这两个命题在解题l!‘颇有应用,但这两个命题的儿均限于大于1小于8的整数是不必要的,…     

题库(十七)

1.设函数f(力在(一二，+二)上满足f(2一川一f(2+川，‘f(7一力一j(7+ 川，且在闭区间〔O，7〕上，只有f(l)一f(3)一0. (l)试判断函数y一f(二)的奇偶性; (2)试求方程.f(二)一。在闭区间〔一2。。5.2 005〕上的根的个数，并证明你的 结论. 2.已知二次函数f(‘r)一尹+“二+b(a，b〔R). (1)若方程f(对一。有两实根，且两实根是格邻两整数，求证f(一a)- (aZ一1); (2)若方程f(二)一O有两非整数实根，且这两实根在相邻的两整数之间，试 证明:存在整数*，使得}f(*)}镇今. 任 3.已知j(二)一a尸+汽厂+。二+d是定义在R上的函数，其图象交，轴于A， B…     

试从整体看问题……(高一、高二)

1.整体代换例1已知a,b,‘任R ,求证 3.整体变形 例3(x一l)3一(x一l)4 (x一l)5一(x一1)“十… (x一l)l”一(一1)““展开式中,x3系数是 分析本例既可以逐一求出护的系数,也可以先求和,然后求出护的系数. 解法1设护的系数为M,由题意知: M一谓 以十c葺 c言 …十c指 c查石 一c父 以 C聋 磷十…十c指 c鑫乙 一c鑫{一C鑫1一5985. 解法2设所求式为S,其中护的系数为(x一1)“{l一〔一(x一1)]’8}1一「一(x一1)jM,则 燕 众 六、李 分析按常规思路去证明,比较困难,可从整体考虑,将右边的普“平均分配”给左边的每个结构式“作差”,即可达到证明的目…     

关于形如arcsin(sinx)的求值

、关于aresin(sinx)的求位2.当:〔〔一要, 乙晋〕时,a‘c,‘n(,‘nx)=X。证明:’.‘sinx〔〔一1,1〕 。rcs;n(s;。劣)。〔一号,二、2,月.sin〔aresin(sin二)〕二sinx又:〔〔一要, ‘二2而正弦函数在〔一要 石创上是增函执.’.ar“s恤(51”‘)·‘·证毕 ,.推论:当“〔一备,蛋,时,如,有了一“,二〔一二,吞〕,l!.厂”‘忍寻公、丈价有51;、x~:in。,),!{laresin(sinx)~a。 仁”,:求a rcs‘n〔,‘n(一梦,〕的值. 川‘:原式-一‘·〔S‘n(一二一誓)〕 一。rcs;n〔一in(二+誓,, 一ar。5 in(s‘n誓, .丝 7 二、类似地,当x在其它反三角丙数的值域中…     

2006年7-8月号“数学创新与实践竞争”参考答案

题1叮·052x装满的牙膏瓶的体积叭二下·22 x 20=80叮(cI记).每次挤出才禽的体积F，二粉二。.257T((.rT，)，可用8()cr二32川次).扩大川圣后每次挤出牙膏的体积vZ二邮(). 25叮酬络二·o石2火l二0·36二(。nl，)·可用一呈9卫二222(次).可少用320一222二98(次). 036叮题2依题意，得动二l M=丝奸l巨妇卫少l) (a+l)(方+l)瓜二一卜1竺+1_二(‘，+I)(b+l、故M=人一，Z)+‘，+动+I) (‘什l)又乙+l) a+乙+2 (‘z+l)(b+l) Zab+a十b 2+a+b (a+l)(b+l)(a+l)(b+l)砂缪题3〔l)小明应朝下一站走.(2。小明的速度至少应为3oo 3!箫娜krn/h.衡任编嘱/穆…     

用判别式求取值范围(高一、高二、高三)

例1求证分析设a,b,c任R,且a b c=1. aZ bZ 。2)采用分析法,要证;把此式看作关于a的一元二次方程.因为a任R,所以。)o,即所以所以同理(。一l)2一4(。2一。 丰、李。, 、任,-aZ bZ eZ一3b2 Zb)0.即证3(aZ bZ十。2))1.结合条件中a十b十。一1,即12=(a b 。)2,代人s(aZ bZ 。2))l中得 3(aZ bZ 。2))(a b 。)2,化简该式,不难得到 (a一b)2 (b一‘)2 (。一a)2)0.此式恒成立,即获证. 如果换一种思路,不妨设“。[。,封。,。。[0,普」·l一3妻采用判别式法确实很精妙,运用到例1依旧可行c=l一(a b),要证aZ 。2 。2一喜李。, j即证。一粤十。, j 1,…