W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

数系对数学命题和谐性的影响

先看一道思考题:已知二+三 刁,+三 少名 一一一一 y忿 ++l一xl一y=z+送, 工之 X +1一z且x、y、z两两不等,求证: x,,.名.=1。 证由已知条件得①②③X一y=y一Z=才—X二二二y一忿 义夕Z—.艺 夕名X一y 忿龙①x②x⑧得:(x一y)(y一z)(z一x)=①② 厂y一z)(z一x)(x一7) 扩y.zl 丫x、扒z两两不等. .’.(x一y)(y一z)(z一x)护0, x勺、,=1.证毕. 另一方面,若将题设中三式相加有: 1二1二1二2.,x ,丁州卜y十月了个z十二丁宁X=x十二二二十夕宁二二 X一yZ之)一yZ+之+之, Z之一二.砂+少+砂一卿一x之一yz_八枯理得二-‘一已‘一二‘二一一-二‘‘-‘二‘…     

抽象函数问题的求解策略

一、赋值策略 例1 已知函数的定义域为R.对任意x、y满足f(x y)=f(x) f(y).当x>0时,f(x)>0.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)的单调性.     

东北师大一九八五年本科函授招生统考物理试题(续完)——高等数学试题

极限(10分)n Sin二_=2。1 im 少一)刃,_/动x、‘工,火“十一丁/m知.1一谧..工n11二、一等数(21分) 1.已知函数Iny一xy二0求斋2·已知函数。“少长诌岌,苏0 Zud X dy3.设函数z二:(x,y)由下式确定(其中f为任意可微函数)y一22=f(x一3z), :Qz d少1艺x}:1二加一叔求3三、积分(26分)     

巧解方程组

题目:试求方程组司x y z~3x忍 二‘ z:~3 z‘二3①②的所有实③口白目,yy数解.(第二届美国数学奥林匹克试题) 解:①的两边同时乘以2,减去②的两边同时加上3,得 分一2x 1 夕一如 l 二:一2z i”o (x一i). (夕一i). (二一1)2二o .’.(x一1广,0,(夕一1).,0,(念一l)2二0 .’.z,1,y~l,忿~l·{:介沁-一解·一也卿··原方程··!一心巧解方程组@丁学明$重庆市云阳县普安小学!634500~~     

善用八种函数的单调性证明不等式

<正>本文结合实例介绍利用八种函数的单调性来证明不等式,供大家参考.一、善用一次函数的单调性证明不等式例1已知实数x,y,z满足|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证:xyz+2>x+y+z.证明待证不等式x(yz-1)+2-yz>0.选定x为主元,设f(x)=(yz-1)x+2-y-z.因为|y|<1,|z|<1,所以yz-1<0,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;又f(1)=yz-1+2-y-z=(y-1)(z-1)>0,于     

巧用增量法解抽象函数的单调性问题

抽象函数问题是函数中综合性、技巧性、灵活性都比较强的问题,而函数的单调性又常常是解决此类问题的关键.笔者通过研究发现,巧用增量法,是解决此类问题的一大法宝,现举例说明. 一、"差"型增量 [例1]定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y).试判断函数f(x)在R上的单调性.     

抽象函数具体化是最基本的求解策略——兼论一道错解题

贵刊2002年第2期《判断抽象函数单调性的几种策略》中的例8的解答有误,为便于说明,现摘抄原文于下: 例8 已知函数f(x)对于任何正实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且当x>1时,f(x)<1,试判断f(x)在(0, ∞)上的单调性并说明理由. 解任设 0 1, 因为x>1时,f(x)<1, 所以f(x2/x1)<1,     

Schur不等式的加强及其应用

1.&hur不等式的加强及其等价形式 schur不等式指的是,设x、y、z任R十,则 x(x一y)(x一z)十y(y一z)(y一x)十z(z一x)(z一夕))0(1) (1)式可简记为名x(x一y)(x一z))0. 这里首先把Sch“r不等式加强为: 定理:设x,y,z为非负实数,则名x(x-y)(x一z))0(2). 证明:不妨设x)y)z》O,则 艺x(x一y)(x一z)二习x3一艺xy(x十夕)+3‘U探 二(x3十y3十Zxyz一xZy一xyZ一xZ:-yZ二)十(23十xyz一xzZ一yzZ) 二(x一y)2(x+y一z)十z〔x一z)(y一z))0. 其中等号成立当且仅当x二y=z或x,y,z中有两个相等,另一个为零. 不难验证(2)有下面的等价形式: 习x3一习xZ(夕+z)+3谬)o(…     

数学 第三讲 不等式

1.已知x，y，zoR ，且x y z=1，求V厄又不不 V百夕刃一 V及不「的最大值。果对于任意不同的x，，xZ。[0，1]都有.f(xZ卜f(x，)! 相似文献   

一个不等式的推广

文 [1 ]中有如下一个不等式 :设 0 相似文献   

一道因式分解题的解法探讨

题目因式分解二， ，， z，一3x，‘·解法1:(利用轮换对称)令f(:，y，:)二x3 ，， :3一3x产.当:二一(， :)时，f(x，，，:)二[一(， z)〕， ，， z， 3(， :)yz二o，所以f(:，y，:)含有因式: y z，设x， ，， ·z，一3xyz二(x ， z)〔，·(x， ，2 z，) n(x， ，: zx)]，取:     

构造方程解方程

通过代换等手段,构造易解的新方程来解难于下手的方程(组),是一种重要的解题策略。 例1.(1987年数学夏令营)解方程‘二侧1十了厂厂于f不x’命i+x=:,则:二拭西奋二-天即石二“f不妥“侧i下万了丁不屯,与原方程结构一样,故x”侧石,即戈“亿f下及,解得二=1+斌了 2例2.(1978年加拿大数学竞赛)确定最大实数z,使(x,y也是实数)x十夕十之二5,x万+夕之十之x=3.解得x+百二5一:,x穿二3一(5一z)右由韦达逆定理,得关于t的方程 t“一(5一之)z+3一(5一之)之,0一,,,,栩。、~。‘。‘。二一_13有实根,故△)0,解得一1镇“(丫,13育)品工一构造方程解方程@兰振万…     

