关于图的优美性的一个猜想的证明

在齿轮图Wn的每个齿的顶端分别加上m1,m2,…,mn条长为1的边后构成的图称为顶边星图．记为Wn(m1，m2，…，mn)．当m1=m2=…=mn=k时，简记为记W^n m{1]猜想：W^n m是优美图．本巧妙地构造出一类优美标号，证明了试Wn(m1，m2，，…mn)是优美图．解决了[1]中的猜想，我们的方法与[1]比较更加简洁。     

对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

完全二部图的边优美性

研究了完全二部图及其局部边迁移图的边优美性．主要结果有：当（m,n）=1时,奇阶完全二部图K(m,n)为边优美图的充要条件是m＋n|mn＋1．     

图W4k,n及其r-冠的优美性

马克杰等在文（1）中证明了p1∨p2及其r-冠是优美的，从而猜想；任意优美图的r-冠都是优美的，在此猜想指引下，本文明明了：当m=0（mod 4），Wm,n为优美图的充要条件是n=0或3（mod 4）在此之后又证明了：Wm.n当m=0（mod 4）r-冠也是优美图。     

关于3-γ-临界图的Hamilton性

设ap→b是无终点的3－γ－临界图G的一条Hamiltonian路,文［3］证明了当d（a,b）＝3时,G是Hamiltonian图．本文进一步研究3－γ－临界图的Hamilton性,得到如下结果：如果d（a,b）＝2且｜T｜＝1或T＝N（a）∩N＋（b）,则G是Hamiltonian图．这里,T＝V（G）－［N（a）∪N（b）∪｛a,b｝］．     

成果集锦关于双圆四边形的一个猜想

成果集锦关于双圆四边形的一个猜想设双圆四边形内切、外接和其旁心四边形外接圆半径分别为ｒ、Ｒ和Ｒ０，文［１］猜想本文得到反向不等式：定理引理１［１］引理２［１］引理３两式相乘整理即得引理３．在引理３中，令ｔ＝，即得取ｆ（λ）＝左－右，由引理４知ｆ（λ）...     

应用乘法公式错例分析

乘法公式作为初中代数的重要基础知识之一，我们不仅要准确掌握，熟练记忆，还要会运用这些公式．初学乘法公式，有些同学由于对公式的理解不深，在运用公式时，稍不注意，就容易出错，现将几种典型错误举例归纳如下：例1计算：（1）（a＋2b）2；（2）（a－2b）2错解（1）（a＋2b）2＝a2＋4b2；（2）（a－2b）2＝a2－4b2．错误分析上述解法错误是由于对完全平方公式没有掌握好，（a±b）2展开后共有三项：a2±2ab＋b2，这里共有两项，缺少了乘积项．错误分析（m＋2n）（m2＋2mn＋4m2）的2mn项的符号为正片（“＋”），（m＋2n）（m2－4mn＋4…     

Gerretsen不等式的加强

贵刊文［1］将一道课本练习题改造，加强为：设a、b、c为非负实数.则文［2］将（1）式进一步加强为：设a、b、c为非负数，m＝min(a，b，c），则现在可以利用（2）式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为：这里，a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长，半周长，外接圆半径和内切圆半径，m＝min{1/2（b＋c－a），1/2（c＋a－b），1/2（a＋b－c）｝．证对（2）式作置换a→1/2（b＋c－a)，b→1/2（c＋a－b),c→1/2（a＋b－c）．这里，后者中的a、b、c构成某一三角形三边长．这样，由（2）式经化简整理（具体过程从略）可得依据三角形中恒…     

根据多项式的特点分解因式

因式分解是初中数学的一个重要内容．然而,许多同学在进行因式分解时,有一种盲目感,不知选用哪一种分解方法．笔者根据多项式的特点谈几种分解因式的技巧,供同学们复习时参考．1．二项式的分解方法（1）常用方法：运用平方差、立方和、立方差公式进行分解．例1分解困式：9。Zb。解原式=（3a）2－b2＝（3。＋b）（3。b）．侈IJ2分解因式：27n。’－8n3．解原式一（3m）’－（Zn）s＝（3m－2,。）〔（3m）’＋3mx,Zn＋（2n尸］＝（3m－2n）（gm’＋6mn＋4nz）．注利用公式法分解时,必须牢记平方差。立方和、立方差公式的特点．切记：…     

