对《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文的商榷与补充

《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文介绍了与具有不同位置关系的两个定圆都相切的动圆的圆心轨迹随两圆位置的变化而变化,但是,当两定圆相交时,动圆与两相交定圆同时相切的位置关系应该有三种情况:与两相交定圆同时外切;与两相交定圆同时内切;与两相交定圆中的一个内切,一个外切.动圆的圆心轨迹是双曲线(特殊情况是直线)或椭圆.同时,该文标题是圆与圆锥曲线的不解之缘,为了体现圆锥曲线的"完整性",本文补充了与定直线和定圆都相切的动圆的圆心轨迹是抛物线.这样我们就可以说双曲线、椭圆、圆、抛物线都能够从圆相切而生成.     

圆与圆锥曲线的不解之缘——与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探索

与具有不同位置关系的两定圆相离、相切、相交的动圆圆心轨迹随两定圆位置的变化而变化.当两定圆C₁,C₂相离时,若动圆C与圆C₁,C₂都外切或内切,则圆心C的轨迹为双曲线;若圆C与圆C₁（C₂）外切、与C₂（C₁）内切,则圆心C的轨迹为双曲线的右（左）支;当两定圆C₁与C₂外切时,动圆圆心C的轨迹是以定点C₁,C₂为焦点的双曲线;当两定圆相交时,动圆C与两相交定圆同时相切,动圆圆心C的轨迹仍是以定点C₁,C₂为焦点的双曲线（或其中一部分）;当两定圆内切或两定圆内含时,动圆C的圆心的轨迹是以定圆圆心C₁,C₂为焦点的椭圆或一条射线.     

巧用圆锥曲线定义解题例说

解析 显然，与两圆都外切的动圆的圆心的轨迹，满足动圆的圆心到两个定圆的圆心的距离的差的绝对值是常数(即|r1-r2|)．因此动圆心的轨迹一定是双曲线．又两定圆外离，故动圆心的轨迹是双曲线的一支。     

动圆心的轨迹方程

本文主要研究动圆与两定圆相切时,动圆心的轨迹问题.动圆与两定圆均相切,须分:动圆和定圆均内切、动圆和定圆均外切、动圆与定圆F1外切而与定圆F2内切、     

一组轨迹题的推广和引伸

在数学复习中,常碰到如下一组轨迹题:“根据椭圆、双曲线、抛物线的定义,说出下列动圆圆心的轨迹:(1)A是定圆内的一个定点,动圆过A且同定圆相切;(2)动圆与互相外离的两个定圆都相外切;(3)动圆与一定圆相切,又同x轴相切;(4)动圆在定半圆的内部且同这个半圆内切,又同直径相切。”这组轨迹题对于复习圆锥曲线的定义是很好的。如果把它适当地推广和引伸,就能使这组题发挥更大的作用,使学生开阔视野,提高研讨问题的能力,同时,还能活跃学生的思路,增强探求知识的兴趣。本文试对以上问题作如下探讨。我们把上述问题分别作为例一、例二、例三,为节     

利用圆锥曲线的定义解题几例

例1两定圆00:扩 yZ=1和00::(x一4)2 少一9与某动圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程. 解:如图1,设动圆半径为R,圆心为M(x,刃,则】材O】~R一1,!材O,1一R一3.图1 :.}材01一}材O,}~2. 动点M到定点O与O:的距离之差是一个常数,故动回圈心的轨迹是双曲线的右半支.该双曲线的焦点O、O:在x轴上,中心是(2,0). 由Za~2得a~1.丫Ze=}00:}~4, .’.。~2.从而夕~cz一砂一3,故所求的轨迹方程为(二一:)2一省一1(二)3).犷“一~一~、--一‘3-一一~’ 例2如图2,一动国与定圆C,:(x 幻, 少一1外切,又与定圆CZ:(x一2)’ 少一49内切,求动圆圆心的轨迹方程. 解:设…     

