正方形的一个性质

定理 P为正方形ABCD所在空间任一点,则 PA~2 PC~2=PB~2 PD~2。 (＊) 证明 设P到平面ABCD距离为h,到边AB,BC,CD,DA距离分别为d_1,d_2,d_3,     

异面直线上两点的距离公式的应用

我们熟知两异面直线上两点距离的公式,如图,异面直线a、b成角为θ,且与它们的公垂线L交于A、B,则a、b上两点E、F的距离: EF=(AB~2+AE~2+BF~2±2AE·BFcosθ)~(1/2)活用此公式,往往可收到化难为易,化繁为简的效果例1 棱锥S-ABCD,ABCD是矩形,AB=2~(1/2)。BC=1,SD⊥面AC,SB=2,求二面角A-SB-C的大小。解作AE⊥SB于E,作CF⊥SB于F,连AC。∵ SD⊥面AC,AB⊥AD,BC⊥CD。∴ AB⊥SA,BC⊥SC,则BE=AB~2/SB=1,AE=(AB~2-BE~2)~(1/2)=1,BF=BC~2/SB=1/2,CF=(BC~2-BF~2)~(1/2)=(3/2)~(1/2),EF=BE-BF=1/2,     

巧用矩形一性质,妙解一类题

在初中学习平面几何时,有这样一道课本习题:已知为矩形ABCD内一点,求证:PA~2+PC~2=PB~2+PD~2.该题利用勾股定理可以很快予以证明.事实上,点P为平面上任意一点时该结论仍然成立.给出以下两种证法.证明1(解析法)以AB,CD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.设A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),     

一个相似基本图形在中考题中的应用

<正>一、原题呈现(2012凉山洲)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)求EF的长.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠A=90°∴∠EBA+∠AEB=90°∵EF⊥BE,即∠BEF=90°∴∠DEF+∠AEB=90°∴∠DEF=∠EBA(同为∠AEB的余角)     

抛物线中一类最值问题的探究与反思

一、题目呈现已知A(0,1/2),P为抛物线x~2=2y上任意一点,则PA最小值为____.本题是笔者在讲解苏教版选修2-1第二章圆锥曲线与方程复习题第15题时,为了让学生更容易接受该题的解题思路作的一个铺垫,在备课中具体分析及解题过程如下.求最值问题,常建立目标函数,利用消元法转化为二次函数求解.具体解题流程:配方,作图,截图.注意点:目标函数中自变量y的取值范围.解:设抛物线z~2=2y上任一点P(z,y),所以PA~2=(x-0)~2+(y-1/2)~2=2y+y~2-y+1/4=y~2+y+1/4=(y+1/2)~2(y≥0).所以当y=0时,PA~2有最小值1/4,即PA有     

求斜线和平面所成角的四种策略

斜线和平面所成的角是高考的常考内容,怎样求斜线和平面所成的角的大小呢?本文介绍如下四种策略.1.利用定义一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角,寻找斜线和平面所成的角,要在斜线上任取一点作平面的垂线,垂足的定位至关重要.【例1】(2005年高考全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAB;(Ⅱ)设AB=2BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.(Ⅱ)解1,如图1,延长AE、BC相交于G,连结FG,则FG为平面PBC与平面AEF的交线,而证…     

一道直角四面体命题的变式与引申

命题设四面体ABCD的棱AB、AC、AD两两互相垂直,顶点B、C、D到对面的距离依次为a、b、c,P为面BCD上任意一点,PE⊥平面ACD于E,PE⊥平面ABD于F,PG⊥平面ABC于G,令PE=x,PF=y,PG=z,则x/a+y/b+z/c=1.     

分类构图寻思路 多元求解提素养

<正>1试题呈现(深圳中考第22题)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,联结BE。(1)若BE=BC,过C作CF⊥BE,垂足为F,求证:△ABE≌△FCB;(2)若S_矩形ABCD=20,则BE·CF=______。(2)如图2,在菱形ABCD中,cos A=1/3,过C作CE丄AB交AB的延长线于点E,过E作EF丄AD,垂足为F,若S_菱形ABCD=24,求EF·BC的值。     

二次函数最大值不一定在顶点处

<正>二次函数的最值,常常在顶点处取得.但在某些实际问题中,由于受到自变量取值范围的影响,最大值却不在顶点处取得,这时如何求最大值呢?以下撷取几例予以说明.一、最值在自变量取值范围的端点处例1如图1,将边长为4的正方形ABCD截去一个角后成为五边形ABCFE,其中DE=1,DF=2.点P是线段EF上的一个动点,过点P作PG⊥AB,PH⊥BC,垂足分别为G、H.设PG=x,四边形BHPG的面积y,求y关于x的     

中垂线与中垂面及其应用

定义1在平面内,到线段两端距离相等的点的轨迹是一条直线,我们把它叫做这条线段的垂直平分线,即中垂线.定义2在空间中,到线段两端距离相等的点的轨迹是一个平面,我们把它叫做这条线段的垂直平分面,即中垂面.下面我们来看看它们的一些应用.一、求平面个数例1到三棱锥的四个顶点距离相等的平面有几分个?析:以平面两侧点的个数来分类.如图1,设AA1⊥面BCD于点A1,线段AA1的中垂面为α,则α上各点到A、B、C、D四点距离相等.如图2,设EF是异面直线AB、CD的公垂线段,线段EF的中垂面为β,EF⊥AB、EF⊥CD、EF⊥β,所以平面β到A、B、C、D…     

