向量等式(a→)=λ1(e1→)+λ2(e2→)中系数求解初探

平面向量是新教材中新增加的内容,学习它的主要目的是为了很方便地解决初等数学中的一些内容,处理向量问题的常用方法有两种:基向量法和坐标法,其中基向量法就是根据平面向量基本定理,把所要求解的向量(a→)表示成不共线的两个向量(e1→)、(e2→)的线性组合,即(a→)=λ1·(e1→) λ2(e2→)(λ1、λ2∈R),运用此法的关键是如何确定λ1和λ2的值.     

巧用空间直线向量的参数形式解题

1 空间直线向量的参数形式 定理若A、B、C在同一直线上,则存在实数λ满足(OC→)=λ(OA→) (1-λ)(OB→).     

巧用公式(OC→)=1+λ/(OA→)+λ(OB→)妙解向量题

1定理 定理1若A、B、C三点共线(如图1),且→AC=λ→CB,O为任意一点,则有→OC=1+λ/→OA+λ→OB.     

巧用公式■=(■+λ■)/(1+λ)妙解向量题

1　定理定理 1　若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明　∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) ,　　　　图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式　若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2　若OC =λOA +μOB　 (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明　 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如…     

巧用公式■=■+λ■/(1+λ)妙解向量题

1 定理定理1 若A,B,C三点共线,且■=λ■,O为任意一点,则有     

一道竞赛题的推广

2004年全国高中数学联赛试题第4题:设O点在△ABC内部,且有(OA→) 2(OB→) 3(OC→)=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).     

关于带第一特征值λ1具Sobolev临界指数2*的一类椭圆方程-Δu=λ1u+|u|2*-2u+τ(x,u)

给出了半线性椭圆方程-Δu=λ1u+|u|2*-2u+τ(x,u)的Dirichlet问题在对扰动项τ(x,u)增加适当条件后非平凡解的存在性定理,以及方程-Δu=λu-|u|2*-2u+h(x),λ∈[λ1,λk](这里λk是方程-Δu=λu的第k个互不相等的特征值)的非零解的存在性定理.     

巧用公式^→OC=（^→OA＋λ^→OB）／（1＋λ）妙解向量题

点拨(1)当图形中三角形较多时，要从条件与结论的需要出发，找出相关三角形，一个不够可以找两个、三个；(2)实系数方程组是依据平面向量基本定理得到的，要理解“有且只有”的作用，还要挖掘三角形中隐含的α，b不共线这一应用定理所必备的条件．     

变换x=e~(λt)y在解微分方程中的作用

中山大学数学力学系常微分方程组编的《常微分方程》教材中,在解常系数线性齐次微分方程L[x]=a_1x a_1x′ … a_nx~(n)=0(1)和非齐次方程L[x]=a_0x a_1x′ … a_nx~(n)=f(t)(2)时都要用到这一变换。我们在教学中觉得把常系数线性方程经过变换x=e~(λty)后的结果写了出来并用数学归纳法加以证明较妥。这样在常系数线性齐次方程的特征方程有重根时解的讨论和非齐次方程(2)右端函数为f(t)=e~(λty)(t)(P(t)为m次多项式)的待定系数法的研究中都很方便,而且也更有说服力。即引入下面的定理。     

(λ,1]-fuzzy子群

给出了一种新型的fuzzy子群的定义(称之为(λ,1]-fuzzy子群),它是Rosenfeld的定义及S.K.Bhakat和P.Das定义的推广.还给出了(λ,1]-fuzzy子群的等价定义,给出了(λ,1]-fuzzy子群的定义,研究了(λ,1]-fuzzy商群及(λ,1]-fuzzy子群的同态象性质.     

条件x+y=1下1/xn+λ/yn最小值的简单求法

文 [1]给出了条件 x+ y=1下 1xn+ λyn的最小值定理 ,并利用 (a2 + b2 ) (c2 + d2 )≥ (ac+ bd) 2 (a,b,c,d∈ (0 ,+∞ )和待定系数法证明之 .定理　已知 x,y,λ∈ (0 ,+∞ )且 x+ y=1,则当且仅当 y∶ x=λ1n+ 1 时 ,1xn+ λyn(n∈N* )取最小值 ,最小值为 (1+ λ1n+ 1 ) n+ 1 .本文给出定理的一个简单证明 .证明　∵x,y,λ∈ (0 ,+∞ ) ,n∈ N* ,且x+ y=1,∴ 1xn+ λyn=(1xn+ λyn) (x+ y) n =(1xn+λyn) (C0nxn+ C1 nxn-1 y+ C2nxn-2 y2 +… + Crnxn-ryr+… + Cnnyn)=1+ C1 nyx + C2ny2x2 +… + Crnyrxr +… + Cnnynxn+ λC0nxnyn + …     

