数列

试题1(湖北卷,理科第15题)将杨辉三角中的每一个数c:都换成一一从丁布,就得到一个如图1所示的分数三角形,成 气儿门一1夕七. 113 12-了l了 l一2 上3为莱布尼兹三角形,从莱布尼兹三”形可看出夏煮面十丽长万~提一,其中二一n七”一l—,令a,二上124 1 1 1 1 11一.于.十;欣+份亡十二三十…+气二;-~5 ji乙ju OUn七二一l 6l二匕J-205召匕上上60 306 O医1一4上30十 (n+1)C三,则lima。二 试题特点:本试题将熟悉的杨辉三角扩展到莱布尼兹三角形,既提高了高中生学习数学的兴趣,又为大学学习微积分埋下了伏笔.结合组合知识考查数列求和与数列的极限使…     

再探矩形格中的最短路径与杨辉三角

文[1]提供了一道小学数学题:如图1,田字格中由4×5条线段组成,试求从点A到点B的最短路径共有几条? 文[1]通过研究得到的结论是:对于m×n阶矩形格(m、n分别为竖线和横线数,且m、n≥2),点A到点B的最短路径数等于杨辉三角中直线M和N交叉处的数字(如图2),此数字可用组合数C(m+n-2)(m-1)表     

图表形式的数列题分类解析

一、三角形式的图表例1图1是一个类似“杨辉三角”的图形,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和.an,1,an,2,…,an,n(n=1,2,3,…)分别表示第n行的第一个数,第二个数,…,第n个数.求an,2(n≥2且n!N)的通项公式.解由     

错在哪里

同学们在平时解题过程中,喜欢拿到题就做,不注意审题,缺乏周密思考,往往出错还不知道错在哪里.下面就数列问题举例说明,以期引例起1大家的注意.已知有穷数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式.(2)指出1+4+7+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.错解:(1)这个数列的通项公式为an=3n+7.(2)1+4+7+…+(3n-5)是该数列的前n项之和.错因:(1)若n=1,则a1=10≠1.显然3n+7不是它的通项.(2)该数列的通项不是3n-5,所以1+4+7+…+(3n-5)不是它的前n项之和.正解:(1)数列的第m项am=1+3(m-1)=3m-2,所以该数列的通项公式是am=3m-2(m…     

数列

试题 1（湖北卷，理科第15题）将杨辉三角中的每一个数C′n都换成1/（n＋1）C′n，就得到一个如图1所示的分数三角形，成为莱布尼兹三角形，从莱布尼兹三角形可看出1/（n＋1）C′n＋1/（n＋1）C′n=1/nC′n-1，其中x=_____，令an=1/3＋1/12＋1/30＋1/60＋…＋1/nC^2 n-1＋1/（n＋1）Cn^2,则liman（n→∞）=_____.     

由一个不等式想到的

最近一位中学教师,问了如下的问题:若a>1,则h(n)=(1+a~2+…+a~(2n))/(a+a~3+…+a~(2n-1))>(n+1)/n。在这个问题中,若令f(k)=1+a~2+…+a~2k,则h(n)=f(n)/af(n-1),当我们把f(n)表为1+a~2的多次式时,其系数恰好是杨辉三角底角分角线上的数,更有趣的是,这样得到的数列,就是斐波那契数列。现在先用归纳法来证明上面的问题: 当n=1时,因a>1,故(a-1)~2>0,从而(1+a~2)/a>2,不等式成立。     

求解数表数列题的五个着眼点

数表数列题近年来频繁出现在各类试卷上的一类新型考题.这类题既能考查学生的基础知识,又能考查学生观察问题、收集信息、处理数据、归纳推理、解决问题的能力.问题的解决体现了研究性学习的特点,对学生的创新能力也有较高的要求.解这类题常从以下几个方面考虑.　　一、根据数表,寻找递推关系寻找递推关系,重点研究第 n项与第 n-1 项的内在联系.对数表数列题,可通过观察数表,由特殊数据探路来归纳、猜想、证明出一般规律.例1 　下表满足:①第 n 行首尾两数均为n;②表中的递推关系类似杨辉三角求第n(n≥2)行的第2个数.解析 　设第n(n≥2)…     

