关于椭圆弦中点问题的练习课

这次练习课,我编选了下面的题组:1.过椭圆 x~2/64 y~2/36=1上一定点P(-8,0),作直线交椭圆于 Q 点,求线段PQ 的中点的轨迹方程;2.求椭圆 x~2/4 y~2=1的斜率为1的弦的中点轨迹方程;3.在椭圆 x~2/16 y~2/4=1中,求经过点     

例谈高考解析几何题中参数的考查与运用

<正>一、用直线的斜率作参数例1(2013年浙江卷)如图1,点P(0,-1)是椭圆C_1:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的一个顶点,C_1的长轴是圆C_2:x~2+y~2=4的直径.l_1,l_2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l_1交圆C_2于A,B两点,l_2交椭圆C_1于另一点D.(1)求椭圆C_1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l_1的方程.     

关于选取y=tx+m化普通方程为参数方程的问题

现行通用教材高中数学第二册有关参数方程的教学内容中,有一个习题: 设y=tx+4(t是参数),求椭圆4x~2+y~2=16的参数方程(课本第199页,第4题)。选取参数t与坐标变量x、y之一的函数关系,这是化普通方程为参数方程的一种常用的方法。而在上题中,设y=tx+4,则是参数t与坐标变量x、y之间的关系式,显然并不属于前者,而是属于y=tx+m的一种类型。     

轨迹的纯粹性不可忽视

《数学通报》88—2《高中数学复习探讨》一文P33例4: 已知椭圆方程x~2/4+y~2=1,过P(4,-2)作一直线l交椭圆于M、N两点,又Q点在直线l上,并且满足2/|PQ|=1/|PM|+1/|PN|。求Q点的轨迹方程。解:设过P点的直线方程为 {x =4+tcosθ y=-2+tsinθ(t为参数)代入椭圆方程得(cos~2θ+4sin~2θ)t~2+(8cosθ-16sinθ)t+28=0由2/|t|=1/t_1+1/t_2得Q点轨迹方程为:     

怎样运用三角代换解题

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.     

对2007年浙江省高考数学卷文科第21题的评析

题目如图1,直线 y=kx b 与椭圆 (x~2)/4 y~2=1交于A,B 两点,记△AOB 的面积为 S.(1)求在 k=0,0相似文献   

利用曲线系方程证明圆锥曲线上四点共圆

苏教版选修2-1《圆锥曲线》2.6.3"曲线的交点"中例题2:在长、宽分别为10 cm,18 cm的矩形地块内,欲开凿一花边水池,池边由两个椭圆组成,试确定两个椭圆的四个交点的位置?解建立合适的直角坐标系,得到两个椭圆的标准方程:x~2/25+y~2/20.25=1和x~2/6.25+y~2/81=1,通过解方程组得到两个椭圆的四个交点坐标     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检     

错在哪里

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.     

也谈椭圆内接矩形的一个性质

在高二《解析几何》课本总复习题中有这样一道习题:“已知椭圆x~2/(16)+y~2/9=1,求椭圆内接正方形的面积.”(P 192) 对于这一道题,通常解法如下: 设椭圆内接正方形一个顶点坐标为(x_1,y_1),则另外三个顶点坐标为(-x_1,y_1)(-x_1,-y_1),(x_1,-y_1),再由正方形的特征可得|x_1|=|y_1|,代入椭圆方程立得:x_1~2/(16)+x_1~2/9=1,即得:x_1~2=(144)/(25) S正方形=4x_1~2=(576)/(25)     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

利用判别式解几何题

判别式定理在初中数学中的应用很广泛,一些几何问题可以通过构造一元二次方程,利用判别式的性质来解决。本文举数例说明。 例1 矩形ABCD中,AB=5,AD=8,在AB、AD上各取点Q、P,使PQ=3.求五边形PQBCO面积的最小值。解:设AP=x,AQ=y,△APQ的面积为S,x/y=t∵PQ=3,∴x~2 y~2=9.则S=1/2xy=去分母,得2st-9t 2s=0,∵t为实数,∴△=81-16s~2≥0,解得S≤9/4. ∴五边形PQBCD面积的最小值是5×8-9/4=151/4.     

“不存在”不等于无意义——一道经典题的课堂延续

1课堂遗留在一次点差法的教学中,笔者评讲了一道经典题:已知椭圆方程为x~2/4+y~2/3=1,求以点P(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线方程.讲解时,笔者有指向性的选取了一位学     

运用参数法求最大(小)值

在数学教学中,如能应用参数解极值问题,有时是比较方便的。下面我们举几个例子。 例1 求椭圆内接矩形面积的最大值。 解 设椭圆参数方程为:x=acosθ或y=asinθ θ为参数。由对称性,它的内接矩形面积为:S=4|acosθ·bsinθ|=2ab 。|sin2θ|≤2ab, ∴椭圆内接矩形面积的最大值为2ab。     

关于一类三角形的面积及其性质

讨论下述课题;中心在原点,焦点在X轴上的椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1设点p(x,y)是椭圆上的一点;且随圆(1)的顶点排除在外,很显然,任意选择椭圆中的两个顶点,并与点p(x,y)连结,都能构成三角形,指出这些三角形面积的性质.同样的,对于共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1,-x~2/a~2+y~2/b~2=1也有相应结果.     

此类解题技巧是否有强化的必要?

我们首先看解析几何中的一个经典问题.例1直线l:x=my+1与椭圆C:x~2/4+y~2=1相交于P、Q两点,设A(-2,0),求三角形APQ面积的最大值.解:如图1,设直线l:x=my+1与x轴交点为R(1,0),直线l与椭圆C的     

曲线的参数方程与含参数的曲线方程

曲线的参数方程与含参数的曲线方程是解析几何中两类相互区别又相互联系的常见问题.当参数变化时,参数方程表示一条曲线,而含参数的方程通常表示一个曲线系.例如参数方程(x=cost y=sint)表示一个圆(圆心为原点,半径为1),而含参数的方程 x~2 y~2=t~2表示一个圆系(圆心为原点,半径为|t|).研究参数方程与含参数的方程,不仅有助于解决解析几何中的一系列问题,而且有助于理解函数思想的实质,提高对变量数学这一高中数学的主体的认识,发展数学思维.一、曲线的参数方程及其应用     

北师大版八年级(下) 第2章 分解因式

一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ).     

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

例析曲线相交条件

利用方程讨论两曲线位置关系时,不少学生认为△≥0,两曲线有交点.这是一种不正确观点,例如:题:如果动圆(x-k)~2 y~2=16(k为常数)与椭圆4x~2 9y~2=36有交点,求k的取值范围.