一个三角形函数最值的行列式解答

题若α,β,γ∈R,求u=sin(α-β) sin(β-γ) sin(γ-α)的最大值和最小值.在本刊2006年第1期第40页上,应用4元均值不等式给出了该题的一种初等解法,其实,逆向利用行列式,可以给出该问题的一种巧思妙解.解u=sinαcosβ sinβcosγ sinγcosα-cosαsinβ-cosβsinγ-cosγsinα=sinαcosα1sinβcosβ1sinγcosγ1,构造点A(sinα,cosα),B(sinβ,cosβ),C(sinγ,cosγ),则|u|=2S△ABC. 1很明显,上面的三点A、B、C都在单位圆:x2 y2=1上.因为圆内接三角形,以正三角形的面积为最大,所以当△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值343,于是|u…     

一类反三角函数的求值问题

我们知道复合函数y=sin(arc sinx)在定义域x∈[-1,1]上都有sin(arc sinx)=x.对于复合函数y=arc sin(sinx)的问题,现行教材仅讨论了x∈[-πc/2,π/2]时,arc sin(sinx)=x的情形,实际上,这个复合函数的定义域是x∈R,而值域是y∈[-     

一道最值问题的另一种求法

题若α、β、γ∈R．求u=sin(α-β) sin(β-γ) sin(γ-α)的最大值和最小值．文[1]指出：《中学数学教学参考》2005年第4期第56页给出了此题的高数解法,并征求它的初等解法,文[1]给出一种初等解法,读后颇有受益,但感觉意犹未尽,似乎未展示其数学本质,因为隐含条件α-β β-γ γ-α=0在解法中没有起到任何作用,现给出它的另一种初等解法,其指导思想、解题策略完全不同于文[1]的方法：     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

2004年全国高考三角题题型及解法

本文以 2 0 0 4年各地高考三角题为例 ,就题型与策略谈几点拙见 ,以供参考 .1.用公式asinα+bcosα =a2 +b2 sin(α+φ)化为一个角的某个三角函数 .【例 1】　求函数y=sin4 x+2 3sinxcosx-cos4 x的最小正周期和最小值 ,并写出该函数在 [0 ,π]上的递增区间 .解 :y =sin4 x+2 3sinxcosx-cos4 x=3sin2x-cos2x =2sin( 2x-π6)故此函数的周期为π ,最小值为 -2 ,[0 ,π3 ]为递增区间 ,[23 π ,π]为递增区间 .练习 1:求函数y=sinx -12 cosx(x∈R)的最大值 .2 .通过化简转化为以tanα为主元的代数式 .【例 2】　已知tan(α+π4) =2 ,求 12sinαc…     

转化思想在求三角函数值域中的应用

例1求y=cosx+!3sinx,x∈π#6,23π$的值域.思路:形如y=asinx+bcosx的函数通常转化成y=!a2+b2sin(x+θ)的形式.解:y=cosx+!3sinx=2sin(x+π6).由x∈%π6,23π&,得x+π6∈%π3,56π&.∴21≤sin(x+π6)≤1,故1≤y≤2.即原函数的值域为[1,2].例2求y=sin2x-sinx+1,x∈π%3,34π&的值域.思路:形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的函数,可利用换元法转化为在[-1,1]内的二次函数问题.即求y=at2+bt+c的值域.解:y=sin2x-sinx+1=(sinx-12)2+43.又x∈%π3,34π$,∴sinx∈!22,%$1.而(sinx-21)2+43在!22,%$1上单调递增,∴y∈3-!22,%$1.即所求值域为3-!22,%$1.例3…     

