等腰三角形判定定理的其他证法

在几何学习中,研究和掌握几何定理的各种证法具有非常重要的意义．这是因为几何定理的证法一般都具有典型性和代表性．只要我们理解和掌握了几何定理的各种证法,就可以从根本上掌握几何命题的证明方法．因此,在几何学习中,应十分重视研究和掌握几何定理的证明方法．关于等腰三角形判定定理的证明,课本上的证法是：作顶角A的平分线AD,把西ABC分成两个三角形ADB和ADC;然后证明这两个三角形全等;最后根据全等三角形的性质证得AB＝AC．这就是先通过作适当的辅助线,把等腰三角形问题转化为全等三角形问题;然后应用全等三角形的…     

等腰三角形性质定理的证明方法

研究几何定理的证明方法具有十分重要的意义．这是因为几何定理的证明方法一般都具有典型性和代表性．只要理解和掌握了几何定理的证明方法，就能从根本上掌握几何命题的证明方法．因此，在几何定理的学习中，一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．但有不少同学在几何学习中，对几何定理的证明方法极不重视，老师在课堂上分析几何定理的证题思路、讲解几何定理的证明方法时，他们不注意听，只把精力放在定理条文的记忆和背诵上．这是舍本求末的做法，应该改变．对于等腰三角形的性质定理，课本上的证明方法是利用全等三角形给出证明：先…     

怎样学习几何定理

几何定理是几何知识体系的核心部分，是几何中的推理、论证、计算和作图的理论根据．因此，在几何学习中，学好几何定理具有极为重要的意义．那么，怎样学习几何定理呢？一、理解和掌握几何定理的证明方法几何定理的证明具有典型性和普遍意义．我们可以说，要掌握几何命题的证明方法，首先要掌握几何定理的证明方法；而掌握了几何定理的证明方法，就从根本上把握了几何命题的证明方法．因此，在几何定理的学习中，首先要理解和掌握几何定理的证明方法．但有的同学学习几何时，对几何定理的证明方法毫无兴趣，老师分析、讲解几何定理的证明，…     

等腰三角形判定定理的证明

关于等腰三角形判定定理的证明,课本上的证法是应用全等三角形给出证明．但在已知图形中,并没有以ＡＢ、ＡＣ为一对对应边的全等三角形,因此必须添加适当的辅助线（作ＢＡＣ的平分线ＡＤ）,把ＡＢＣ分成两个三角形ＡＤＢ和ＡＤＣ;然后证明这两个三角形全等;最后根据全等三角形的性质证得ＡＢ＝ＡＣ．除此之外,还有如下几种证法：１．作ＢＣ边上的高ＡＨ（如图１）,把ＡＢＣ分成两个直角三角形ＡＨＢ和ＡＨＣ,则ＡＢ、ＡＣ分别是这两个直角三角形的斜边．于是,欲证ＡＢ＝ＡＣ,只须证Ｒｔ△ＡＨＢＲｔＡＨＣ即可,根据已知条件和辅…     

构造全等三角形证题

学习了《全等三角形》这一单元的知识和方法后，同学们都知道，利用全等三角形可以证明线段相等和角相等．证题时，一要善于从复杂图形中识别全等三角形，二要善于作适当的辅助线，构成证题所需的全等三角形．下面主要谈一谈怎样构造全等三角形证题．例１如图１，在△ＡＢＣ中，已知ＡＢ＝ＡＣ．求证：∠Ｂ＝∠Ｃ．分析我们知道，利用全等三角形是证明两条线段相等和两个角相等的最基本、最常用的方法．但在已知图形中，并没有以∠Ｂ和∠Ｃ为一对对应角的全等三角形，因此应作适当的辅助线，构成证题所需的全等三角形．这样的辅助线有如下三…     

两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等吗

有的同学认为命题“两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等”是假命题，理由是根据由已知画出的图形不能判断出三角形全等．其实不然，这是一个真命题，虽然由已知不能直接推出三角形全等，但是通过作辅助线，却能证得结论，请看下面的证明：如图，在西△ＡＢＣ和△Ａ’Ｂ’Ｃ’中，ＡＢ＝Ａ’Ｂ’，ＡＣ＝Ａ’Ｃ’，ＡＤ、Ａ’Ｄ’分别是两三角形的中线且ＡＤ＝Ａ’Ｄ’．求证：△ＡＢＣ≌△Ａ’Ｂ’Ｃ’．分析　　依据已知图形不能直接证明两个三角形全等，因此我们须作适当的辅助线：分别延长ＡＤ到Ｅ，Ａ’Ｄ’到Ｅ’，使ＤＥ＝…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

它们全等吗?

