对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

一道三角题的别证

《上海中学数学》1995年第3期“数学问题与解答”栏中给出了如下一道问题: 已知α、β、γ为锐角,且sin~2α sin~2β sin~2γ=1。 求(cosα cosβ cosγ)/(sinα sinβ sinγ)的最小值。 本文给出此题的两个简捷解法,供参考。     

一个三角形函数最值的行列式解答

题若α,β,γ∈R,求u=sin(α-β) sin(β-γ) sin(γ-α)的最大值和最小值.在本刊2006年第1期第40页上,应用4元均值不等式给出了该题的一种初等解法,其实,逆向利用行列式,可以给出该问题的一种巧思妙解.解u=sinαcosβ sinβcosγ sinγcosα-cosαsinβ-cosβsinγ-cosγsinα=sinαcosα1sinβcosβ1sinγcosγ1,构造点A(sinα,cosα),B(sinβ,cosβ),C(sinγ,cosγ),则|u|=2S△ABC. 1很明显,上面的三点A、B、C都在单位圆:x2 y2=1上.因为圆内接三角形,以正三角形的面积为最大,所以当△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值343,于是|u…     

公式cosθ=cosα·cosβ的应用

若平面的一条斜线与这个平面所成的角为α，平面内的一条直线与这条斜线及其射影所成的锐角(或直角)分别为θ及β．则有cosθ=cosα·cosβ。     

长方体内的三角不等式链

命题(一) 如果长方体的对角线与共顶点的三条棱所成角为α、β、γ,那么(i)sin~2α sin~2β sin~2γ=2     

也谈一道俄罗斯数学竞赛题的新证法

《中学数学月刊》1998年第5期刊登了陶明斌老师的文章《一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法》,文中给出证法十分简捷。本文利用重心坐标公式给出一种更简捷的证法。 题目 已知α,β,γ夕,满足不等式sinβ Sinβ Sinγ≥2,试证:cosα cosβ cosγ≤√5。(第21届俄罗斯中学数学竞赛第四阶段十一年级第5题) 证 如图所示,显然点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)C(cosγ,sinγ)都在单位圆x~2 y~2=1上, 由三角形的重心     

例说构造多面体证明不等式

依照某种方式构造出适合条件的多面体,把不等式中的数量关系直接显现在图形中,借助于几何图形的性质,往往能获得独特、新颖、简捷的证题途径.[例1] 若α、β、γ均为锐角,且sin2α+sinβ+sin2γ=2,求证tanα tanβ tanγ≥2 2~(1/2). 简析本题从数的角度考虑,不易找到思路,若根据题设结构特征,构造长方体,探求思路,可使证明一举成功.     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]中有这样一个不等式 :(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2(a b c) 2 <π24 .①其中 ,a、b、c为三角形三边长 ,α、β、γ分别为a、b、c所对的内角 .本文给出一种简单证法 .首先给出两个引理 :引理 1　aα bβ cγa b c <π2 .引理 2　若x∈ 0 ,π2 ,则tanx > .引理 1、2的结论易证 .下面证明不等式①成立 .式① (bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2<π24 (a b c) 2 .由引理 1知(aα bβ cγ) 2 <π24 (a b c) 2 .故要证式①只须证(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ-bα) 2　 ≤(aα bβ cγ) 2 α2 (…     

灵活运用二元均值不等式两例

很多常见的不等式证明问题,都可以灵活地运用二元均值不等式x y≥2√(xy)~(1/2)(其中x,y∈R~ )方便地解决。这里借用文[1]的两个较复杂的例子,说明其运用技巧。 例1 设α,β,γ均为锐角,且 sin~2α sin~2β sin~2γ=1, 求证:sin~3α/sinβ sin~3β/sinγ sin~3γ/sinα≥1。 这是文[1]中的例4,此处直接用二元均值不等式简证如下:     

2004年高考数学（省市卷）试题分章选解（再续）

第九章　直线、平面、简单几何体一、选择题1 .[北京 ,3 ]设m、n是两条不同的直线 ,α、β、γ是三个不同的平面 ,给出下列四个命题 :①若m⊥α ,n∥α ,则m⊥n ;②若α∥β ,β∥γ ,m⊥α ,则m⊥γ ;③若m∥α ,n∥α ,则m∥n ;④若α⊥γ ,β⊥γ ,则α∥β.其中正确命题的序号是 (　　 ) .A .①和②　B .②和③　C .③和④　D .①和④2 .[重庆 ,文 8]设不同直线m、n和不同平面α、β ,给出下列四个命题 :①α∥βm α m∥β ;　　② m∥nm∥β n∥α ;③ m αn β m、n异面 ;④α⊥βm∥α m⊥β.其中假命题有 (　　 ) .A .0个　…     

