探究运用三角函数对称性、奇偶性解题

一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a²+b²）^1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a²+1）^1/2(sin2x·1/（a²+1）^1/2+cos2x·a/（a²+1）^1/2)=（a²+1）^1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a²+1）^1/2,cosφ=     

高考三角函数综合试题考点解析

三角函数以其基础性、工具性、综合性等特征而成为高考的重点内容.根据近年高考新课程卷的分析研究,不难发现下面考点是每年高考的重点内容,预计它们还是今后高考命题的首选题材.下面探求这几类考点及其求解策略.考点1　三角函数概念与性质应用问题例1　(2003年新课程卷文科高考题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π4,0)对称,且在区间[0,π2]上是单调函数,求φ和ω的值.解析:一般地,函数y=f(x)(x∈R)的图象自身关于点(h,k)对称f(h+x)+f(h-x)=2k(或f(x)+f(2h-x)=2k);f(x)(x∈R)的图象关于直线x=h对…     

三角函数的周期与等差数列

我们知道,三角函数是周期函数.正弦函数的周期是2π,正切函数的周期是π.函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,x∈R)的周期是2πω,函数y=Atan(ωx+φ),x≠kπω+π2ω-φω(其中A>0,ω>0,k∈Z)的周期是πω.余弦函数与余切函数有类似的结论.这些函数的周期与等差数列有何关系呢?性质1一条平行于x轴的直线y=m(m为常数)与函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0)的图象相交,则(1)如果直线y=m(m为常数)交于函数图象的最高(或最低)点,则n个周期内有n个或n+1个交点,任意区间内的交点(不少于3个)的横坐标顺次构成等差数列,等差数列的公差就是函数周期…     

三角函数

试题1(安徽卷,理科第6题)将函数 y=sin ωx(ω>0)的图象按向量 a=(-π/6,0)平移,平移后的图象如图1所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ).A.y=sin(x+π/6)B.y=sin(x-π/6)C.y=sin(2x+π/3)D.y=sin(2x-π/3)试题特点:已知三角函数图象求解析式是高考中的常考题,但本题又结合向量知识使得试题更加综合化、更加灵活化,难度进一步加深,当然入口也更宽.     

怎样求初相角

求初相,要根据具体条件而定,大体有以下思路.1.利用图象与函数式间的联系例1已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)图象的一个最高点(2,(?)),由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6,0),求φ的值.     

剖析三角函数图象中的五种常见错误

一、求函数解析式时忽视作图法而致错例1函数y=3sin(ωx φ)(ω>0,φ[0,2π))的图象如图所示,试求函数y=3sin(ωx φ)的表达式.错解:由图象知,周期T=2!56π-π3"=π,所以ω=2Tπ=2,即y=3sin(2x φ),而当x=π3,y=0,即0=3sin(2×π3 φ),得23π φ=kπ(k Z),取k=0时,φ=-23π(不合题意);取k=1时,φ=π3;取k=2时,φ=43π,故所求的函数表达式为y=3sin(2x π3)或y=3sin(2x 43π).剖析:在利用“五点作图法”画函数图象时,图象中五个关键点的横坐标自左到右分别是由ωx φ取0、π2、π、32π、2π解得的.三个函数值为零的点自左到右对应的ωx φ…     

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=     

确定函数y=Asin(ωx+φ)中φ角的策略

根据函数y=Asin(ωx φ)的图象求解析式是教学中的一个难点问题,困难在于如何根据图象准确地确定角φ的值.本文从不同角度来研究这个问题.问题如图1,试写出图1所示函数y=Asin(ωx φ)(A>0,w>0)的解析式.错解∵A=2,T=1112π--1π2=π,ω=2Tπ=2,∴y=2sin(2x φ).又∵图象经过点-     

三角函数最值的几种求法

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…     

研究怎样求三角函数的角与解析式提高解题能力

一、求有关角例1如图1,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的一段图象,试求它的一个解析式.解由图象易见它的振幅A=2.又由周期T=2π/ω=2(5π/4-π/2)=3π/2,得ω=4/3.此时已得到y=2sin(4/3x+φ)(*).以下是求初相角φ的几种不同方法.方法1(直接代点法)图象过点(π/2,0),可直接把这点坐标代入式子(*)中,有sin(2π/3+φ)=0.但注意到点(π/2,0)是在图象递减的那段上,故有2π/3+φ=2kπ+π(k∈Z).又题目中要求|φ|<π/2,故上式可取k=0,得     

一道三角函数问题的错解分析

题目右图是函数y=Asin(ωx φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象.由图中条件,写出该函数的解析式.错解:由图知A=5.由2T=52π-π=32π,得T=3π.∴ω=2Tπ=32.∴y=5sin32x φ,将(π,0)代入该式得5sin23π φ=0,解得23π φ=kπ,φ=kπ-23π(k∈Z).由|φ|<π,得φ=-23π或φ=3π.∴y=5sin     

能力小题训练4——三角函数

一、选择题(每小题5分,共60分)1.log2sin1π2 log2cos1π2的值为().A.4B.-4C.2D.-22.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得线段长为4π,则f4π的值是().A.0B.1C.-1D.4π3.将函数y=sin2x-4π的图象按向量a平移后得到函数y=sin2x的图象,则向量a可以是().A.4π,0     

例谈三角函数y=sin(ωx+φ)中对称轴类问题的解题方法

由于三角函数y=Asin(ωx+φ)是由正弦函数y=sinu和一次函数u=ωx+φ复合而成的,而正弦函数y=sinu的对称轴是u=kπ+π/2(k∈Z),它的对称轴总是经过图像的最高点或者最低点.所以解决函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴问题应从正弦函数的对称轴方程或函数关于直线对称的性质着手寻找解题思路.     