利用函数单调性解不等式问题

我们有 命题 设f(z,x,y)是关于z,x,y的函数,设D是平面上一个点集。如果对任意固定的(x,y)∈D,f(z,x,y)是关于z的单调函数(例如一次函数)且 当a0;f(b,x,y)>0(*),则对a≤z≤b,(x,y)∈D有f(z,x,y)>0。     

对一个三角不等式的再探讨

·本文对〔D中的不等式加以推广,有定理1设x夕y,:,却〔R千,角a 口 丫 日“(2无 1)汀(k〔Z),则劣5 ina 万sin夕 :51。丫 留sin口一/l(:, 之脚)(,: :,)(zx 。,)毯:f,性空丝一上竺竺兰兰芝生止一竺竺匕二生竺一二兰竺2, J劣百ZW(1)当且仅当xeosa=,eos夕=zeos了=留eose时,等式成立。 通过将。=xsina 夕sin夕,”=:sin丫 。sin夕两边平方,及(万eosa一yeos夕)’》0,可证得cos‘· “,‘丝兴产,c。“丫 “,‘今恙二少.由a 夕 了 0=(Zk 1)二,即得xZ 犷一砂 Zxy.之2 留2一”2十一2之留)0, 匕(亡土犷{ 2脚劣y.之, 留2十—z一奋U一X 口Uf n只=(夕君…     

导数解题中的几个不等价

‘,f‘《:)>0,,必‘,f(x)递增” ·司其君· 高中教科书第三册(选修n)127页指出: “函数y二f(幻在某个区间内可导,如果f‘(x) >0,则f(x)为增函数;如果f‘(x)<。,则f(x) 为减函数“ 这条判定法则为求解函数的单调性问题提 供了一种通用方法.但是,在运用这条法则的过 程中,也产生     

第36届加拿大数学奥林匹克(CMO)(高二、高三)

求所有满足方程组现在要放8个车,则所有放法种数为{‘不夕一z一x一y,2二之一y一x一z,夕之一x一y一z,的三元实数组(x,y,2). 解原方程组可化为{图2令m一(x l)(y 1)一z 1,(x 1)(z十1)一y 1,(少 1)(z l)=x 1.x 1,n~夕 1,t=z 1可得若m,n,t中有一个为O,则其余两个必为O,即(0,o,0)为新方程组的解.若m,n,t是非。实数,将①代人②、③得①②③ ,,.=t﹃﹃棚mtntr||少、||t }m。mn一n,二_【m~士1 、n .2刀刀一刀刁。、n一二亡1。则得到新方程组的解为: (l,1,1),(1,一1,一1), (一1,1,一1),(一1,一1,1).故原方程组的解为: (一l,一1,一1),(0,0,0),(O,一2,…     

第33届 IMO 预选题解答(下)

12.解法1.对f(x)的次数作归纳. 首先,如果f的次数严格小于g的次数,那么f(工)一f(y)的次数严格小于g(x)一g(y)的次数.但g(x)一g(刃能整除了(x)一f(y),因此,f(x)二f(y),因而f为常数,所求之多项式h显氛、‘了在. 下设f的次数不小于g的次数.于是, f(x)=口(x)g(x)+r(x),其中:(x)的次数小于g(x)的次数,且 g(x)g(x)一g(夕)g勿)十r(二少一r(少) ~f(二)一f(y) 一a(工,夕)〔g(x)一g(夕)〕.从而r(x)一r(.y) ~t,(x,夕)g(x)+w(x,夕)g(y),其中,v(x,y)=a(x,y)一q(x), w(x,夕)~夕(少)一a(x,夕).将v(x,y)写成如下形式: .(x,y)一b(x,y)g(y)+‘(之,y),其中,‘(x…     

抽象函数问题的类型及其解法

抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出解析式的函数 ,它在历年的高考竞赛中常常出现 ,不少同学对此类问题的解法感到无从下手 ,为使抽象函数问题的解决有“章”可循 ,下面介绍几种常见的求解方法 .一、求值问题例 1　已知函数f(x)满足 :对任意x、y∈R都有f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)且f(1 )≠ 0则f(2 0 0 5) =　　　　 .解 :在f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)中 ,取x=y =0则f(0 ) =0 ,再取x =0 ,y =1代入得f(1 ) =2f2 (1 ) ,∵f(1 )≠ 0 ,∴f(1 ) =12 .在条件式中令x=n ,y=1则得递推式f(n 1 ) -f(n) =12 .∴数列 {f(n) }是首项为 12 ,公差…     

两道名题的简证

W二Ianous猜想 已知x,y,:任R 证明落干军、军耳军 宜上三兰)。(《数理天 ~八z x’J y’y 二一一、’~~~地》1997年第2期) 证明:不妨设x)y)z,则x y)二 x)y十z 因为扩一扩一扩一少 少一尹 ‘匕.、.扩一扩_尹一少.少一扩、尹一少, 所以二一-二二‘~二‘---三匕 匕一一一一二乏乏二----已‘牛 川~y zy z’y z一z十x夕2一22x十y祷少一护.扩一少.xZ一矛\。口义—,~—门一—二华U。 z个xx十yy一z(当且仅当x~y一z时等式成立)2·关于三角形内角平分线的猜想 在△ABc中,求证:会 会 分>告 会 告·(《中学数学,‘996年第9期, 证明:如图,在△A召C中,…