笔者在一次复习课中出了一道选择题，具中一个选择支是要求判断命题“有两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等”的真假，出乎意料的是全班同学竟一致认为它是一个真命题．事实上它是一个假命题，下面举一个反倒来说明：如图，在△ＡＢＣ与△ＡＢＤ中，已知：ＡＥ　ＢＤ于Ｅ，ＡＣ＝ＡＤ，显然ＡＢ＝ＡＢ，ＡＥ＝ＡＥ．但△ＡＢＣ与△ＡＢＤ显然不全等．是什么原因导致出现上述错误呢？关键是同学们忽视了三角形的高有可能在三角形的外部或与三角形的某一边重合，而把三角形的高只局限在三角形的内部．因此，在研究三角形的高时，一…     

勾股定理在几何证明中的应用

勾股定理是平面几何中的重要定理之一，其重要地位，被数学家形象地誉为欧氏几何的“拱心石”．勾股定理及其道定理有着广泛的应用，本文举例说明勾股定理及其道定理在几何证明中的应用．勾股定理表达式中的每一项都是线段的平方，所以，在几何证明中，凡涉及有关线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题，都可以考虑应用勾股定理及其道定理来证明．例Ｉ已知：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，点Ｄ、Ｅ分别在ＢＣ、ＡＢ上．求证：ＡＤ２＋ＣＥ２＝ＡＣ２＋ＤＥ２证明在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＢＣＥ中，由勾股定理有Ａ…     

等腰三角形性质定理的另证

在几何学习中,研究和掌握几何定理的证明方法具有十分重要的意义．这是因为几何定理的证法一般都具有代表性和典型性．同学们只要理解和掌握了几何定理的证明方法,就可以从根本上掌握几何的证明方法．因此,在几何学习中,一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．但有一部分同学在学习几何时,极不重视理解和掌握几何定理的证明方法．老师在课堂上分析几何定理的证题思路、讲解几何定理的证明方法时,他们不注意听,只把注意力放在定理条文的记忆和背诵上．这是舍本求末的学习方法．应该改变关于等腰三角形性质定理的证明,除了课本上的…     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等吗

我们知道,要肯定一个命题是正确的,必须给出严格的逻辑证明;而要否定一个命题的正确性,不需要给出严格的逻辑证明,只要举出一个反例就可以了．对于上述问题,我们的回答是否定的．例如,如图１,在△ＡＢＣ中,ＡＨ⊥ＢＣ于Ｈ,Ｄ是ＢＨ上一点,且ＤＨ＝ＨＣ．易证△ＡＨＤ≌△ＡＨＣ,所以ＡＤ＝ＡＣ．于是,在△ＡＢＣ和△ＡＢＤ中,虽有ＡＢ＝ＡＢ,ＡＣ＝ＡＤ,ＡＨ＝ＡＨ（即两边及第三边上的高对应相等）,但这两个三角形并不全等．由此可知,“两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是假命题．在我们举出反例之前,有部…     

转化──学好四边形的关键

要学好《多边形》一章的知识,关键要抓住下面三个转化．一、将多边形问题转化为三角形问题（或四边形问题）来研究例１已知一个四边形ＡＢＣＤ（如图１）,作一条线段ａ,使它等于四边形两条对角线长的和;作一条线段ｂ,使它等于四边形的周长．试比较线段ａ、ｂ的大小．（《几何》第二册１３０页Ａ组第２题）分析证明四边形中线段不等关系,可转化为三角形,利用三角形中的三边关系定理来处理．在四边形ＡＢＣＤ中,作对角线ＡＣ、ＢＤ．在△ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＢＣ＞ＡＣ;①在△ＡＢＤ中,ＡＢ＋ＡＤ＞ＢＤ;②在△ＢＣＤ中,ＣＤ＋ＢＣ＞…     