正弦曲线轴对称问题的解法综述

有关正弦曲线y=Asin(ωx+(?))的对称问题,是高考及其他考试的热点问题.本文通过一例对正弦曲线的轴对称问题的解法,加以归纳总结,供参考.例题:已知函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π/6对称,求a的值.本题的常规思路是利用辅助角公式,化成     

由三角函数的图像求解析式

例1图1所示的是正弦函数y=2sin(棕x+φ)(｜φ｜≤π2)的一段图像,则A.棕=1011,φ=π6B.棕=1011,φ=-π6C.棕=2,φ=π6D.棕=2,φ=-π6解析图像给我们的第一个信息是:它是由y=2sin棕x的图像向左平移而得到的.因此φ>0,排除了B、D.由｜φ｜=π6,可知y=2sin棕x的图像棕向左平移了π6棕个单位熏∴周期T=1112π+π6棕,由1112π+π6棕=2π棕得,棕=2.选C.例2如图2所示,已知x缀(0,2π),函数y=Asin(x+π4)与函数y=sin(2x+φ)的图像有一个相同的最11π12yxO2-2图1高点,那么A=________,φ=_________.解析两个函数图像的最高点相同,因此A=1.又因为y=…     

y=Af(ωx+φ)+B型函数的变换作图及原理

y =Af (ωx +φ) +B型函数是高中数学中最普遍的一类初等函数 ,其图象可由基本初等函数 y =f ( x)的图象经过平移和伸缩变换得到 ,从而为把握这类函数图象的基本特征、数形结合解决问题提供“形”的基础 .下面就平移与伸缩变换的实质 ,以及变换程序的改变对变换的量的影响作一些必要的分析 .一、经验总结我们已经知道 ,课本利用三角函数的周期性和“五点法”作出了函数 y =3sin( 2 x +π3)的图象 ,并通过观察、比较和分析 ,总结出了“函数 y =Asin(ωx +φ) ,( A>0 ,ω >0 ) ,x∈ R的图象可以看作是用下面的方法得到的 :先把 y =sinx图象…     

浅谈正(余)弦函数单调性的应用

<正>三角函数一直以来都是高考的重点,而正弦函数y=Asin(ωx+φ)或余弦函数y=Acos(ωx+φ)是三角函数中较为常见的形式。正弦函数的单调性主要可分以下两种情况来讨论:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把(ωx+φ)看作一个整体。比如:由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间;由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2     

揭示一般规律 深化例题教学

教材例题的配置,不仅仅是通过例题来训练与检查学生对所学知识、方法的掌握程度,还有一个更重要的作用,就是它能揭示一般规律,提高学生的应变能力与思维品质.教学中,如何真正、全面发挥例题的教育、教学功能?本文以函数y=Asin(ωx±φ)的图象为例,谈谈函数图象的初等做法.1.由函数y=Asin(ωx±φ)(A,ω,φ非负常数)的图象谈起.高中《代数》的三角函数中,教材以三类函数y=Asinx,y=sinωx,y=sin(x±a)为例,采用描点作图的基本方法,得到这三类函数的图象以及它们与y=sinx图象的关系,最后归结出函数y=Asin(ωx±φ)的图象及作法.但教学过程不…     

例说导数在三角函数中的应用

导数应用相当广泛,各类杂志已有多文介绍过它在函数、不等式中的应用,本文介绍导数在三角函数中的应用.三角函数中涉及到的最值和单调区间等都可以利用导数知识求解,利用导数求解三角函数的问题,或可避开较强的解题技巧,或可使解题思路清晰,解题过程简捷明了.1涉及到三角函数最值的问题例1已知函数y=sin 2x acos 2x图象的一条对称轴为x=-π8,求a的值.分析本题一般先化为y=a2 1sin(2x φ)的形式,然后在2x φ=kπ π2(k∈Z)中令x=-π8进而求解;或在等式f-π8-x=f-π8 x中赋值求解.由三角函数的图象可知函数在对称轴点处取到最值,利用导数知识…     

由图定φ

根据函数y=Asin(ωx φ)的图象特点,有下列几种确定φ的方法.一、最值法利用函数的最值,得一个特殊的三角方程,解得φ.例1如图1,是函数y=Asin(ωx φ) B(A>0,ω>0)的图象的一部分,求y的表达式.解:由图可见,T/2=4,T=8=2π/ω,得ω=π/4.又A=2,所以y=2sin(π/4x φ) 2.当x=-2时,ymax=4,