函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的简证

文[1]用较大篇幅证明f（x）≥（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）n＋2/2（a＞0,b＞0,n∈N（=｜x=arctan n＋2√a/b） 下面给出两个初等而简捷的证明供大家参考．     

一道最值问题的多种解法

已知5/a＋3/b=1（a〉0,b〉0）,求a＋b的最小值. 解法一 （1的代换与均值不等式） （5/a＋3/b）（a＋b）=5＋3＋3a/b＋5b/a=8＋3a/b＋5b/a≥8＋2√15, 当且仅当3a/b=5b/a即a=5＋√15,b=3＋√15时,等号成立.     

一个三角不等式的妙用

“在△ABC中,∑sin A≤3√3/2”是一个基本的三角不等式.下面用它证明一个三元不等式问题 题目 正数a、b、c满足∑a=1.证明： ∑1/bc＋a＋1/a≤27/31,其中,“∑”表示轮换对称和.[1] （2008,塞尔维亚数学奥林匹克） 证明 令a=yz,b=zx,c=xy（x、y、z＞0）.     

问题1649的另一种解法与推广

《数学通报》2007年9月号问题1649： 已知a,b,c∈（0,＋∞）,且a＋b＋c=1,求 y=^3√a＋1＋^3√b＋1＋^3√c＋1的取值范围.     

一道2007女子竞赛题的简证及推广

题目 已知a,b,c≥0,且a＋b＋c=1,求证：√a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3,①（2007年女子数学奥林匹克竞赛试题）     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

两个经典数学问题之间的关联

问题1 已知a√1-b^2＋b√1-a^2=1，求证：a^2＋b^2=1．（1992年第3届“希望杯”高一赛题） 文[1]的第214-219页，研究了这个经典问题的12种证明方法．     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

一对优美的姊妹不等式

本文旨在建立如下姊妹不等式． 定理 若a,b,c是正数,且a＋b＋c=1,则（1）√1/a＋b＋√1/b＋c＋√1/c＋a≥√30;     

追根寻源

江苏省第二十届初中数学竞赛第1试的第8题是一道选择题，题目是这样的：正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d=1。设P=√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1＋√3d＋1，则（ ）。     

一道初中联赛试题的再推广

2005年全国初中数学联赛解答题第1题为： a，b，c为实数，ac〈0，且√2a＋√3b＋√c=0，证明一元二次方程ax^2＋bx＋c=0有大于√3/5而小于1的根．     

一道奥林匹克竞赛题研究的新进展

赛题已知a、b、c≥0，a＋b＋c=1，求证√a＋1/4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3……（1） 这是2007年女子数学奥林匹克竞赛的一道试题．文[1]给出了该题的新证法；文[2]对此给出了如下一个加强式：     

一道初中联赛题的推广及变式

2005年全国初中数学联赛有这样的一道题：a，b，c为实数，ac〈0,且√2a＋√3b＋√5c=0，证明一元二次方程 ax^2＋bx＋c=0有大于√3/5而小于1的根。     

一个数学问题的变式探究与应用

问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。     

一个不等式的再研究

问题 若a,b〉0,则√a/a＋3b＋√b/b＋3a≥1（1）（《数学通报》2003年5月号“数学问题”1435）．     

两个优美的无理不等式

本文旨在建立两个新的无理不等式． 定理1若a,b〉0,满足a＋b=1,则 √a^-1-a＋√b^-1-b≥√6.（1）证：令x=ab,则0〈x≤（a＋b）^2/4=1/4.     

一道最小值问题的探究历程

问题已知a＋2b=6,则√a2/4＋1＋√b2^＋9的最小值是（）     

IM042—2猜想的再推广

在文[1]中宋庆老师将42届第二题加强并猜想：若0、b、c为正数,λ≥2,则√a^2＋λ（b＋c）^2--a^＋√b^2＋λ（c＋a）^2--b＋√c^2＋λ（a＋b）^2--c≥√4λ＋1--3.猜想已被文[2]证明,本文将其再推广为：     

6．重庆卷

1．设x,y∈R,向量a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,4）,且a⊥c,b∥c,则｜a＋b｜=（ ） （A）√5.（B）√10.（C）2√5．（D）10．     

2010届高考数学主观题强化训练

1．若a=（√3cosωx,sinωx）,b=（sinωx,0）,其中ω∈（-1/2,5/2）,函数f（x）=（a＋b）·b-1/2,且f（x）的图象关于直线x=π/3对称．