对一道中考试题的赏析及思考

题目 （2006 嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图1（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为y=-1/4x^2＋8,BC所在抛物线的解析式为y=1/4（x-8）^2，且已知B（m，4）.     

平移后的函数图象的解析式

一、平移后直线的解析式对于直线y＝kx与y＝kx＋b（k≠0）的关系，课本中的结论是：一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b）且平行于直线y＝kx的一条直线．理解这句话的意义，可得如下两点：（1）把一条直线平移，新旧两条直线解析式中的系数天相等；（2）若将某直线向L（或向下）平移b（b＞0）个单位，原直线与y轴的交点也相应平移b个单位，求出平移后直线与y轴交．或坐标，就可求出平移后直线的解析式．例1把直线y＋5x＋1向下平移3个单位，求平移后的直线解析式．分析直线y＝5x＋1与x轴的交点为（0，1），将此点向下平移3个单位得点（0…     

二次函数最值的实际应用

在生产实践中，经常遇到如何用最少的消耗收到最大的效益的问题，所以研究函数的最值及其应用很有必要．例１用１１６m长的篱笆围成如图１所示的三间鸡舍，门AB的宽为２m，门CD、EF宽１m，问怎样设计鸡舍，才能使它的面积最大．解：设鸡舍宽为xm，总面积为ym２．则y＝１１６＋４－４x２·x．即y＝－２x２＋６０x（０＜x＜３０）．y＝－２（x－１５）２＋４５０．当x＝１５时，y取最大值４５０．故当鸡舍宽为１５m时，面积最大．例２如图２，正方形EFMN的四个顶点在正方形ABCD的四条边上，已知AB＝１，问正方形EFMN的面积最小时，EF…     

求对称曲线方程的简便方法

定理1：曲线f（x,y）=0关于点P（x0,y0）的对称曲线方程是f（2xo-x,2yo-y）=0． 证明：设A（x1,y1）为曲线f（x,y）=0上任一点。则f（x1,y1）=0．     

巧用过交点的曲线系方程解题

设二曲线方程分别为C1：f（x,y）=0,与C2：g（x,y）=0,则过二曲线C1、C2交点的曲线系方程为：f（x,y）＋λg（x,y）=0（不含曲线g（x,y）=0）。利用这一方程解答直线与圆的有关考题,可化拙为巧、化难为易。例1 求过二直线l1：3x＋4y-5=0和l2：2x-3y＋8=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程：     

第2课时 二次函数图象及其应用

知识梳理 1．二次函数图象的平移规律：二次函数y=a（x＋h）^2＋k的图象是由二次函数y=ax^2的图象向左（或向右）平移｜h｜个单位,再向上（或向下）平移｜k｜个单位得到的．具体移动规律如下表所示．     

2013年南通市中考数学第28题赏析

原题呈现 如图1,直线y=kx＋b（b ＞0）与抛物线y=1/8x2相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS＋32 =0.（1）求b的值;（2）求证：点（y1,y2）在反比例函数y=64/x的图象上;（3）求证：x1·OB＋y2·OA=0.     

直曲相交后的一个有用命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0，分别消去y,x，得u（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等），则以线段AB为直径的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.[第一段]     

言简意赅 稳中出新--2010年高考数学重庆卷理科第15题亮点

题目：已知函数f（x）满足：f（1）=1/4,4f（x）f（y）=f（x＋y）＋f（x-y）（x,y∈R）,则f（2010）=____ 亮点1：取材考究,生成自然．     

一道课本习题的推广及其应用

人教版教材高二数学（上）第119页有这样一道习题：过抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p^2．这个命题可推广如下：已知抛物线y^2=2px（p〉0）及点E（a，0）（a〉0），过点E的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点。求证：y1y2=-2ap．     

圆锥曲线几类问题的简明解法

一、有关圆锥曲线中点弦的斜率问题此类问题常设弦的两端点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）,分别代入圆锥曲线方程后,设法变换出表示弦的斜率的式子,从而使问题获解。例：已知直线L交椭圆于M、N两点,B（0,4）为椭圆与y轴正方向的交点。若△BNM的重心恰重合于椭圆的右焦点．试求L的方程如（图1）分析：解答本题的关键是求点P的坐标和前线L的斜率。注意到P是MN的中点,因此这是一个与中点弦斜率有关的问题。P（3,－2）,设M（x1,y1）,N（x2,y2）代入椭圆方程后相减：4（x1＋x2）（x1－x2）＋5（y1＋y2）（y1－y2）＝0L的方程为…     

奇型Dirac算子的谱

记B（x）=（0 1 -1 0 ）,Q（x）=（-p（x）0 0 -r（x））,y（x）=（y1（x） y2（x））其中p（x）,r（x）是[0,∞]上的实值连续函教．本文研究下述的奇型Dirac特征值问题：B（x）dy/dx＋Q（x）（y1 y2）=λy……（1） y1（0）sinα＋y2（0）cosα=0,y∈L^2（0,＋∞） ……（2）它等价于一个微分算子的特征值问题,本文由奇型Dirac算子的parseval公式出发,推导证明了parseval反演公式：     

重庆卷（理）第20题

题目 已知以原点O为中心,F（√5,0）为右焦点的双曲线C的离心率e=√5/2. （Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; （Ⅱ）如图,已知过点M（x1,y1）的直线l1：x1x＋4y1y=4与过点N（x2,y2）（其中x1≠x2）的直线l2：x2x＋4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交于G,H,求△OGH的面积．     

数学知识记忆的方法

1．编制顺口溜 例1 （1）设向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）, 若a∥b,则x1y2-x2y1=0; 若a⊥b,则x1y2＋y1y2=0． 可编出这样的顺口溜：两向量平行,交叉相乘差为零;两向量垂直,对应相乘和为零．     

例谈共交点曲线系方程的应用

我们熟知下述结论：若曲线C1：f1（x,y）=0与曲线C2：f2（x，y）=0有公共点P（x0，y0），则方程f1（x,y）＋λf2（x,y）=0的曲线也过点P（不包括曲线C2）（详见人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学教科书（必修）第二册（上）P．99）．     

一道课本练习题的推广与应用

高中数学人教版第二册（上）第119页有这样一道练习题：过抛物线y^2=2px（p〉0）的焦点,的一条直线AB与抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证：y1,y2：-P^2．     

不要小看反比例函数

函数y=1/x在区间（-∞,0）和（0,＋∞）上单调递减,其值域为{y/y：f=0},对称中心为（0,0）．对一般结构形式的函数y=1/x-a＋b,由图象平移知识可得其对称中心为（a,b）．     

一道习题的变式

习题：过圆x2＋y2=r2（r〉0）上一点P（x0,y0）的切线方程为_________．解法1（利用△）：当切线斜率存在时,设切线方程为：y-y0=k（x-x0）,联立x2＋y2=r2（r〉0）可得：（1＋k2）x2＋（2ky0-2k2x0）x-2kx0y0＋k2x02＋x02=0．     

一道猜想不等式的纠正

文[1]中提出了一个优美的猜想：设实数λ,x,y,z满足：-1〈λ〈1,λx,λy,λz都不等于-1,且xyz=1,则（x2）/（（1＋λx）2）＋（y2）/（（1＋λy）2）＋（z2）/（（1＋λz）2）≥3/（（1＋λ）2）笔者经过研究发现该猜想存在错误.利用极限检测法：当x-＋∞,y、z-0时,     

二重积分对称性的应用

在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋1 解 由于积分区域D关于x…