浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

（ａ≥０）和＝｜ａ｜＝是二次根式中的两个重要公式．不少同学常把这两个公式混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母ａ的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式和，因为它们都表示算术平方根，所以被开方数都应该是非负数，即中ａ≥０，中ａ≥０．由于ａ２一定是非负数，所以中ａ可取一切实数．例如：（）２无意义，而则有意义．又如（）２．只有当ｘ≥３时才有意义，而根式中，Ｘ无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同（／二）。表示。的算术平方根的平方，而Ｉ…     

非负数的性质及应用

非负数的有关性质是代数中十分重要的性质，它在解题中有着较为广泛的应用．现举例说明非负数的性质在解代数题中的应用，供同学们学习时参考．非负数的性质：若ｘｌ＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝０，且ｘｌ≥０，ｘ２≥０，…，ｘｎ≥０，则ｘｌ＝０，ｘ２＝０，…，ｘｎ＝０．此与类似，当｜ａ｜＋｜ｂ｜＝０时，总有ａ＝０且ｂ＝０；当时，总有ａ＝０且ｂ＝０；若ａ～（２ｎ）＋ｂ～（２ｎ）＝０（ｎ为自然数），则ａ＝０，ｂ＝０．例１　已知（ａ—１）２＋（ｂ＋１）２＝０，求（ａｂ）～（１９９７）的值．分析（ａ－１）２≥０，（ｂ＋１）２≥…     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

运用“a＋b≥2ab”求最值错解2例

运用“ａ＋ｂ≥２ａｂ”求最值错解２例兰州市十六中景曼桂在求解最值问题时，巧妙地运用重要不等式“ａ＋ｂ≥２ａｂ”（或ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ）常常能使问题简化。但一些学生在运用中容易忽视公式成立的条件，以致造成错解。现举２例。例１．已知ｘ，ｙ＞０，ａ，ｂ...     

挖掘ａ＋ｂ＋ｃ＝０的一个不等关系解题

在数学解题中；经常碰到已知条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，求取值范围、最值等问题，这时若把此条件转化为不等关系ｂ＾２≥４ａｃ（因ｂ＾２－４ａｃ＝［—（ａ十ｃ）］＾２—４ａｃ＝（ａ—ｃ）’≥０）去解题，往往能收到事半功倍之效，下面举例说明．     

重视对错题的剖析

对概念理解不透彻造成的解题错误。 例 １ 把 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ（　　ａ　２）化成复数的三角形式。 误解分析：解题中没有注意到， 在复数的三角形式中，模ｒ≥０。 正确解：．故 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ的三角形式为：对初等函数的定义域考虑不周造成的解题错误。例 ２ 已知 ２ｌｇ（ｘ－２ｙ）＝１ｇｘ＋ｌｇｙ，求 ｘ：ｙ。误解：由已知可得 ｌｇ（ｘ－２ｙ）２＝ｌｇｘｙ，即（ｘ－ｚｙ）２＝ｘｙ，解之得　＝１或　＝４。误解分析：据已知条件得ｘ－－２ｙ＞０，ｘ＞０，ｙ＞０。正确解：由已知得　＝１或　。由于 Ｘ－Ｚｙ…     

再谈一不等式的应用

再谈一不等式的应用颜天堡（福建省永春县一中３６２６００）孙建斌（福建省永春县科委３６２６００）周建国老师在文〔１〕中证明了不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０，０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ；或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ，ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０．则ａ１ｂ１＋...     

韦达定理与乘法公式

韦达定理与乘法公式□陈大业（安徽省蚌埠八中２３３０２０）由韦达定理导出乘法公式，对横向沟通相关知识间的联系，不无小补．平方差公式以ａ与ｂ为根构造二次方程ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０，则有ａ２－（ａ＋ｂ）ａ＋ａｂ＝０，ｂ２－（ａ＋ｂ）ｂ＋ａｂ＝０．ａ...     

不等式“(a─b)~2≥0”在物理解题中的妙用

１不等式“（ａ—ｂ）２≥０”直接在解题中应用 ［例１］如图１所示，电阻 ｒ１≠ ｒ２，当 Ｓ断开时， ａ、 ｂ两点间的总电阻力 Ｒ１；当 Ｓ闭合时，ａ、ｂ两点间的总电阻力Ｒ２．则有： （Ａ）Ｒ１＞Ｒ２． （Ｂ）Ｒ１＜Ｒ２． （Ｃ）Ｒ１＝Ｒ２．（Ｄ）无法确定． 解：当Ｓ断开时，ｒ１与ｒ２先串联后再相互并联，Ｒ１当 Ｓ闭合时，ｒ１与ｒ２先并联后再串联， Ｒ２＝作 Ｒ１、Ｒ２的差：故有Ｒ１＞Ｒ２，答案为Ａ．２不等式“（ａ—ｂ）２≥０”经变形为ａ２＋ｂ２≥２ａｂ后再加以应用 ［例２］如图２所示，一根长４ｍ的木杆，下端用…     

错在哪里

题 已知函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，１），求函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ａ）ｆ（ｘ—ａ）（ａ≤０）的定义域。 解　ｆ（ｘ）的定义域为（０，１）， （１）当ａ＝０时，ｘ∈（０，１）； （２）当ａ＜－１／２时，－ａ≥１＋ａ，ｘ∈φ； （３）当－１／２≤ａ＜０时．－ａ≤１     