等差积数列前n项和公式的探求

请看下面的无穷数列: (1) 1,4,7,10,13,16,…3n-2,… (2) 1×4,4×7,7×10,…(3n-2)(3n+1)… (3) 1×4×7,…(3n-2)(3n+1)(3n+4)… (4) 1×4×7×10,4×7×10×13,… (3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)…数列(1)是一个等差数列,学生能迅速求出其前n项之各,但要求出数列(2),(3),(4),…等的前n项之和却成困难。然而,学生们在研读许多数学课外书刊或资料的时候,又常常遇到它们。为了满足学生的求知欲:培养他们进行数学活动的兴趣和能力,笔者利用课外数学活动时间,引导他们对类数列前n项之和的求法进行了专题探讨,师生一道建立了一般的求和公式。现将活动过程整理成文,供同志们参考。定义一个无穷数列 a_1a_2…a_n,a_2a_3…a_(r+1),…,a_na_(n+1)…a_(n+r+1),…叫做     

无字证明阿基米德平方求和公式亮相安徽中考试题——从安徽2017年中考第19题说起

1 原题呈现 阅读理解: 我们知道,1 + 2 + 3 + … + n ＝ n(n + 1)2 ,那么12 + 22+ 32 + … + n2 结果等于多少呢? 在图1 所示三角形数阵中,第一行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2 + 2,即22;……;第n 行n 个圆圈中的数的和为n + n + … +nn个n ,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n + 1)2 个圆圈,所有圆圈中数的和为12 + 22 + 32 +… + n2.     

以图形为背景的观察猜想型数列问题

在近几年的各类试题中,以图形为背景的观察、猜想型题目比较多,它背景直观、贴近生活.这类试题关键是通过观察、猜想把图形中的问题转化为数列问题,再根据数列知识求解.下面介绍几种求解方法.一、由不完全数学归纳法观察猜想例1根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个中有个点.[分析]第1图形中有1个点、第2个图形中有2×2-1个点、第3个图形中有3×3-2个点、第4个图形中有4×4-3个点、第5个图形中有5×5-4个点…由不完全数学归纳法得,第n个图形中共有n2-(n-1)=n2-n+1个点.例2如图,第n个图形是由正n+2边形“拓展”而来的,(n=1、…     

关于一道2006年高考试题答案的商榷

2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科第15题是:将杨辉三角中的每一个数Crn都换成分数(n 11)Crn,就得到一个如图1所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出1(n 1)Crn (n 11)Cnx=nC1rn-1,其中x=.令an=13 112 310 610 … 1nC2n-1 (n 11)C2n,则li n     

数列求和的常用方法

数列求和是数列基本内容之一 .由于数列求和题型多样、技巧性强 ,是数列学习的一大难点 .下面通过一些实例 ,对数列求和的常用方法作一归纳 ,借以进一步提高数列求和能力 .一、直接求和法把前 n项直接相加或直接应用等比、等差、自然数方幂等数列求和公式得出结果的一种方法 .例 1　求数列 1,( 3+ 5) ,( 7+ 9+ 11) ,( 13+ 15+ 17+ 19) ,… ,前 n项的和 .解 :本题实质是一个求奇数数列的和 .在前 n项中共有 1+ 2 + 3+… + n =12 n( n + 1)个奇数 ,故最后一个奇数为 2 . 12 n( n + 1) - 1=n2 + n - 1.因此所求数列前 n项和为∴ Sn =12 n( n +…     

初探同码数列

若a表示1到9的九个数码,a_n表示第n位数的数码,那末数N=10~(n-1)a_n+10~(n-2)a_(n-1)+…+10a_2+a_1,记作N=a_na_(n-1)…a_2a_1.由相同的数码组成的数,叫做相同数码数,记作N=aa…aa。由相同数码数组成的数列,叫做相同数码数列,简称同码数列,设10~n-1=U_n,10~(2n)-1=V_n,本文将采用这两个数学符号,以使问题表达形式简洁。一、重9数列     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

关于一道2006年高考试题答案的商榷

2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科第15题是:将杨辉三角中的每一个数Grn都换成分数1/(n 1)Crn,就得到一个如图1所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出1/(n 1)Crn 1/(n 1)Cxn=1/nCrn-1,其中x=__.令an=1/3 1/12 1/30 1/60 … 1/nC2n-1 1/(n 1)C2n,则limann→∞=__.     

