2002年天津市中考数学一试题的探索

题目 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O .若S△AOB=4 ,S△COD=9,则S四边形ABCD的最小值为 (　　 ) .(A) 2 1　 (B) 2 5　 (C) 2 6　 (D) 36我们给出如下解法 ,对试题与解法进行探索 .图 1解 :如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE =h2 ,BD =a ,OD =x .那么 ,OB =a -x .由已知条件可得12 (a -x)h1=S△AOB=4 ,12 xh2 =S△COD=9.从而 ,h1=8a -x,h2 =1 8x.①又S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+1 3.于是 ,求四边形ABCD面积的最小值问题转化为求y =S△BOC+…     

对2002年天津市中考数学一试题的分析

20 0 2年天津市中考试卷第一题的第 1 0小题为 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ,若S△AOB =4 ,S△COD =9,则四边形ABCD的面积S四边形ABCD 的最小值为A 2 1　B 2 5　C 2 6　D 36图 1我们给出如下解法 ,对试题给出分析与评价 .解　如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE=h2 ,BD=a ,OD=x ,则OB=a -x .由已知条件可得12 (a-x)h1=S△AOB =4 ,12 xh2 =S△COD =9.从而 ,h1=8a-x,h2 =1 8x. ( 1 )又S四边形ABCD =S△AOB S△COD S△BOC S△AOD =S△BOC S△AOD 1 3.于是 ,求四边形…     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

用运动、变化观促进几何解题教学

事物是普遍联系的,又是运动的,也是变化发展的.几何是研究物体的形状、大小、和位置关系的一门学科,在教学中,运用唯物辩证法的观点,对学生进行解题能力培养,更好地学习几何,起着不可或缺的作用.1启迪联想,学会动变对于课本中的某些习题,教师应该发现它们之间的联系,挖掘它所具备的深层价值,如:在几何课本中有不在同一页的如下两个习题.11如图1,已知∠AOB=165°,∠AOC=∠BOD=90°,求∠COD的大小.21如图2,已知∠AOB=∠COD=Rt∠,∠AOD与∠BOC是否相等,为什么?我们有意把两题放在一起,让学生发现两题的图形有什么相同与不同.学生发现…     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

“相似图形”易错题选析

[例1]已知两数3a和27a,那么这两数的比例中项是.[错解]9a.[剖析]此题错解的原因是把“求两个数的比例中项”与“求两条线段的比例中项”相混淆.两个数的比例中项应有正、负之分,而线段的比例中项只能为正.[正解]设这两个数的比例中项为x,则x2=3a·27a=81a2得x=±8a正解:±8a.[例2]如图,梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC、BD相交于O,试问△AOB和△DOC是否相似?[错解]相似,理由如下:∵AD//BC∴AOOC=DBOO又∵∠AOB=∠COD∴△AOB△DOC[剖析]在比例线段AOOC=DBOO中,AO与DO夹的是∠AOD,BO与CO夹的是∠BOC,再由∠AOB=∠COD…     

对一道选择题答案的反思

题目如图1,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是().(A)∠APB=∠EPC(B)∠APE=90°(C)P是BC边的中点(D)BP∶BC=2∶3本题答案应该是C.但许多同学是这样解的:当∠APE=90°,∠1+∠α=90°,又因为∠β+∠1=90°,所以∠α=∠β,又因为∠B=∠C,所以△ABP∽△PCE.故选B.选择支B能否推出△ABP∽△ECP?可以换个角度思考,即当△ABP∽△PCE时,能否求出BP的长呢?不妨设正方形的边长为4a,BP=x,则CP=4a-x,CE=2a,根据相似三角形的对应边成比例可得CBEP=PACB,即2xa=4a4-…     

《相交线与平行线》发展性练习

1.如图1,已知直线AB、CD相交于点O,∠AOC ∠BOD=238°.求:(1)∠BOC的度数; (2)若∠AOC的度数是∠AOD的2倍,则∠AOD、∠BOD的度数是多少?     

巧用四边形性质 妙解一类问题

下面来看四边形一个性质: 如图1,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,设S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3,S△OOD=S4,则有如下结论: S1S2=S3S4. 证明:因为S1/S3=OD/OB=S4/S2,     

梯形面积的一个性质及其应用

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。     

面积问题的几个结论及其应用(初二、初三)

1.面积问题的几个相关结论结论1 如图1,梯形ABCD(AB//CD,AB≠CD)的对角线AC、BD相交于点O,分别记梯形ABCD、△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积图1为S、S1、S2、S3、S4,则     

由《几何画板》发现的一个命题

已知:如图1,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是AB的中点,且∠COD=90°.由此,我们易知:△OAD∽△CBO∽△COD.     

