例谈利用方程思想解三角函数题

方程思想是一种重要的数学思想 ,方程与三角函数紧密联系 ,利用方程思想去解三角函数题 ,有利于解题思路的寻求与优化 ,有利于沟通知识的纵横联系 ,有利于培养创造性思维 ,下面略举数例加以说明。1　利用方程思想解三角函数求值题例 1　求cos2π5 +cos4π5 -13 cos2π5 cos4π5 的值。解　构造三角方程cosx +cos2x =cos2π5 +cos4π5 ,显然2π5 ,4π5 是这个方程的两个特殊解 ,上述方程可化为2cos2 x +cosx -1 -cos2π5 -cos4π5 =0 ,∴cos2π5 ,cos4π5 是方程 2 y2 +y-1 -cos2π5 -cos4π5 =0的两个相异根 ,根据韦达定理得方程 :cos2π5 +…     

从“角”入手的三角函数解题策略

<正>三角函数与角关系密切,求解三角函数问题从"角"入手十分重要.以下从三个方面举例说明.一、从角的范围入手三角函数值的符号由角的终边所在象限确定,三角函数值的符号必须根据角的范围来确定.例1已知3sinα-cosα=1,α∈(0,π),求sinα.分析∵α∈(0,π),∴sinα> 0.解由3sinα-cosα=1,得cosα=     

│a·b│≤│a│·│b│在解题中的应用

向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的…     

三角问题的向量解法

对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】　若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c…     

解三角题要注意挖掘隐含条件

在解决三角函数问题中,学生往往会因忽视题中的隐含条件而导致错误.下面结合几例学生易错题进行说明.例1已知α∈(0,π),且sinα cosα=12,则cos2α的值为()(A)74(B)-74(C)±74(D)-14错解把sinα cosα=12两边平方,得1 sin2α=14,∴sin2α=-34.又α∈(0,π),∴2α∈(0,2π).∴c     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

通过构造辅助方程求某些三角函数式的值

构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而     

正、余弦函数有界性的解题功能

｜sinx｜≤1、｜cosx｜≤1(x∈R),是三角函数中广泛应用的重要性质,恰当运用可使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性,是解题过程中出现错误的常见原因.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角【例1】已知6sin3β-cos22α=6,求α、β.解:原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1因为｜sin3β｜≤1,所以sin3β=1,3β=2kπ 2π,即β=23kπ 6π(k∈Z),此时,cos2α=0,2α=kπ 2π,即α=12kπ 4π(k∈Z).评注:等式中含有两个未知数,需从正弦函数的有界性中挖掘隐含条件,寻找突破口.二、求最值【例2】求函…     

三角恒等变换的技巧及其应用

一、技巧1.变角例1：求证：sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ证明：∵2α＋β=α＋β＋α∴sin（2α＋β）-2cos（α＋β）sinα=sin[（α＋β）＋α]-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα=sin（α＋β-α）=sinβ∴sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ评析：＂角＂是三角函数的基本元素,研究三角恒等变换离不开＂角＂的变换.对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化,往往能起到化难为易、化繁为简的作用.（甘肃省通渭县第一中     

“二倍角的三角函数”导学案设计

<正>1.课前预习导学1.1情景创设问题1:设α∈(π/2,π),sinα=1/2,如何求sin 2α?试判断sin 2α=2 sinα成立吗?问题2:设α∈(π/2,π),sinα=5/13,求sin 2α,你会做吗?1.2引入课题本课研究的课题:角α的三角函数与它的二倍角2α的三角函数之间存在什么样的关系?如果从形的方面来思考:看书P105图3-2-1观察函数     

由一道三角函数题错解引发的题源探究及应用

1．问题提出 问题已知0≤α〈β〈γ〈2π,且{cosα＋cosβ＋cosγ=0 sinα＋sinβ＋sinγ=0,求α-β的值。     

一个正切不等式及其应用

定理　已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明　tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan…     

妙用公式“sin~2α+cos~2α=1”

公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos…     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

例说解三角题的方法与技巧

三角函数是高中数学的重要内容,它的题型繁杂,解法多变,为了帮助同学们深刻地理解这部分内容,本文拟例说明简解三角题的方法与技巧,以供同学们学习三角函数时总结、归纳、概括解题方法.一、灵活变角【例1】求csoisn77°°- scions1155°°ssiinn188°°的值.简析:此题常规解法是先积化和差,整理后再和差化积,若灵活变角,即可得到简解.原式=scions((1155°°--88°°)) -csions1155°°ssiinn88°°=csions1155°°ccooss88°°=tan15°=tan(45°-30°)=2-3.【例2】已知2π<β<α<34π,cos(α-β)=1132,sin(α β)=-53,求sin2α的值.简析:将2…     

此题有玄机(高二、高三)

在复习“三角函数”时,老师讲了一道三角题已知sin3α/sin(π/6-3α)=cos3α/cos(π/6-3α)=2~(1/3)(α≠kπ/4,且k∈Z),求tan2α.老师给出的解答:由已知可得     

三角函数“三兄妹”

在三角函数中,sinα±cosα与sinα±cosα俗称“三兄妹”,他们关系密切,如影随形。在有角的范围的条件下,可以自由地进行相互转化。其中sinαcosα=1/2[（sinα＋cosα）^2－1]=1/2[1－（sinα－cosα）^2],sinα＋cosα与sinα－cosα能通过sinαcosα实现过渡。     

关于诱导公式的“逆运用”

不少学生对诱导公式背得“滚瓜烂熟”,但却不能“倒背如流”,也就是不能“逆用”诱导公式。究其原因,还是不能灵活运用诱导公式。所谓诱导公式的“逆运用”,顾名思义,就是把诱导公式反回去应用。例如,能根据需要把sinα写成形如sin(π-α),-sin(π+α),-sin(2π-α),sin(2π+α),-sin(-α),cos(π/2-α),-cos(π/2+α),-cos(3π/2-α),cos(3π/2+α)等形式。在反三角函数的讨论及复数的研究中都需要大量“逆用”诱导公式。例1 求下列各式的值。 (1) arc sin(sin4) (2) arc ctg(ctg5) 对本题只需“逆用”恰当的诱导公式把自变量化     

第四章 三角函数

[例22]已知π/2〈β〈α〈3π/4,且有cos（ α-β）=12/13,sin（α＋β）=-3/5,求sin2α的值.     

巧构几何图形解三角题

三角函数的定义是建立在三角形、单位圆基础之上的,因此,不少三角题可以用几何方法求解． 1．构造角,利用线段关系 [例1]求证cosπ/7-cos2/7π cos3/7π=1/2(第五届IMO试题)