分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…     

对数求导法与幂指函数导数公式

一、对数求导法新编教材高中第三册 (选修 )中有对数函数的导数公式 :(lnx)′= 1x,(logax)′= 1xlogae,当函数 f(x)蕴含的运算关系复杂时 ,可用对数求导法求 f′(x).例1 f(x)= 3 (x+2)2(3x-2),求f′(x).解 :lnf(x)= 23ln(x+2) +13ln(3x-2) 1f(x)·f′(x)= 23· 1x+2+13· 33x-2= 9x+23(x+2)(3x-2) f′(x)= 3(x+2)2(3x-2)·9x+23(x+2)(3x-2)= 9x+23· 3 (x+2)(3x-2)2解法中的疑惑是 :两边取对数后 ,定义域发生了改变.如何理解 ?为了释疑 ,先解决函数y=loga｜x｜的求导问题.例2函数 y=loga｜x｜ ,求 y′.解 :由例2,对数函数的导数公式可扩展为…     

是巧合还是必然?——由一道习题的解答引起的思考

正一、问题及解法在复习《集合与常用逻辑用语》之后,我让学生课下做高三一轮复习资料上的一道题:若三条抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴有交点,求a的取值范围.第二天上课时,发现学生的解法大都如下:     

你会“一分为二”吗?

代数中 ,对于一个方程f(x) =g(x)的解的个数问题可用两条曲线 y1 =f(x)与 y2= g(x)的交点个数来判断 .我们不妨将此法称之为“一分为二” ,它是我们处理此类问题的一个很好的方法 .但如何使用这种方法 ,以及在使用过程中应注意哪些问题 ,却经常困扰着同学们 .在此笔者愿跟大家谈谈对这个问题的看法与认识 .一、哪些问题适合“一分为二”1 方程解的个数的判定与讨论例 1　方程log2 (x+ 4) =3 x 的实数解的个数是 (　　 )(A) 0　　 (B) 1　　 (C) 2　　 (D) 3解　令 y1 =log2 (x + 4) ,y2 =3 x.作出函数y1 与y2的图象 (如图 1) .由图 1可知 …     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆C1:x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,圆C2 :x2 +y2 + 2x + 2 y- 8=0 ,求经过两圆交点A、B的直线l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,(1)x2 + y2 + 2x + 2 y- 8=0 . (2 )(1) - (2 ) ,得- 4x+ 8y - 16 =0 ,即x- 2 y + 4=0 ,变形得　x=2 y- 4. (3)将 (3)代入 (2 )化简整理 ,得y2 - 2 y =0 ,解得 y1=0 ,y2 =2 .将 y1=0 ,y2 =2…     

例谈函数图象变换在解题中的应用

函数图象是以“形”来描述函数性质的,它能直观地反映函数所蕴含的基本关系.正确理解和熟练掌握函数图象变换的规律,能有效地增强我们对图形变化的认识,把握住问题的关键,提高解题的能力.以下是几种常见的函数图象变换关系:Ⅰ 平移变换(1 )水平平移:y =f(x±a) (a >0 )的图象,可由y=f(x)的图象向左( )或向右(-)平移a个单位而得到.(2 )竖直平移:y =f(x)±b(b >0 )的图象,可由y=f(x)的图象向上( )或向下(-)平移b个单位而得到.Ⅱ 对称变换(1 )y =f(-x)与y =f(x)关于y轴对称;(2 )y =-f(x)与y =f(x)关于x轴对称;(3 )y =-f(-x)与y =f(x)关于原点对…     

数学解题中的化归策略

“化归”是指把未解决的数学问题 ,通过某种转化过程 ,归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去 ,最终求得原问题的解答的一种手段和方法 .1.复杂向简单化归一个比较复杂的数学问题 ,往往是由几个简单问题构成的 .因此 ,只要把这些简单问题一一加以解决 ,就可以使复杂问题得到解决 .例 1　解方程组3 (x +y -1) +2 (x -y) =64 ,4(x +y -1) +5 (y -x -3 ) =78.①②解 :设x +y -1=m ,x -y +3 =n .整理得3m +2n =70 ,4m -5n =78.　解得 m =2 2 ,n =2 ,即　 x +y -1=2 2 ,x -y +3 =2 .解这个方程组得x =11,y =12 .评注 :把方程组中重复出…     

导数,给您全新的感受——2004年全国高考上海卷第20题的导数解法

20 0 4年全国高考上海卷第 2 0题是一个有关函数与方程的综合性问题 ,命题组分别给出了用函数思想 (数形结合 )和方程方法解答的两种参考答案 .本文给出导数解法 ,并将该问题推广 .试题　已知二次函数 y =f1 (x)的图象以原点为顶点且过点 ( 1,1) ,反比例函数y= f2 (x)的图象与直线 y=x的两个交点间的距离为 8,f(x) =f1 (x) f2 (x) .( 1)求函数y=f(x)的表达式 ;( 2 )证明 :当a >3时 ,关于x的方程f(x) =f(a)有三个实数解 .由于本题的第 ( 1)小题是常规问题 ,不作讨论 ,本文只探索第 ( 2 )小题 .1　与函数思想相结合的导数解法解法 1　由 ( 1)…     