一道习题的引申及其应用

苏教版《数学课课练》高二下册第17课时例1:已知:∠AOB=90°,过点O引∠AOB所在平面的斜线OC与OA,OB分别成45°,60°角,求二面角A-OC-B的余弦值.图1本题是在已知三个面角∠AOB,∠AOC,∠BOC的条件下,利用二面角的定义求二面角A-OC-B的余弦值.若将本题中的三个面角由特殊推广到一般,设∠AOB=θ1,∠AOC=θ2,∠BOC=θ3,二面角A-OC-B为θ,则有如下结论:cosθ=cosθs1i-nθc2o·ssθi2n·θc3osθ3.证明在OC上取一点D,使OD=1,过点D分别在面AOC,面BOC内作DE⊥OC,DF⊥OC,DE,DF分别交OA,OB于E,F,连EF,则∠EDF为二面角…     

一个与三角形相关的向量等式的讨论(续)

如果定义T_(△HKG)=S_(△KHG),当△KHG 与△ABC 有公共内点,—S_(△KHG),当△KHG 与△ABG 无公共内点,则有如下定理:定理3 设点 O 与△ABC 共面,则T_(△BOC)+T(△AOC)+T_(△AOB)=0, (15)且 T_(△BOC)+T_(△AOC)+T_(△AOB)=S_(△ABC). (16)证明:按点 O 所在的位置讨论如下:(Ⅰ)当点 O 在△ABC 的内部或边界上时,△ABC 被分割为△BOC,△AOC 和△AOB(当 O 在边界上时,当中有的是退化三角形),所以有T_(△BOC)=S_(△BOC),T_(△AOC)=S_(△AOC),T_(△AOB)=S_(△AOB),且其和等于 S_(△ABC),即得(16)式,且根据定理2的结论1,得     

《图形的初步认识》检测题(二)

基础巩固1.直线l上顺次取A、B、C三点,使AB=6cm,BC=3cm,在l上取一点O,使它到点A、C的距离相等,则OA的长度为________.2.如图1,∠AOB和∠COD都是直角,并且∠BOD=35°,那么∠AOC=.3.13°39' 64°45'=,108°42'=度,35.28°=度分秒.4.如图2,直线AE∥CD,∠EBF=135°,∠BFD=60°,则∠     

数学单元测试题[二]

一、填空题。(本大题11个小题,每小题2分,共22分) ’ 1.如图1,直线AB、cD相交于点0,么AOD一100。,则么BOC一 ,么AOC= ; 2.如图2,已知直线A8、CD都过点O,oE为射线,么1—35。,么2—55。,则么AOD一——; 3.如图3,下面是由已知条件么A￡;C==:么ACB推出么BDF一么ECG的推理过程,请填出每步后面的根据 。.。么ABC一么ACB( )又‘.’么ABC一么DBF( ) 么ACB一么EcG( ).。.么DBF一么ECG( ) 4.如图4,么AolB一150。,DO上AO,∞上B0,贝0么∞D一 ; 茶《B鑫峰A 6.自钝角的顶点引它一边的垂线,把这个钝角分成两个角的度数之比是3:2,…     

第五章《相交线与平行线》测试题（课标人教版）

一、精心选一选(每小题3分,共36分)1.下列关于对顶角的说法,正确的是()A.有公共顶点并且相等的两个角B.有公共顶点的两个角C.角的两边互为反向延长线的两个角D.两直线相交所成的两个角2.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,且AB⊥CD,垂足为点O,若∠BOE=70°,则∠DOF的度数()A.10°B.20°C.30°D.70°3.如图2,已知点O为直线AB上一点,∠BOD=∠COE=90°,则下列各式错误的是()A.∠AOC=∠DOE B.∠COD=∠BOEC.∠AOD=∠BOD D.∠BOE=∠AOC4.如图3,直线a、b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4 ∠7=180°;∠…     

运动与几何(初三)

例1 已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图1所示的直角坐标系.设P、Q分别为AB边、OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向点B 图1     

“母子圆”的性质

这里把经过另一圆心的圆叫“母圆” ,把圆心在另一圆上的圆叫“子圆” .下面介绍母子圆的性质和相应的中考题 .图 1如图 1,点A在母圆⊙O上 ,子圆⊙A与母圆⊙O交于B、C ,点P是母圆⊙OBC的上的任意一点 (不与点B、C重合 ,且点A、P在直线BC的两侧 ) ,PA交BC于D ,设子圆⊙A的半径为r ,则有下列结论成立 (此文中结论与所注中考原题在形式上略有不同 ,但本质相同 ) .1 PA平分∠BPC .证明 :因为AB =AC ,所以 AB =AC ,所以∠BPA =∠CPA .2 ( 1) .△ABD ∽△APB∽△CPD ;2 ( 2 ) .△ACD ∽△APC∽△BPD .3 .PB·PC =PD·P…     

只知其一 不知其二——圆的中考二解问题错例分析

全面的考虑问题是正确地解决问题的关键所在.而有些同学在解圆的有关题目时,因考虑不周而出现漏解的现象.现以考题为例加以分析,以飨读者例1(2005年黄冈)已知点P是半径为2的⊙O外的一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作出长为22的弦AB,连接PB,则PB的长为.错解如图1,连结OA、OB.图1图2因为OA2+OB2=22+22=8,AB2=(22)2=8,所以OA2+OB2=AB2.所以△AOB为以∠AOB为直角的直角三角形.因为PA⊥OA,所以PA∥OB.又因为PA=OB=2,所以四边形AOBP为正方形.所以PB=OA=2.分析上面的解答只考虑了点P和圆心O在弦AB的异侧的情况…