平行四边形的解析研究

文［1］指出：平面上到两相交定直线的距离之和为定值的点的轨迹是矩形．并且任何矩形的方程具有│A_1x B_1y C_1│ │A_2 B_2 C_2│=1(1)的形式．那么，方程（１）所表示的曲线是否一定是矩形呢？对此，早在文［1］之先，文[2]证明了以下事实：方程x－a -b=C所表示的曲线是一个正方形．稍后，文[3]又证明了，方程（l）在m＝1时所表示的曲线是一个平行四边形．但文［2]、[3］均走的从方程到曲线的路线．过多地赖于对区域的分析．本文受启于文[1]的思路，走从曲线到方程的路线．先揭示平行四边形上点的一个特征性质，再由此简单地建立平行…     

有理数运算的若干技巧

在有理数运算中，除了正确、熟练地运用运算法则进行计算外，如果能仔细分析题目特点，应用一些技巧，则可以简化运算过程，提高解题速度．下面介绍有理数运算的一些技巧．一、正数和负数分开相加例1　计算：（＋5）＋（－6）＋（＋3）＋（＋9）＋（－4）＋（－7）．解　原式＝［（＋5）＋（＋3）＋（＋9）〕＋［（－6）＋（－4）＋（－7）］＝（＋17）＋（－17）＝0．二、相反效结合格加例2　计算：（－18．65）＋（－615）＋（＋18．15）＋（＋6．15）．解　原式＝〔（－18．65）＋（＋18.15）］＋［（－6．15）＋（＋6．15）］＝（－0．5…     

平衡态教学中一个值得重视的问题

最近读了题为《力热综合题中的一个误区》的文章［１］．文中对两道常见力热综合题的编创提出异意，两道原题如下． ［题１］如图１所示，气缸竖直放置，气缸内的圆形活塞面积Ｓ＝１ｃｍ２，质量ｍ＝２００ｇ．开始时，气缸内被封闭的气体的压强Ｐ１＝２×１０５Ｐａ，温度Ｔ１＝４８０Ｋ，活塞离气缸底部的距离Ｈ１＝１２ｃｍ．拔出止动销钉（气缸不漏气），活塞向上无摩擦滑动，当它达到最大速度ｖ时，缸内气体温度Ｔ２＝３００Ｋ，求此时活塞距气缸底部的距离Ｈ２为多大？（已知大气压强Ｐ０＝１．０×１０５Ｐａ） ［题２］如图２所示，…     

含括号的多项式的因式分解

对于某些含括号的多项式的因式分解，利用一定的方法，常可避免去括号的繁琐，收培的效果．一、对括号内的多项式进行变号处理例1分解因式：a（a－b）2－b（b－a）2解原式＝a（a－b）2－b［－（a－b）］2＝a（a－b）2－b（a－b）2＝（a－b）3例2分解因式：x（y－z）（z－x）－y（z－y）（－z）．解　原式＝x（y－z）（z－x）－y［－（y－z）］·［－（z－x）］＝x（y－z）（z－x）－y（y－z）（z－x）＝（x－y）（y－z）（z－x）．二、对括号内的多项式进行整体处理倒3分解因式：（x2＋4）2－16x2.解原式＝（x2＋4）2－（4x）2＝（x2＋4＋4x…     

勾股逆定理的推广

用导数方法对勾股逆定理进行了推广，得到了如下结果：在△ABC中，若△a~x＋b~x＝c~x，其中x∈R－［0，1」，则1）当x∈（－∞，0）∪（1，2］时，Cmax＝；2）当x∈［2，＋∞）时，Cmin＝．此外，给出了上述结果的两个推论及其应用．     