一“数”之变 异彩纷呈——一道递推数列题的变式探究

以下是笔者通过对一道数列题改变一个数字进行探究,发现解法优美、内涵丰富、异彩纷呈,写下来与大家交流,希望能够给读者在递推数列解题方面带来一点启示.一、试题呈现题目1:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)若bn=an2n-1,求证:{b}n是等差数列;(2)数列{an}的前n项和Sn.这是一道递推数列试题,第(1)问不难证明,第(2)问关键是求通项an.     

以"杨辉三角"为背景的考题探析

随着新课程的全面展开,新教材研究性课题“杨辉三角”问题被重视的程度逐渐得以加强.由于其内容极为丰富,已成为联系众多知识内容的媒介,并且它在研究其它许多问题时,获得广泛的应用,因此倍受命题者的青睐,已逐步渗透到高考和各级各类模拟试题之中.而且常处于“压轴题”的地位,充当“把关题”的重要角色.以它为载体设计情境新颖的试题,通过研究其自身蕴含的性质,来考查学生的数学思维,在新情境中提高学生吸收信息、处理信息、创新探究的学习能力.本文就与“杨辉三角”相关的问题分类例析如下.1挖掘“杨辉三角”知识内涵,展现自身的探究魅力一些以“杨辉三角”为素材的数表问题,巧妙地将排列组合知识、概率知识移植于其中,集趣味性、创新性、探究性于一体,成为有效甄别学生思维品质的“分水岭”或“试金石”.图1例1(2004年上海春季高考题)如图1,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.分析剖析观察图1,我们发现:第1行中数是C10,C11;第2行中数是C20,C21,C22;第3行中数是C30,C31,C23,C33;…则第n行中数是Cn0,Cn1,C2n,…,Cnn.设第n行中从左至右第14与第15个...     

求数列通项方法举隅

<正>求数列通项在高考中属于常考内容,本文归纳整理了几种方法,供参考.一、已知a_1和a_n=a_(n-1)+f(n)型,其中f(n)可求和例1已知数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n+3n+2,且a_1=2,求a_n.解由a_(n+1)=a_n+3n+2知a_(n+1)-a_n=3n+2,a_n-a_(n-1)=3n-1.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1=(3n-1)+(3n-4)+……+5+2     

巧数平行四边形

请问:图1中共有多少个平行四边形?图1 如果一个一个的数,那一定是很难而且容易数错,如果找出其中的规律就能快捷地数出平行四边形的个数.下面是我找到的规律. 12三二厂 图3 在图2中,有lxl=l(个)个平行四边形; 在图3中,有1x(1+2)=3(个)平行四边形; 在图4中,有(l+2)(1+2)=9(个)平行四边形; 在图5中,有(l+2+3)(l+2+3)=36(个)平行四边形. 于是,就得到了这样的规律:在横排、竖排的平行四边形上分别标上从1开始的数字,那么图中平行四边形的个数就是横排数字之和乘以竖排数字之和. 运用这个规律,我们就可以轻松地数出图1中四边形的个数. 如图6,图中…     

2006年高考理科数学(山东卷)22题别解

试题已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(Ⅲ)记bn=a1n+an1+2,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+3Tn2-1=1.解(Ⅰ)由a1=2,且点(an,an+1)在f(x)=x2+2x的图象上,所以an+1=a2n+2an>0(n=1,2,3,…)所以llgg((11++aan+n)1)=lg(1lg+(12+ana+n)a2n)=2,所以数列{lg(1+an)}是以2为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{lg(1+an)}的公比为2,第1项为lg3,从而lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,即1+an=32n-1(1)因此数列{an}的通项为an=32n-1-1.由(1)得…