两个重要公式的推导及应用

正1、如图:已知二面角α-MN-β,A∈MN,AB(?)α,AC(?)β,设∠BAN=θ_1,∠CAN=θ_2,二面角α-MN-β的大小为θ_3,∠BAC=θ,那么cosθ=cosθ_1cosθ_2+sinθ_1sinθ_2cosθ_3证明:如图(一)1°、当θ_1、θ_2均为锐角时,在AB上取一点E(异于点A),在平面α内作EG⊥MN,垂足为G,在平面β内作GF⊥MN     

二面角的一题多解

例题△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=2,点P是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,PA=AC,求二面角B—PC—A的平面角的一个三角函数值.     

二面角的平面角的极值特征

二面角的平面角是立体几何中的一个重要的概念之一．本文将给出二面角的平面角的极值特征，以加深对这一概念的理解．设P─MN─Q为给定的一个二面角，其平面角为a，在平面P上作AB⊥MN于B，射线BC在平面Q上，∠ABC＝0．下面的命题刻划了二面角的平面角的极值特征：命题1）当a＜90°时。恒有0＞a，当且仅当∠ABC为二面角的平面角时等号成立；2）当a＞90°时，恒有0＜a，当且仅当∠ABC为二面角的平面角时等号成立；3)当a=90°时，0＝α＝90°恒成立．证作AD⊥平面Q，垂足为D联BD，则由三垂线定理知BD⊥MN．又已知α＜90°，故∠A…     

关于一道二面角问题的思考

《立体几何》二面角部分常遇到这样的问题:从二面角α—MN—β内一点P,分别作PA垂直于平面α,PB垂直于平面β(A,B为垂足).已知 (1)PA=2cm,PB=3cm,∠APB=60°; (2)PA=2cm,PB=1cm,∠APB=60°;     

08年高考试题研究 5．北京卷理科第16题

题目如图1,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的     

一道立体几何高考题两种解法之比较

2004年高考(江苏卷)第四大题:在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP(图1).(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2)设点O在平面D1AP上射影为H,求证D1H⊥AP;(3)求点P到平面ABD1的距离.解(1)连结BP,∵AB⊥平面BC1,∴∠APB为直线AP与平面BCC1B1所成角的大小.在RtABP中,AB=4,BP=12+42=17,∴tan∠APB=ABBP=417=41717.故直线AP与平面BCC1B1所成角为arctan41717.(2)∵点O在平面D1AP的射影为H,∴OH⊥AP,∵PC⊥平面AC,AC为AP在平面AC上射影,AC⊥BD.∴BD⊥AP…     

2011年高考必做解答题——立体几何题

第1点空间的平行关系KONGJIAN DE PINGXING GUANXI()必做1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN//平面BCE.精妙解法法1.如图1,以P,O为垂足,作MP⊥BC,NQ⊥BE,别MP//AB,NQ//AB.所以MP//NQ.又AM=FN,AC=BF,由比例关系可得MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形,所以MN//PQ.因为PQC平面BCE,MN     

二面角大小的求法

二面角是立体几何的重要概念之一 ,在空间图形中占有重要位置。有关二面角计算的问题 ,综合性极强 ,既考作图 ,又考证明 ,同时还考查计算能力。无论是从考查能力的角度看 ,还是从考查知识点的覆盖面看 ,这类问题都有典型意义。例 1.如图 1,在正三棱柱 ABC—A1B1C1中 ,E∈ BB1,截面 A1EC垂直于侧面 AC1。　　求证 :(1) BE=EB1;(2 )若 AA1=A1B1,求平面 A1EC与平面A1B1C1所成二面角 (锐角 )的度数。只处理二面角的问题 :分析 :∵截面 A1EC⊥侧面 AC1,交线为 A1C;底面 A1B1C1⊥侧面 AC1,交线为 A1C1,∴∠ CA1C1为所求二面角的…     

要注重几何图形的组合与分离

立体几何离不开图形,而其中最主要的是基本图形.因此,在立体几何教学中,要引导学生在掌握好基本图形的基础上,学会基本图形间的组合与把较复杂图形分离成基本图形的方法,这是学好立体几何的关键之一。例1.比较下列4题中4种图形在结构上的异同.(1)三棱锥P—ABC中,PA⊥面ABC,平面PBC⊥平面PAB,求证:BC⊥AB.(2)在上题中,若AD⊥PB交PB于D,AE⊥PC交PC于E,AD∶AE=1∶2.求二面角A—PC—B的大小.(3)直三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1=4,底面△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°.求截面A1BC与侧面A1ACC1所成的锐二面角的大小.(4)圆柱侧…     

一道不够严谨的题解与立体图

一些书刊上有这样的一道题与其解法: 过二面角a—l—β内一点P分别作PA⊥平面a、PB⊥平面β,点A、B为垂足,已知∠APB=60°,PA=a,PB=b,求点P到二面角的棱l的距离。 [解]:如图.过PA、PB作平面γ,设它与二面角的棱l交于Q,连结AQ、BQ和PQ。     

有根可循有法可依稳中有变——浅析一道“无棱”二面角高考题的命制思路与解法

例1 （2013年江苏卷）如图1,在直三棱柱A1B1C1-ABC 中,AB ⊥AC,AB=AC=2,AA1 =4,点D是BC的中点. （1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值; （2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.     