2004年数学高考冲刺卷（四）

第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共1 2小题,每小题5分,满分60分,每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的)1 .给出下列函数:①y =x -x3　②y =x·sinx cosx　③y =sinx·cosx　④y =2 x 2 -x,其中是偶函数的有(　　)(A) 1个　(B) 2个　(C) 3个　(D) 4个2 .若α、β终边关于y轴对称,则下列等式成立的是(　　)(A)sinα=sinβ　　　(B)cosα=cosβ(C)tanα=tanβ(D)cotα=cotβ3 .(理)设全集U =R ,A ={x|x2 >4},B ={x|logx7>log37},则A∩(CUB)是(　　)(文)设全集u =R ,A ={x||x|>2 },B ={x|x2 -4x 3 <0 },则A∩(CUB)是(　　)(A…     

u=sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)最值的一种求法

题 若α、β、γ∈R，求u=sin（α-β）＋sin（β-γ）＋sin（γ-α）的最大值和最小值．     

灵活运用二元均值不等式两例

很多常见的不等式证明问题,都可以灵活地运用二元均值不等式x y≥2√(xy)~(1/2)(其中x,y∈R~ )方便地解决。这里借用文[1]的两个较复杂的例子,说明其运用技巧。 例1 设α,β,γ均为锐角,且 sin~2α sin~2β sin~2γ=1, 求证:sin~3α/sinβ sin~3β/sinγ sin~3γ/sinα≥1。 这是文[1]中的例4,此处直接用二元均值不等式简证如下:     

美国《数学杂志》问题1714的再推广

美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714:设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,证明:44()()()()x ymx+ny my+nx+my+nz mz+ny421()()3()z+mz+nx mx+nz≥m+n.(1)文[1]将其推广为:设λ,ai∈R+(i=1,2,n),且1niia=∑=1,an+1=a1,则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk kii i i i ia naλa aλaλ?=++∑++≥+.本文在文[1]的基础上对(1)式进行再推广:命题1设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,α,β,γ∈R+,且α?(β+γ)=2,则()()()()x ymx ny my nx my nz mz nyαα+β+γ++β+γ1()()3()zmz nx mx nz m nα++β+γ≥+β+γ.命题2设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,β,γ,l∈…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文、理科)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 (　　 )　　 (A) y=-1…     

高一数学综合检测

一、选择题1.设sinα=-35,cosα=54,那么下列的点在角α的终边上的是().A.(-3,4)B.(-4,3)C.(4,-3)D.(3,4)2.下列四组函数f(x)与g(x),表示同一个函数的是().A.f(x)=sinx,g(x)=xsxinxB.f(x)=sinx,g(x)=1-cos2xC.f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2xD.f(x)=1,g(x)=tanxcotx3.tanx+tany=0是tan(x+y)=0的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到y=sin2x-π3的图象,只需将y=sin2x的图象().A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π5.若α、β∈0,π2,则().A.cos(α+β)>cosα+cosβB.cos(α+β)>s…     

W.Janous猜想的再推广

W.Janous 猜想:设 x、y、z>0,则 (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1)近几年,不少刊物发表文章给出这一猜想的证明和推广形式,其中文[1]的参数形式的推广很有适应性,印命题1 设 x_i∈R~ (i=1、2、…、n),α、β、γ∈R,λ>0,且1-λx_i~γ>0(i=1、2、…、n),则当αβγ≥0时,     

三角函数最值的几种求法

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…     

再谈一个三角问题的解决

文[1]给出了如下一个三角问题:求函数y=sinx cosx sinxcosx(x∈R)的最大值.对此文[1]给出了六种解法,读后受益非浅.作为对文[1]的补充,本人对这个三角问题再给出六种不同的解法,供同行们研讨.     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

一类不等式证明中的“对称配偶法”

本文对一类具有“对称”性的不等式给出一种可行的证明方法——“配偶法”,先看几个实例: 例1:若α、β、γ∈(0,π),求证:sinα+sinβ+sinγ≤3sin(α+β+γ/3) 证:对任意的x、y∈(0,π)有: sinx+siny=2sin(x+y/2)·cos(x-y/2)≤2sin(x+y/2)(∵sin(x+y/2)>0) 所证不等式左边共三项,今配一项sin(α+β+γ/3),即成偶数项。     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

浅谈求解数学中的最值问题

在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s...