谈过任一点作三次曲线切线的条数问题

2007年全国卷(Ⅱ)第22题:已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的3条切线,证明:-a相似文献   

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目　设双曲线C :x2a2 - y2 =1 (a >0 )与直线l:x y =1相交于两个不同的点A、B .(Ⅰ )求双曲线C的离心率e的取值范围(Ⅱ )设直线l与y轴的交点为P ,且 PA=51 2 PB ,求a的值 .图 1根据课本 p132 1 3题的解法可知 ,该题第 (Ⅰ)问可用反证法求解 .下面给出另一解法 :(Ⅰ )由C和L相交于两个不同的点A、B ,故知方程组x2a2 - y2 =1 ,x y=1 .有两个不同的实数解 ,消去 y并整理得( 1 -a2 )x2 2a2 x- 2a2 =0 .由Δ =4a4 8a2 ( 1 -a2 ) =0得a =2 ,a=0 .　　根据图 1知 :方程无解 ,则a>2或a<0 ,且a=1 ,a=2时仅有一解 .所以方程组有两个不同…     

巧算平均数

【例1】　已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】　已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是　　　　.解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】　求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73…     

错解背后的真相

1 困惑重重思错解 已知f(x)=aexInx+bex-1/x,曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)证明:f(x)＞1. 原解:(Ⅰ)f(1)=2,f1(1)=e,解得a=1,b=2. (Ⅱ)f(x)=exInx+2ex1/x,f(x)＞1(=)xInx＞xe-x-2/e,设k(x)=xInx,则k'(x)=1+lnx,故k(x)min=k(1/e)=-1/e,h(x)=xex-1-2/e,则h'(x)=e-x(1-x),故h(x)max=h(1)=-1/e,所以:xlnx＞xe-x-2/e(=)f(x)＞1. 这是2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题,开学初,笔者把它介绍给学生.有一个学生提出了他的一个困惑,说第二问按他的方法怎么也做不出来.     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检     

核心素养导向下对一道高考试题的解法探析

1试题呈现(2020年高考全国Ⅲ卷理科21题)设函数f(x)=x^3+bx+c,曲线y=f(x)在点(1/2,f(1/2))处的切线与y轴垂直.(Ⅰ)求b;(Ⅱ)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.     

在解题中培养学生思维能力

解答习题一方面使学生理解和巩固所学到的知识 ,另一方面也可以培养学生的思维能力 .本文通过一道解析几何题的两种解法 ,谈谈对学生思维能力的培养 .问题 :求过直线 x 2 y 2 =0与圆 x2 y2 -2 x 4 y 1 =0的两个交点和点 ( 2 ,3 )的圆的方程1　通过已知与未知的辩证关系求解分析 :如果先求直线 x 2 y 2 =0与圆 x2 y2 -2 x 4 y 1 =0的交点 ,再将两个交点和已知点 ( 2 ,3 )分别代入圆的一般方程 x2 y2 Ax By C=0 ,以求 A,B,C,将涉及二元二次方程的问题 ,做起来较繁 .由解析几何知识 ,方程 x2 y2 Ax By C λ( x2 y2 A′x B′y C′)…     

反函数的应用(高一)

例1 方程x+lgx=3和方程x+10x=3的根分别为α、β,求α+β. 解因为lgx=3-x,10x=3-x. 没f(x)=lgx,则 f-1(x)=10x. 分别作出函数f(x)、f-1(x)和直线y=3-x的图象,y=f(x)与Y=3-x的交点A(α,3-α),y=f-1(x)与y=3-x的交点为B(β,3-β).而     

怎样证明函数图象恒过定点

1 直线或曲线恒过定点的理论依据 1.1 由"f1(x,y) g(m)·f2(x,y)=0"求定点 在平面上如果已知两条曲线(包括直线)C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0相交,则f1(x,y) g(m)f2(x,y)=0的图象过C1,C2的交点.     

2006年全国联赛一试第15题的讨论

2006年全国联赛一试第15题:设f(x)=x2+a,记f1(x)=f(x),fn(x)=f fn-1(x),n=2,3,…,M={a∈R|对任何正整数n,|fn(0)|≤2}.证明:M=-2,41.本题讨论带参数a的函数f(x)=x2+a的迭代,讨论Mandebrot集.由于|f1(0)|=|a|≤2,即知a>-2时a M.但M的上界又如何探求得到?若将本题“证明M=-2,41”改成“求M”,又如何解答?笔者通过几何直观引发思路,得到比较自然的解法.首先,我们在曲线y=x2+a上作出点列An(n=1,2,…),使An的纵坐标恰为fn(0).从An的变化趋势来探求M.考虑y=x2+a与y=x的交点,即f(x)=x2+a的不动点.由x2+a=x,得x1=1-21-4a,x2=1+21-4a.(1)当a>14…