正弦定理面面观

正余弦定理是三角中非常重要的公式,它们具有广泛的应用,故值得我们研究和总结．为此,文［１］对余弦定理作了多方位探讨．本文再给出正弦定理的别证、变式及应用,供读者参考．正弦定理　在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且等于外接圆的直径,即ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒ．１．定理的证明教材中是运用三角形的面积公式Ｓ△＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｃａｓｉｎＢ来证明的,除此之外我们可利用几何法构造直角三角形或利用余弦定理来证明．证明：如图１,在△ＡＢＣ中,作ＣＤ⊥ＡＢ,…     

证明三角形全等的常见思路

全等三角形是初中几何中的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。在教学时可抓住以下几种证明三角形全等的常见思路进行分析。一、已知一边与某一邻角对应相等思路１证已知角的另一邻边对应相等,以利用ＳＡＳ证全等。例１已知：如图,点Ｅ、Ｆ在ＢＣ上,ＢＥ＝ＣＦ,ＡＢ＝ＤＣ,∠Ｂ＝∠Ｃ。求证：ＡＦ＝ＤＥ。证明：∵ＢＥ＝ＣＦ（已知）,∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＥＦ,即ＢＦ＝ＣＥ。　　在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中,ＡＢ＝ＤＣ（已知）∠Ｂ＝∠Ｃ（已知）ＢＦ＝ＣＥ（已证…     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

三角形内角和定理的证明思路

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于１８０°．它是揭示三角形三个内角关系的一个基本定理．本文试对该定理的证明思路作分析，供同学们参考．要证明三个内角之和等于１８０°，需进行这样的联想：什么角才是１８０°？具有何种关系的角的和等于１８０°？回答这两个问题并不困难，平角是１８０°，两平行直线被第三条直线所截，同旁内角之和等于１８０°．这样，就可以按照将三角形三内角转化成一个平角或两个同旁内角的和的思路去证明定理了．证法１过△ＡＢＣ的顶点Ａ作ＤＥ／／ＢＣ（图１），则∠１＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ所以∠Ｂ＋∠…     

证明圆中线段等积式的基本思路

证明圆中线段等积式 (或比例式 )是一类综合性较强的几何证明题 .证明这类命题要综合应用相似形和圆的有关知识和方法 ,同时还要作适当的等量代换 .下面介绍证明这类命题的基本思路 .一、应用相似三角形的性质证明应用相似三角形的性质证明线段等积式 ,应先把线段等积式变形为线段比例式 ,然后再证其中四条线段所在的两个三角形相似 .例 1　已知 :如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,Ａ是ＢＤ的中点 ,过Ａ点的切线与ＣＢ的延长线交于点Ｅ .( 1)求证 :ＡＢ·ＤＡ =ＣＤ·ＢＥ ;( 2 )略 .( 2 0 0 0年北京市海淀区中考题 )分析　 ( 1)要…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ…     

利用相似三角形的性质解题

相似三角形是本学期《几何》的重点内容．通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质进行计算或证明的题型，也是统考命题的热点．本文就此归纳一些常见的题型，供同学们学习和参考．一、证角相等例１　如图１，四边形ＡＢＣＤ为梯形，ＣＤ／／ＡＢ，ＡＢＣ＝９０°，Ｅ为对角线交点，ＥＦ　ＢＣ于Ｆ．求证：ＥＦ平分ＡＦＤ．分析　要证ＥＦ平分ＡＦＨ，即证１＝２，但△ＨＥＦ与△ＡＥＨ明显不相似，考虑到１＋３＝２＋４＝９０°，转而去证３＝４．由已知条件知ＥＦ／／ＤＣ／／ＡＢ，因。，ＣＦＤＥＣＤＤＥｒ。＿ＣＦＣＤ＿＿ｆ”Ｆ…