斜线与平面所成角的一个性质及应用

求斜线和平面所成角的问题，历来都被考试命题所青睐．它是教学的重点，也是一个难点．解决这类问题的“三步曲”是，作角、证角、计算，其中作角是关键．解题时常会因判断不准，作角位置不正确，导致解题失败．本文介绍一个斜线和平面所成角的性质，可避免作角、证角的麻烦，而使问题顺利解决．定理　经过一个角的顶点，引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边的夹角为α、β，这个角为γ，那么这条斜线与平面所成的角是δ＝ａｒｃｃｏｓｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β－２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎγ．图１证明　如图１，∠γ所在…     

两个新的三角函数恒等式及其应用

定理　设α、β、γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ ( β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ (γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 1)ｓｉｎαｓｉｎ ( β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ (γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 2 )证明　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγ ,(ａ)ｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ . (ｂ)由 (ａ)、 (ｂ)两式可得ｘｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(γ - β) ,(ｃ)ｙｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(α -γ) . (ｄ)　　将 (ａ)式两边同乘ｓｉｎ (α - β)后 ,再将(ｃ)、 (ｄ)两式代入即得 ( 1) .将 (ｂ)式两边同乘ｓｉｎ (…     

四面体中的三个定理及其应用

众所周知,在三角形中有正弦定理、余弦定理、射影定理,它们揭示了三角形中边角间的重要关系.这三个定理联系紧密,并可互相推出.在四面体中,也有类似的三个定理,它们表示了面角与二面角之间的关系,当然也可彼此互推. 在四面体O-ABC中,设三个面角分别为α、β、γ,对应的二面角分别为θ-α、θ-β、θ-γ,（如图1）则有 定理1 cosα=cosβ·cosγ sinβ·sinγ·cosθ_α cosβ=cosα·cosγ sinα·sinγ·cosθ_β cosγ=cosα·cosβ sinα·sinβ·cosθ_γ 证明 利用有关射影的定理:（1）平面上折线的各边射影之和等于封闭线段在射影轴上的射影.（2）直线在轴上的垂直投影等于被投线段的长度乘以该线段和轴的交角的余弦.     

与角有关的不等式的一种证明方法

本文拟给出证明有关角的不等式问题的一种简捷独特的方法,作为对文[1]和[2]的一点补充。方法要点:利用题中已有的角,造出三个正角α、β、γ而α+β+γ=π,便得到一个(以α、β、γ为内角的)三角形;结合题设并在此三角形中运用有关结论实现两个转化:由三角函数关系转化为边的关系;再由边的关系转化为角的关系,从而得到要证的角的不等式。兹举例来说明。例1 已知α、β为锐角,且sin(α+β)=2sinα,求证:α<β。证:∵α、β为锐角,∴π-(α+β)>0且α+β+[π-(α+β)]=π。于是α、β、π-(α+β)可作为一个三角形的三内角,设其对边长分别是a、b、     

一道第三届世界数学锦标赛团体赛试题的研究

正题目已知α,β,γ∈(0,π/2),且sin~2α+sin~2β+sin~2γ=1,求sinα+sinβ+sinγ/cspα+cosβ+cosγ的最大值.这是一道第三届世界数学锦标赛(青年组)团体赛的第8题,本文先给出问题的解,然后从一题多变的角度给出问题的多种变式,给同学们参考.     

运用整体思想处理三角问题

一、整体代入　解某些涉及若干个量的求值题时要有目标意识 ,将题中一些已知式子视作一个整体代入运算 ,可以避免非必求的量参与运算所带来的困难或麻烦 .例 1　已知ｔａｎαｃｏｔβ =5,求ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β)的值 .解 :∵　ｔａｎαｃｏｔβ =5,∴　ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β) =ｓｉｎ(α+ β)ｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎαｃｏｓβ +ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎαｃｏｓβ -ｃｏｓαｓｉｎβ=ｔａｎαｃｏｔβ + 1ｔａｎαｃｏｔβ - 1=32 .二、整体变形　对于某些问题 ,只是静止地观察整体 ,或许仍然不能取得满意的效果 ,若作整…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）

一、选择题 :每小题 5分 ,共 40分 .1.设全集是实数集R ,M ={x| -2≤x≤ 2 },N ={x|x <1},则M∩N ,等于 (　　 ) .(A) {x|x <-2 }　　 (B) {x| -2 相似文献   

一道“希望杯”三角题的3种解法及推广(高二、高三)

题已知α、β、γ、均为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,则cotα·cotβ·cotγ的最大值等于 (13届“希望杯”高二2试)     

巧用三角命题证明代数等式

在三角中有这样一个命题,若α β γ=kπ,k∈Z,则tgα tgβ tgγ=tgαtgβtgγ。现利用这一命题证明一个代数等式。 题 求证:(a-b)/(1 ab) (b-c)/(1 bc) (c-a)/(1 ca)=(a-b)/(1 ab)·(b-c)/(1 bc)·(c-a)/(1 ca)(a、b、c∈R) ①。     

一个三角不等式及其推广

题 已知α、β为正数,且 α β≤π.求证:sin~2α sin~2β sin~2(α β)/2这是1993年国家教委数学试验班试题中的第2题.笔者经过研究,发现了一个与①式非常类似的三角不等式.现把它介绍如下: