利用极点极线探究从“圆”开始的定点问题

<正>在圆锥曲线问题中常常考察定点定值问题,很多定点定值问题隐藏在相关几何关系中．圆具有完美的对称性以及丰富的几何性质,我们可以考察圆的相关问题,再猜想其在一般圆锥曲线中的相关结论．本文以一道圆中的定点问题为起点,利用极点极线理论发掘一般圆锥曲线中的定点问题．一、试题的分析与求解题目过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x²+y²=4引两条切线,A,B为切点,求圆C:(x+3)²+(y-3)²=1上的动点P到直线AB距离的最大值．(华中师大一附中2021-2022学年高二期考题)．     

阿波罗尼(奥)斯的中线定理及其等价定理

古希腊几何学家、天文学家阿波罗尼(奥)斯(P.Apollonius,公元前262~前190)是欧几里得(Euclid,公元前330~前275)的门徒,他对几何学的醒目贡献是把欧几里得的《圆锥曲线》完善为新专著《圆锥曲线论》;殊不知,他提出的"中线定理",迄今也有实用价值.     

笛沙格的调和点列及其现实运用

<正>从古希腊数学家阿波罗尼(奥)斯(P.Apollonius,约前262^约前190年)对圆锥曲线的研究成果中,可以窥见调和点列的雏形;在古希腊数学家梅涅劳斯(Menelaus,活跃于公元100年前后)、帕波斯(Pappus,活跃于公元300约前190年)对圆锥曲线的研究成果中,可以窥见调和点列的雏形;在古希腊数学家梅涅劳斯(Menelaus,活跃于公元100年前后)、帕波斯(Pappus,活跃于公元300³50年间)探索到交比不变形的基础上,法国数学家笛沙格(G.Desargues,1591350年间)探索到交比不变形的基础上,法国数学家笛沙格(G.Desargues,1591¹661)首次建构了圆锥曲线中调和点列的理论框架,并丰富了阿波罗     

圆锥曲线一个有趣性质的简证与再推广

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质： 设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为Z,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是圆锥曲线E上的任一点,直线CA、CB分别与准线Z交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F．     

圆锥曲线的又一组有趣性质

定理1圆F以圆锥曲线的一个焦点F为圆中学教研·中学教研·心,以其通径之半为直径.过F的直线l与圆锥曲线、圆F依次交于点A,B,C,D,则|AB|·|CD|为定图1值(其值为圆半径的平方).下面以椭圆为例证明该定理,对于其它圆锥曲线不难类似证明.如图1,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆F:(x-c)2+y2=b44a2(其圆心为椭圆的右焦点,直径为通径之半,即r=b22a).过F的直线l与椭圆、圆F依次交于A,B,C,D,欲证|AB|·|CD|=b44a2.证明若直线l的斜率不存在,验证可知结论成立.若直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-c),①将①代入椭圆方程,整理得(b2+a2k2)x2-2a2ck…     

有心圆锥曲线中的一个定值及应用

本文绘出有心圆锥曲线（椭圆、圆、双曲线）的“斜率”定义，研究有心圆锥曲线的“点斜式”方程及其在解题中的应用．为此，先证明定理有心圆锥曲线任一弦的斜率和弦中点与椭圆中心连线的斜率（均存在且不为零）之积为一定值‘证明设点M是有心圆锥曲线=1的弦AB的中点，kOM，kAB存在且不为零．记则两式相减得。即注意到即（定值）推论有心圆锥曲线上任一点与任一直径两端点分别连线，其斜率之积为常数．事实上，设P（X0，y0）为有心圆锥曲线上任一点，A（X1，y1），B（－X1，－y1)为一直径的两端点．则由此可见，有心圆锥曲线上的点与…     

2006年中考数学模拟冲刺题（1）

一、选择题(每小题4分，共28分) 1.下列运算中正确的是(). A .2az一3a=一B.(一ab)2二一矿护C.口七刁=rD一汾于(一2a)=一护 2.A，B，C是平面内互不重合的三点，AB二3，BC二3，AC=6，下列说法中正确 的是(). A.可以画一个圆，使A，B，C都在圆上 B.可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外 C.可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外 D.可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内 3.用两个完全相同的直角三角板(如图l)，不能拼成下列图形的是(). A.平行四边形B.矩形C.等腰三角形D.梯形 4.如图2，AB// CD，乙B=230，乙D=420，则乙E等于(). …     

巧用圆锥曲线定义 优化解题过程

圆锥曲线的第一定义和第二定义反映了圆锥曲线的本质特征,在解析几何问题中,凡题目中涉及焦半径、准线、离心率等有关问题,用定义解题是一种重要的基本方法,常常达到事半功倍的效果.下面列举几例以作参考.一、求轨迹例1已知两圆C1:(x 4)2 y2=9与C2:(x-4)2 y2=169,动圆P与C1外切     

对20O8年高考解析几何试题的评析

直线和圆的方程、圆锥曲线方程都属于解析几何内容，是每年必考的内容之一，在试卷中约占总分的20％，并且每年必定有一个大题．其中直线与圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的几何性质等，是考查的重点．本文对2008年高考试题中的解析几何试题作一剖析，以供读者参考．     