每期一题

题:已知直角三角形ABC的两直角边AC=2,BC=3,P是斜边上一点,现沿CP将此直角三角形折成直二面角A—C P—B,当AB=7~(1/2)时,求二面角P—A C—B的大小。(1986年上海高考题)     

提高创新能力三法

求二面角的大小 ,基本作法是算其平面角的大小 ,但平面角没有固定位置 ,高考中因其定位失误而丢分的现象颇多 .本文举例介绍几种常用的途径 ,帮助同学们掌握要领 .一、利用棱或两个面的垂面【例 1】　在三棱锥S-ABC中 ,SA⊥底面ABC ,AB⊥BC ,DE垂直平分SC ,且分别交AC、SC于D、E两点 ,又SA =AB、SB =BC,试求二面角E-BD -C的度数 .解 :∵SB =BC、DE垂直平分SC ,∴SC ⊥BE、SC⊥平面BDE、∴平面SAC ⊥平面BDE .∵SA⊥底面ABC ,∴平面SAC⊥平面BDC .∴∠EDC为E -BD-C的平面角 .∵AB ⊥BC、AB =SA、SB =BC …     

一道美国数学竞赛题的巧证

贵刊81年第五期刊登了《一道美国数学竞赛题的简证》.在教学活动中.发现我的学生对这个题目的原命题有更巧妙的证明,现介绍如下: 已知:空间四边形ABCD中(A、B、C、D不共面)AD=BC,AB=DC,AM=MC,DN=NB 求证:MN⊥AC, MN⊥BD 证明:连结AN,NC,把△ABD绕BD平放到△BCD所在的平面内(注意,AB,AD、AN的长度未变).这时以ABCD是一个平面四边形.∵ AD=BC,AB=DC ∴ABCD是一个平行     

求二面角的五把钥匙

下面就如何求二面角的大小,送同学们五把钥匙.第一把钥匙,是“作一条,连一条”图1所谓“作一条,连一条”,如图1,由一个半平面内异于棱上的一点A作(或已作出)另一个半平面的垂线,垂足为B,过B向二面角的棱作一条垂线,垂足为C,连结AC,则由三垂线定理可知,∠ACB为二面角的平面角,再通过解三角形求出∠ACB的大小.【例1】如图2,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,EB=1,求二面角C—DE—C1的正切值.解:∵C1C⊥面ABCD,过C作CG⊥DE于G,连结C1G,则由三垂线定理知,C1G⊥DE,∴∠C1GC为二面角C—DE—C1的平面角,在△C…     

一个平几命题在立体几何中的推广及应用

命题 1　设 P,Q,A,B为同一平面上任意不共线的四点 ,则 PA2 - PB2 =QA2 - QB2的充要条件是 PQ⊥AB.(证明略 )命题的结论在空间仍然成立 .命题 2　设 P,Q,A,B是不在同一平面上的四点 ,则 PA2 - PB2 =QA2 - QB2 的充要条件是 PQ⊥AB.图 1证明　充分性 :即由 PQ⊥ AB,推出 PA2 - PB2 =QA2 - QB2 .因 P,Q,A,B是不在同一平面上的四点 ,两两连结 ,得到一个四面体 ,如图 1所示 .过 Q作 QH⊥ AB于 H,连PH ,又 PQ⊥ AB,则 AB⊥ PH ,又 PA2 -PB2 =H A2 - H B2 ,QA2 - QB2 =H A2 -H B2 ,∴PA2 - PB2 =QA2 - QB2 .…     

数学奥林匹克高中训练题(63)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知集合P =n 3n+ 4 n5∈N ,n∈N ,Q ={m|m =( 2k - 1 ) 2 + 1 ,k∈N}.则P与Q的关系是 (　　 ) .(A)P =Q　　　　 (B)P Q(C)Q P　　 (D)P Q且Q P图 12 .如图 1 ,已知正方体ABCD -A1B1C1D1,点M、N分别在AB1、BC1上 ,且AM =BN .那么 ,①AA1⊥MN ;②A1C1∥MN ;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1异面 .以上 4个结论中 ,不正确的结论的个数为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 43.用Sn 与an 分别表示区间 [0 ,1 )内不含数字 9的n位小数的和与个数 .则limn→∞anS…     

一堂“收不回来的课”及其评析

在学习了切线的性质和判定这部分内容后 ,我准备上一堂习题课 ,备课时安排了知识点的梳理、三个例题及一些练习 当我按计划进行了三、四分钟的复习之后 ,我给出了第一个例题 (人教社几何课本第三册 p .1 0 1第 8题 ) :图 1— 1MN是⊙O的切线 ,AB是⊙O的直径 ,求证 :点A、B与MN的距离的和等于⊙O的直径 .即 :已知 ,如图 1— 1 ,MN切⊙O于点P ,AB是⊙O的直径 ,AC⊥MN于点C ,BD⊥MN于点D ,求证 :AB =AC BD .对于这个题目 ,以前多次讲解过 ,较简单的方法是 :连结OP ,证明OP是梯形ACDB的中位线 ,则可得结果 .果然 ,在画图后 ,…     

巧求二面角的大小

一、利用定义求角例1已知四面体ABCD,AC⊥BD,且△ABC的面积为15,△ACD的面积为9.若AC=6,BD=7.求二面角B-AC-D的大小.解如图1,作BE⊥AC于E,连DE.∵AC⊥BD,AC⊥BE,∴AC⊥平面BDE,AC⊥DE.∴∠BED是二面角B-AC-D的平面角.∵S△ABC=15,S△ACD=9,AC=6,∴15=12×6×BE,则BE=5;9=21×6×DE,则DE=3.在△BDE中,由余弦定理可得cos∠BED=-21,故∠BED=120°.二、利用垂线求角例2如图2,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点,求二面角A-BD1-P的大小.解过P作BD1及AD1的垂线,垂足分别是E,F,连EF.由于AB⊥平…     

例析二面角的求解策略

一、直接法 1.利用定义 例1 如图1,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于点D、E,SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.