因学生错解引发的意外探究与思考——记一次偶然的探究性学习

在复习椭圆时，让学生做题目“一动圆与圆x^2＋y^2＋6x＋5=0外切，同时与圆x^2＋y^2-6x-91=0内切，求圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．”（此题来自人教版高中《数学》第二册（上）E128例1）．同时叫了A，B两位学生在黑板上板演，学生A得出正确结果，学生B因将题目错看为动圆同时与两定圆内切，得出不同的答案．     

例谈用圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的“根”与“源” ,是建立曲线方程的基础 ,许多涉及圆锥曲线的问题若能巧用定义求解 ,往往能化繁为简 ,达到简洁明快的效果 .1　求轨迹方程例 1　已知定点Ｐ(- 4 ,0 )和定圆Ｑ :ｘ2 + ｙ2 =8ｘ ,动圆Ｍ和圆Ｑ相切 ,又经过定点Ｐ ,求圆心Ｍ的轨迹方程 .　　　　　图 1　　分析　由于相切包含内切和外切 ,而两者的数量关系又不同 ,故须分类解之 .如图 1,Ｑ(4,0 ) ,圆Ｑ的半径为 4 ,设动圆圆心Ｍ(ｘ ,ｙ) ,其半径为ｒ=｜ＭＰ｜ .外切时 ,｜ＭＱ｜ =4 + ｜ＭＰ｜ ,即｜ＭＱ｜-｜ＭＰ｜ =4 .由双曲线定义知…     

圆锥曲线的个体特征

在解析几何里,常遇到“求某动点的轨迹”、“某动点的轨迹是什么图形”一类题目,对这些题目如何作答才准确(不多不少)?为了说明这个问题,我觉得有必要引进“圆锥曲线的个体特征”的概念。 一 圆很多,两个圆全等,当且仅当它们的直径等长,我们把直径长叫做圆的个体特征。 椭圆很多,两个椭圆全等,当且仅当它们的长轴等长,短轴也等长,我们把长轴长、短轴长叫做椭圆的个体特征。     

如何求曲线的方程

求曲线方程是解析几何中的一个重要课题。如何求曲线的方程,方法较多,因题而异,有必要归纳一下在什么情况时用哪种方法。下面试举例说明之。一.如果动点运动的条件受已知的定点或定曲线限制,这时可考虑直接用动点坐标去表出限制动点运动的条件等式,即得动点的轨迹方程。例1.动圆M与定圆x~2+y~2-4x=0外切,又与y轴相切,求圆心M的轨迹方程。分析:如图1,动圆M(x,y)与定圆     

动中求静

在高考试题中,常会遇到有关动点轨迹的解析几何问题.如下题: 例一动圆与两圆扩+少~1和尹+少一sx+12=。都外切,则动圆圆心轨迹为 (A)圆。(B)椭圆。 (C)双曲线的一支。(D)抛物线。 (1993年全国高考题) 对此题,不少同学均是采用如下方法求解的.即: 解法1:由方程尹+犷二l可知,其圆心为O(0,的,半径为1. 由方程x,+夕,一sx+12=0,即(x一4)’+少2=4可知,其圆心为A(4,0),半径为2。 设动圆的圆心为M(x,刃,其半径为r,且OM与00、OA分别外切于点B、C(如图)。则IMA}一}材O}=(I MC}+】CA!)一(l MB}+}刀O}) 一(r十2)一(r+1)一1即!材月!一】材01一1(…     

对人教版新教材一道习题的探究与拓展

本文对动圆与两定圆相切、动圆过定点且与定圆相切、动圆与定圆及定直线相切时,动圆心的轨迹作了较为全面的探究,发现其轨迹类型都是直线或圆锥曲线,探究过程多次运用圆锥曲线定义、数形结合和分类讨论的方法．     

有奖解题擂台（126）

<正>问题大家知道,轴承中有两定圆同心,一系列圆(钢珠)分别与大小定圆内切外切,若这些相邻的圆(钢珠)外切,则切点共圆.若两定圆内含但不同心,一系列圆分别与大小定圆内切外切,若这些相邻的圆外切,则切点亦共圆.若两定圆外离,一系列圆(称其动圆)分别与两定圆均外切,且这一系列圆中     