正(2n+1)边形的几个性质

本文首先证明了五个引理,进而证明了正(2n+1)边形几个鲜为人知的性质,即文中的定理1、定理2、定理3,其中定理2所揭示的是正(2~n+1)边形所特有的一个美妙性质。     

泛函J[y]=integral from n=X_0 to X_1(F(x,y,y′,y″)dx)的极值问题

本文讨论泛函J[y]=integral from x_0 to x_1(F(x,y,y′,y″)dx)的极值问题,给出了关于此泛函取极值的条件的三个定理。本文定理2比[1]中相应定理,条件减弱。本文定理3可以看成是[2]中勒让德(Legendre)定理的推广。     

关于函数max(f(x),g(x))的可导性

我们知道,如果函数 f(x)、g(x)在点 x_0连续,则函数 max(f(x),g(x))在点 x_0亦连续。现在要问:如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,函数 max(f(x),g(x))是否在点 x_0亦可导呢?下面的定理1和定理2给出了判别函数 max(f(x),g(x))可导的充分条件。定理1 如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,且f(x_0)     

关于带第一特征值λ1具Sobolev临界指数2^＊的一类椭圆方程—△u=λ1u＋｜u｜^2^＊—2u＋τ（x,u）

给出了半线性椭圆方程-△u=λ1u |u|^2^*-2u τ(x,u)的Dirichlet问题在对扰动项τ（x,u）增加适当条件后非平凡解的存在性定理，以及方程-△u=λu-|u 2^*-2u h(x),λ∈[λ1,λk]（这里λk是方程-△u=λu的第κ个互不相等的特征值）的非零解的存在性定理。     

关于(λ~5-4λ~3+λ~2+4λ,λ~2-2λ+1,λ)—Ⅰ型循环拟差集

利用不定方程y~2=x~3-2X+1及y~2=X~3-4x+1的结果,将得到:若存在(λ~5-4λ~3+λ~2+4λ+4λ,λ~3-2λ+1,λ)——Ⅰ型循环拟差集,则λ只取有限几个值.     

运用平面向量解题举隅

由于平面向量有关概念的抽象性 ,仅对平面向量的概念、公式孤立地介绍举例 ,对学生学习向量而言是不够的 ,必须要将向量与学生所学过的知识 ,如三角、几何等内容联系起来 ,注意数形结合、形象思维与逻辑思维结合 ,学生才会建构出自己的向量知识 .【例 1】　证明三角形中位线定理 .已知 :在△ABC中 ,点M、N分别是AB、AC的中点 ,求证 :MN ∥=12 BC证明 :如图 1 ,∵MN→ =AN→ -AM→=12 AC→ -12 AB→=12 (AC→ -AB→) =12 BC→∴MN→ 与BC→ 共线且MN→ =12 BC→即MN ∥=12 BC .利用向量共线 ,是证明几何中平行问题的基本方…     

碱金属原子的旋轨相互作用能的计算

在碱金属原子的精细结构中 ,我们考虑到电子存在自旋 ,由于自旋与轨道运动的相互作用而产生了附加能 ,关于此附加能的计算问题 ,教材中均采用同一方法 ,即△E =-μs→·B→ (1)其中 μs→ 为电子自旋磁矩 ,它与自旋角动量 S→ 有关 :μs→ =-ems→ 　　　　　　　　 (2 )而碱感应强度B→ 是指电子轨道运动所感受到的磁感应强度 ,其求法为 :假定电子不动 ,则原子实绕电子作圆周运动 ,其速度为 (-v→) ,电荷数为Z e ,如图 1。根据毕萨定律 ,原子实绕电子运动产生的磁感应强度为B′→ =μo4πz e(-v→)×r→r3=μo4πz er→×mv→mr3=μo4π…     

型如(A±2(B~(1/2))~(1/(A±2(B~(1/2)))根式化简应注意的问题

给出根式(A±2(b~(1/b)))~(1/A±2(b~(1/b)))的化简定理及化简应注意的两个问题.     

一道课本例题的应用

在平面向量基本定理一节中 ,课本给出了一个重要的例题 :OA→,OB→不共线 ,AP→=tAB→,(t∈R) ,用OA→、OB→来表示OP→.我们很容易得到OP→=(1 -t)OA→ tOB→.在这个题目中指出了A ,B ,P三点必定共线 ,且OA→,OB→,OP→中任一向量必可以用其它两向量表示 ,且这两向量的系数和为 1 .我们利用这重要的结论可迅速解决平面向量的表示问题 .例 1　如图△ABC中 ,AM→=13 AB→,AN→=14 AC→,BN交CM于点E .若AB→=a→,AC→=b→,试用a→,b→表示AE→.解 :因为M ,C ,E共线 ,由例题可知 :AE→=m(13 a→) (1 -m)b→①………同…