也谈已知四面体各棱长求其体积

在1982年第四期上刊登了李梦樵同志的“已知四面体各棱的长求它的体积的方法”一文,介绍了由四面体各棱长求其体积的一种方法。这里,我再介绍一种方法,供读者参考。予备题一、已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取两点E、F,设|A′E|=m,|AF|=n。则 |EF|=(d~2+m~2+n~2-2mncosθ)~(1/2)(E、F在AA′同侧) 证明请参阅通用教材高中课本第二册第35页。若|EF|=x,则上式可表示为 cosθ=(d~2+m~2+n~2-x~2)/2mn 予备题二、已知任意四边形ABCD的四边长分别为a、b、c、d,对角线AC的长为e。求顶点B、D到对角线AC的距离及两垂足问距离。     

中学生课外基本练习题

初中部分 1.1 已知:3a 4b c=16,5a 76 C=22,试求a b c的值. 1.2 试求A=(2 1)(2~2 1)(2~4 1)(2~8 1)…(2~(32) 1)的个位数字。 2.1 平行四边形内一点P与四个顶点的连线,将四边形ABCD分为四部分,已知△PAB面积为22,△PBC的面积为37,     

由一道题目得出的结论

有这么一道题目: 如图1,P是矩形ABCD内的一点,若PA=3,PB=4, PC=5,则PD=__. 解:过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P 作BC平行线分别交AB、CD于G、H(如图2).于是,EF⊥AD、EF⊥BC,GH⊥AB,GH⊥CD,设AG=DH=a,BG =CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则由勾股定理,得a2 c2=32……①b2 c2=42……②b2 d2=52……③     

一道椭圆试题的本源探究

<正>一、问题如图1,设点P是椭圆E:x2/4+y2=1上的任意一点(异于左、右顶点A,B).(1)设椭圆E的右焦点为F,上顶点为C,求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径;(2)设直线PA,PB分别交直线l:x=10/3于点M、N,求证:PN⊥BM.     

数学奥林匹克问题

本期问题初175在△ABC中,AB>AC>BC,点M、N分别在边AB、AC上,且满足BM=CN=BC.证明:线段MN上任意一点到△ABC三边距离之和都等于同一个值.初176已知a、b、c为整数,且(a5+b5+c5)+4(a+b+c)是120的倍数.求证:a3+b3+c3是24的倍数.高175如图1,在矩形ABCD中,AB=1,图1BC=m,O为其中心,EO⊥平面ABCD,EO=n,在边BC上存在唯一的点F,使得EF⊥FD.问m、n满足什么条件时,平面DEF与平面ABCD所成的角为60°?正数.求证:a3+b3+c3≥22+17[a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)].上期问题解答初173如图2,在正方形ABCD中,以点A为圆心、AB为半径画弧BD…     

1981年第四期数学问题

1.已知sinα=xsin(β-γ),sinβ=ysin(γ-α),sinγ=zsin(α-β),求证 xy+yz+zx+1=0 (合肥六中柴雍提) 2.在圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,试证:圆心O到一边的距离等于对边之长的一半。 (浙江师范学院舟山分校俞朝晖提) 3.求以(0,0)、(x,0)、(x,y)为顶点的所有三角形面积之和,其中y=7X~2+3X+1,x∈{x:x=(1/2)~(n-1),n为自然数}。 4.若x∈{x:x=3y,y≤0},试求(-1+|2~(-x+1)-2~(-2x)-2|)~(1/2)的最大值。 (3、4两题,太平县太平中学数学教研组提)     

有理数运算的技巧

一、巧用运算律例1计算-117×(132-0.125)÷(-1.2)×(-1313).解原式=-117×(132-18)×(-56)×(-1613)=-117×1613×(132-18)×56=-9×(12-2)×56=9×32×56=1114.二、合理分组例2计算1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1999年“希望杯”初一数学竞赛试题)解原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)(共有2500个)=-2500.三、反序相加例3计算12+(14+34)+(16+36+56)+…+(198+398+…+9798)=(1998年“五羊杯”初一数学竞赛试题)解设原式=S,将每个括号内的分数反序排列,可得S=12+(34+14)+(56+36+16)+…+(9798+…+39…     

例析方程思想在立体几何探索性问题中的应用

立体几何探索性问题是较棘手的问题 ,谨以以下几例浅析如何运用方程思想解决此类问题 .例 1　已知空间四边形 ABCD的各边长分别为 AB =3 ,AC =AD =BC =BD =CD= 2 ,E、F分别是 AB、CD的中点 ,问 :在线段EF上是否存在一点 O,使 O到 A、B、C、D四点的距离相等 ?图 1分析 :易证明 EF是ABCD公垂线段 ,因此问题转化为 EF上是否存在一点O,使得 OA =OC,设 OE =x,由 OA =OC得关于 x的方程 ,考虑方程是否有解即可 .简解 :在 Rt△ AEF中 ,EF =AF 2 -AE2 =(3 ) 2 -(33 ) 2 =32 ,则 OF =32 -x,OA2 =AE2 + OE2 =x2 + (32 ) 2 =…     

一道试题的分析与思考

<正>笔者所在区的一次期末统考中,有一道难度较大的题目,特对此进行分析和思考,与同行们交流.一、原题呈现四边形ABCD为正方形,点E为射线AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连结CG.(1)如图1,当点E在线段AC上时,①求证:矩形DEFG是正方形;②求证:AC=CE+CG.(2)如图2,当点E在线段AC的延长线上时,请你在图2中画出相应图形,并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系.     

一道中考题的解法赏析

<正>题目(2013年绍兴市)如图1,抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标;(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标;②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.