圆锥曲线

平面在圆锥面上所截得的曲线叫做圆锥曲线．如果截面不通过圆锥面的顶点,根据不同情况,所截得的曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线(其中的圆可看成椭圆的特殊情况)．通常把圆锥曲线作为椭圆、双曲线和抛物线三者的总称．这三种圆锥曲线还可以用下面的方法统一定义:     

议圆锥曲线的以定点为中点的弦

若点P(x_0,y_0)为定点,则圆锥曲线的过P点且被P点平分的弦简称以定点P为中点的弦.本文给出几种圆锥曲线的以定点为中点的弦所在的直线方程,并说明方程的具体应用. 定理1 若点P(x_0,y_0)在圆C:x~2+y~2=r~2(r>0)内,且P异于圆的圆心,则圆C的以P为中点     

圆锥曲线中的“圆思路”

圆和圆锥曲线同属二次曲线中的佼佼．它们的关系基本上是“剪不断，理还乱”的，然而用圆的思想和理论来处理圆锥曲线问题，颇具特色的思路几乎可以达到出奇制胜的效果．     

例析圆与圆锥曲线的交汇

圆是二次曲线中最基本,最简单的一种图形,但它与一般的圆锥曲线在定义及几何性质方面有着千丝万缕的内在联系·圆与圆锥曲线交汇的问题是高考命题中“在交汇点处设计问题”的良好素材,应引起我们足够的重视·一、由圆的性质导出圆锥曲线的轨迹问题例1已知直线l:y=-1及圆C:x2 (y     

高考热点扫描之平面解析几何综合题

解析几何包括直线和圆以及圆锥曲线有关问题．其中,直线和圆这部分内容在高考中主要考查以下三类问题：一是求直线和圆的方程;二是运用坐标公式求距离、求角度、求面积及圆的切线、弦长等问题;三是直线和圆的综合问题．圆锥曲线这部分的主要题型有：求圆锥曲线的轨迹方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值问题、范围问题、对称问题、探索性问题以及圆锥曲线的综合问题等．     

圆锥曲线中几个特殊＂切顶点圆＂的求法

我们把圆心在圆锥曲线C（椭圆、双曲线或抛物线）的对称轴l上且过c顶点A（A在f上）的圆称为C的一个“切顶点圆”．     

巧用圆锥曲线系解题

对于有些解析几何题,正面思考或按常规方法求解较难时,若能利用圆锥曲线系,巧设未知数,往往能起到事半功倍的效果,下举例说明.一、得用共交点的圆锥曲线系解题一般地过圆锥曲线C1:f(x,y)=0与圆锥曲线C2:g(x,y)=0的交点的圆锥曲线系方程都可以表示成:f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠-1)(不包括圆锥曲线C2),如过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).例1已知圆C1:x2+y2+3x+4y+3=0,圆C2:x2+y2+4x+5y-1=0,求过已知两圆的交点,且过原点的圆的方程.解由已知不妨设过已知两圆的交点圆的方程为:x2+y2+3x+4y+3+λ(x2+y2+4x+5y-1)=0(λ≠-1).又圆过原点,将(0,0)代入圆方程可解得λ=3,从而所求的方程为:4x2+4y2+15x+19y=0.     

圆锥曲线上一类最值点的求法

我们知道,要确定某一图形的极值状态,探求最值点的位置,往往也并非轻而易举的事.本文就圆锥曲线上一点到两定点的距离之和(或差的绝对值)的最值问题,进行分类探讨,给出关于最值点位置的一组命题.1圆锥曲线C上一点P到两定点A、B的距离之和的最值命题1若A、B两点在圆锥曲线C的同侧,则|PA|+|PB|的最小值分下列三种情形:(1)圆锥曲线C是长轴为2a的椭圆,B是椭圆的一个焦点,F是另一焦点,则当P在FA的延长线上时,有最小值2a-|FA|.(图1(甲))图1(2)圆锥曲线C是焦点为B的抛物线,AQ垂直于准线,Q是垂足,则当P在AQ上时,有最小值|AQ|.(图1(乙))证明(1)设P′为椭圆上一点,则|P′A|+|P′B|=|P′A|+(2a-|P′F|)=2a-(|P′F|-|P′A|),又|PA|+|PB|=|PA|+(2a-|PF|)=2a-|FA|,∵|P′F|-|P′A|≤|FA|(三角形两边之差与第三边),∴|P′A|+|P′B|≥|PA|+|PB|(当且仅当P′与P重合时取等号),故|PA|+|PB|有最小值2a-|FA|.(2)的证明略.评注双曲线和圆(看作两焦点B、F重合于圆心的椭圆)有类似于命题...     

圆的问题专题训练

一、选择题1．下列说法中错误的是( )．A．直径是圆中最长的弦B．平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧C．不在同一直线上的三点确定一个圆D．在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧2．如图1．在△ABC中,∠ABC=30°,AB=10,那么以A为圆心,以6为半径的⊙A与直线BC的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定     

类比联想 猜想证明

根据圆与圆锥曲线在某些方面相似或相同,猜想出它们在其他方面也相似或相同,通过证明得出有关圆锥曲线新的结论,这是用类比的思想研究圆锥曲线的一种有效方法．本文通过圆与圆锥曲线的类比联想,猜想证明圆锥曲线的一些新结论．     

“阿波罗尼斯圆”高考现身

阿波罗尼斯（希腊,Apollonius of Perga,260——190B．C）是亚历山大时期的著名数学家,“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：