素数个数问题的三种新证法本文

我们已熟知欧几里得和欧拉给出过素数无穷多的证明，据说目前已有十几种证明方法，笔者现在提供三种新证法． 　　 文［1］介绍了笔者发现并整理的素数公式——埃拉托塞尼筛法的公式．埃氏筛法是用素数p1，p2，…，pk去筛p2k＋1以内的合数，剩下的就是（pk＋1，p2k＋1）区间的素数了． 　　 文［1］式（1）中ai＝1，2，…，pi－1即a≠0．它有两个特性：……     

芬—哈不等式等号成立的补充条件及一个极限值的猜想

芬—哈不等式等号成立的补充条件及一个极限值的猜想杨杰飞（黑龙江省齐齐哈尔农行干校１６１００６）刘毅（黑龙江省齐齐哈尔教育学院１６１０００）依［１］．芬──哈不等式可一般地叙述为其中ａ，ｂ，ｃ为三角形的边长，Ｓ为三角形的面积，Ｑ＝（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ...     

因式分解的应用

恒等变形在数学解题中几乎处处碰到．利用因式分解是进行恒等变形的一种很重要的数学方法。它的应用极为广泛，这里就同学们已学过的知识内容谈几点应用．一、数值计算例１若ａ＝－２，ｂ＝０．２，求代数式［（ａ２＋２ａｂ－８ｂ２）÷（ａ－２ｂ）－（６ａ２＋ａｂ－ｂ２）÷（２ａ＋ｂ）］÷　的值．解原式＝［（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）÷（ａ－２ｂ）－（３ａ－ｂ）（２ａ＋ｂ）÷（２ａ十ｂ）］·２ａ＝［（ａ＋４ｂ）－（３ａ－ｂ）］·２ａ－（－２ａ＋５ｂ）·２ａ∵ａ＝－２，ｂ＝０．２，∴原式＝［－２×（－２）＋５×０．２］…     

解集合问题中的几种常见错解剖析

有关集合问题，涉及的范围广，内容多，难度大，题目灵活多变，解法花样繁多，往往产生错解，是教学中的一个难点．现将常见的几类错误分类、整理，以期引起重视．一、忽视空集是任何集合的子集导致出错．例1设A={x-x~2 3x-2≥0}，B＝{xx~2-mx 1≤0}．且有BA，求实数m的取值范围．错解易知A＝［1，2］．设x_1，x_2是方程x~2-mx l≤0的两个根（x_1≤x_2），则由BA得x_1≥1，x_2≤2．因此，m所满足的条件由下列不等式组确定解得m=2，∴所求实数m＝2．错解剖析取m＝0，得方程x~2-mx 1＝0无实数解，即B＝φ，也满足BA，所以原解答漏解，出错…     

PH值的计算方法

ＰＨ值的计算方法赵家标一、单一溶液ＰＨ值的计算１．利用ＰＨ＝－ｌｇ［Ｈ＋］。例。０．００５摩／升的氢氧化钡溶液中，ＰＨ值是多少？解：∵［ＯＨ－］＝１０（－２）摩／升∴［Ｈ＋］＝１０（－１２）摩／升。故ＰＨ＝－ｌｇ［Ｈ＋］＝１２。注意事项：①如果题目给...     

Levin比较定理的推广

其中P和P是［α,β］用上的连续函数．若（1）和（2）的解在［［α,β］用上无零点,则令我们有如下的一般情形下的比较定理：定理1：设X,y分别是（1）和（2）的非平凡解,且X（t）在［α,β］上无零点,y（a）,不等式若（5）与（6）中的不等式同时换成“＞”也是对的．证明：因为X（t）在［a,印上无零点,所以U（t）一连续且满足（3）,因此,对所有的t＞a有由于y（a）学O,故V（t）—～＝：＝x－－一在某一区间［a,】上连续,这里a＜＊邓．yLTj另一方面（4）在［a,yi上完全有意义,且有积分方程只要证明U（t）＞V（t）,a＜t…