指数不等式和对数不等式解法新探

利用指数函数和对数函数的单调性解题时，通常要根据底数的大小进行分类讨论，其过程较为繁琐．本文介绍一种方法，可以十分方便的解决一些关于指数或对数的不等式问题．我们知道：指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１），当０＜ａ＜１时是减函数，当ａ＞１时是增函数．由此可得如下定理：定理１　在指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个实数ｘ１、ｘ２，ａｘ１－ａｘ２与（ａ－１）（ｘ１－ｘ２）的符号相同．定理２　在对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个…     

数学公式“歌诀记忆法”举例

数学公式“歌诀记忆法”举例１．完全平方公式：（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２．歌诀：“首平方，尾平方，首尾２倍在中央，符号一样不一样。”２．完全立方公式：（ａ±ｂ）３＝ａ３±３ａ２ｂ＋３ａｂ２±ｂ３．歌诀：“首立方，尾立方，正负３ａ方ｂ上，再加３ａｂ...     

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性□李玉钊（河南信阳地区教育学院４６４０００）众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），欲求其解，可通过著名的求根公式ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ｎ，ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ（...     

美玉亦有瑕:对'99试题的几点意见

１．第（７）题应给出示意图,或者加上“水平放置”四个字;第（１６）题中最后的问句若改为“不同的种植方法共有多少种？”也许更明确一些．２．第（２２）题（Ⅰ）解答欠妥．“若每对轧辊的减薄率不超过ｒ０”,并不可以假设减薄率均等且设为ｒ０,厚度当然也不构成等比数列．设经过ｎ对轧辊减薄后厚度为ａｎ,则ａ０＝α,ａｎ＝β,ａ０－ａ１ａ０≤ｒ０,ａ１ａ０≥１－ｒ０＞０,同样ａ２ａ１≥１－ｒ０＞０,…,ａｎａｎ－１≥１－ｒ０＞０,所以ａｎ≥ａ０（１－ｒ０）ｎ,即β≥α（１－ｒ０）ｎ,下同标准解答．此外,本题（…     

如何选用因式分解的方法

因式分解的方法多,技巧性强,这就要求我们在解题时要根据不同的题目,进行具体分析,灵活选用因式分解的方法．例谈如下：一、多项式为二项式,如果有公因式,要先提公因式,再试用平方差公式或立方和、立方差公式。例１分解因式：（３）１６（ａ－ｂ）２－９（ａ＋ｂ）２．分析（１）可把８１ａ４看作一个整体,连续应用平方差公式;（２）提公因式后用立方差公式;（３）把１６（ａ－ｂ）２和９（ａ＋ｂ）２看成两个整体,原多项式则可看成二项式,利用平方差公式分解因式．解（１）原式＝（９ａ２＋ｂ２）（９ａ２－ｂ２）＝（９ａ２＋…     

巧证一类竞赛题

有一类竞赛题，若能根据左边的式子Ａ的特点，巧妙的配上一个和它“配偶”的式子Ｂ，使得Ａ－Ｂ＝０，那么由Ａ＝１２（Ａ＋Ｂ），并运用熟悉的不等式ａ２ｉ＋ａ２ｊａｉ＋ａｊ≥１２（ａｉ＋ａｊ）（ａｉ＞０，ａｊ＞０），即可获得简洁的证明，该方法新颖、独特，且易为...     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…     

捕捉隐含信息 优化解题过程

本文通过具体的例子说明如何捕捉题中隐含的信息，优化解题过程。 一、捕捉隐含的定义、定理、公式信息使解题变得简洁 例题１设数列ａｎ的前ｎ项的和为Ｓｎ，该数列从第二项开始，后项减去前项的差为常数，且Ｓｎ＝（ｎＮ），若ｂｎ＝（－１）ｎＳｎ，求数列ｂｎ的前ｎ项和Ｔｎ· 分析 １：如果仅仅发现题中 Ｓｎ、ａｎ（或ｎ）的关系，直接运用公式ａｎ＝则解题较复杂．如果同时发现该数列是等差数列，则可利用题中公式和等差数列的知识来解，解题过程就变得简洁． 解法１：在Ｓｎ＝中令ｎ＝１可得： ａ１＝１，令ｎ＝２，得１＋ａ２＝ａ…     

一个分式和不等式的推广及应用

本刊文〔１〕关于分式和的不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ;或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０,则ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ≥ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．本文将其推广为：对于ｐ≥１...     

二次根式与非负数

一般地，式子（ａ≥０）叫做二次根式．据此，我们容易知道，二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数ａ，另一个是二次根式的值．对于某些与二次根式有关的问题，如果考虑这两个非负数，常可获得简捷的解答．例１　若，则ｘ的取值范围是（１９９０年山西省初中数学竞赛试题）解　由得即ｘ≤０．又ｘ＋８≥０，ｘ≥－８．故ｘ的取值范围是－８≤ｘ≤０．例２　在实数范围内，代数式｜｜的值为（）（Ａ）１；（Ｂ）２；（Ｃ）３；（Ｄ）以上答案都不对．（１９９５年江苏省初中数学竞赛试题）解　由－（ｘ－４）２≥０，得（ｘ－４）…