一道值得研究的课本习题

题目:与两圆x2 y2=1及x2 y2-8x 12=0都外切的圆的圆心在( ). (A)一个椭圆上 (B)双曲线的一支上 (C)一条抛物线 (D)一个圆上 这是人民教育出版社编辑的全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)复习参考题八A组第4题.由双曲线的第一定义可知,动圆圆心到两定圆圆心距离差为1(小于两定圆圆心间距离)的点的轨迹是双曲线,故正确答案应为(B).做完此题后,很多学生都有一种意犹未尽的感觉,双曲线的右支哪儿去了?其实答案并不难,同学们经过讨论可知,只要把条件中的外切改为内切,就会得到双曲线的右支.     

有心圆锥曲线的一组性质的补充与推广

张淑萍在《中学数学教学参考》1999年第 9期《有心圆锥曲线的一组性质》一文中给出了有心圆锥曲经的一组性质 (如图 1所示 ) :性质 1:若双曲线 C1 的弦 PQ和实轴 A′A所在直线垂直 ,则直线 A′P与直线 AQ的交点的轨迹是以已知双曲线 C1的实轴为长轴 ,虚轴为短轴的椭圆 C2 (以下简称椭圆 C2 ) .性质 2 :若双曲线 C2 的弦 PQ和实轴 A′A所在直线垂直 ,则直线 A′P与直线 AQ的交点的轨迹是以已知椭圆的长轴为实轴 ,短轴为虚轴的双曲线 C1 (以下简称双曲线 C1 ) .性质 3:若双曲线 C1 上任意一点与两顶点 A′,A的连线与椭圆 C2 相交于…     

动圆圆心的轨迹归类例析

求轨迹或轨迹方程是解析几何中的一个重要问题,而求动圆圆心的轨迹(或方程)贯穿于整个解析几何之中,其轨迹既可以是直线和圆,也可以是圆锥曲线.通过对这类问题的学习,可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的定义和性质,帮助学生理清各种多变的动圆圆心的轨迹情形,做到心中有数,胸有成竹.1轨迹是直线若动圆与一定直线相切,且半径为定值时,圆心的轨迹是二条直线.例1一个动圆与直线x+y=0相切,且半径为2,则动圆圆心的轨迹方程是.分析根据直线和圆相切及点到直线的距离公式,不难得到动圆圆心的轨迹方程是y=x±2.2轨迹是圆若动圆与二个给定的同心圆中的…     

利用转化思想巧解圆锥曲线问题的几点思考

<正>一、利用定义陌生问题熟悉化圆锥曲线问题涉及的概念、定义比较多,只有深刻理解、运用这些基本概念,才能真正把握解题途径,实现陌生问题熟悉化。例1如图1,已知定圆C_1:x²+y2+y²+4x=0,圆C_2:x2+4x=0,圆C_2:x²+y2+y²-4x-60=0,动圆M与定圆C_1外切,与定圆C_2内切,求动圆的圆心M的轨迹方程。     

对椭圆中一个问题的深入探究

1.问题及其解决在许多数学资料中都有这样一道关于椭圆的题目：求证：以椭圆的任一焦半径为直径的圆与大辅助圆（以长轴为直径的圆）相切.证明：如图1,设椭圆的两焦点分别为点F、F＇,中心为点O（点O亦为大辅助圆的圆心）,其长轴长为2a（a亦为大辅助圆的半径     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点Ｆ1 、Ｆ2 在直线ｌ的同侧 ,点Ｆ′1 和点Ｆ1 关于直线ｌ轴对称 ,点Ｐ在直线ｌ上 ,则 ｜ＰＦ1 ｜ + ｜ＰＦ2 ｜≥｜Ｆ′1 Ｆ2 ｜(如图 1) .(证明略 )定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值 (1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;(2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;(3 )大于长轴长 ,则直线与椭圆相离 .图 1　…     

椭圆、双曲线焦点三角形的性质及应用

设F1，F2为椭圆或双曲线的两个焦点，P是椭圆或双曲线上一点(长轴或实轴端点除外)，则称△PF1F2为此椭圆或双曲线的焦点三角形．