略谈“点的投影”在制图教学中的作用

点是最基本的几何要素，任何几何图形均可看作点的组合。例如：经过两点可定一条直线；不在同一条直线上的三点可确定一个平面；过一直线和直线外一点可组成一个平面；一平面和不在平面上的一点可构成一立体，等等。故点的投影是投影作图的基础。但也有人认为：点的投影与形状表达无多大关系，点的投影教学较为抽象，学生不易掌握，很难运用。本人经过多年的制图教学，从实践中体会到点的投影在制图教学中至少有下述五个方面的作用。 　　一、“点的投影”能培养学生空间想象能力及思维能力。要能识图、制图，这种能力是不可缺少的。 　　1.…     

向量与空间想象能力（续）

三垂线定理及其逆定理：平面外的一条直线l,在平面a的投影内的射线为l’,直线aСa,     

“直线投影”教学思考

为较好地完成“直线投影”教学,我严格遵循教学大纲,按照科学的教学方法,正确引导和把握学生学习的心理活动,采取切合实际的方式,使学生避免机械性学习。在教学实践中我认识到,让学生掌握各种具体知识无疑是重要的,而培养学生的分析问题和解决问题的能力更为重要。明确直线与其他要素之间的关系直线要素并不是孤立存在的,它与其他几何要素有着密切联系。一条直线可看成是由若干点集合而成,由直线可以构成面,由面围成体,再进一步形成类似机器零件的形体。也正基于空间的任意一条直线的投影可看作若干点的集合,因此要作一直线的投影,只要作出…     

太阳能电池板直线检测的切空间角度投影方法

为实现对太阳能电池板边缘直线的快速检测,文章提出基于切空间的角度投影方法.对太阳能电池板进行预处理,得到边缘信息,将其边缘特征进行切平面表示.在切平面内,直线表示成一条水平线,且该水平线的角度为直线的偏转角度.对切空间特征进行角度方向投影之后,该水平线上的点大量聚集,产生一个峰值点,该峰值点对应于原始直线.由此实现了对太阳能电池板边缘直线的定位.实验表明该方法速度快,抗噪能力强,精确度可达到97%.     

从近世几何看欧氏几何

<正>1 仿射变换在仿射交换下,图形的形状、大小等发生了变化,但仍然有很多性质不会改变,这些性质叫仿射性质.例如,若我们垂直地面插两根平行的竹杆、发现它们的影子仍然平行.即保持图形的平行性不变.还会发现这两平行竹杆的长度之比值和它们的影子的长度之比是相等的,即保持平行线的比值不变.如果把园柱面上的直线看成光线,用两个平面去截园柱面得到的截线是园或椭园,因此园在平行投影下得到椭园,且园的中心投影成椭园中心,园原两条垂直直径投影成椭园的两条共轭直径.另外,仿射变换还使点变成点,直线变成直线;点在某直线上,点的影子仍然在这直线的影子上,即点线的结合性不会改变;共直线的点变成共直线的点,共点的直线变成共点的直线等.     

射影法在立体几何中的应用

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到某个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量(如平面的法向量)上,有时会起到意想不到的解题效果．     

射影法

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到一个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量（如平面的法向量）上,有时会收到意想不到的效果．     

“射影证法”的改进

贵刊1988年第七期发表了郑必建同志的《比例线段的射影证法》一文,阅后颇受启发。但他所采用的垂直射影的特殊辅助证法,我认为可用更一般的射影手法,以避免在平几证题中添置过多的辅助线。该文所述的方法是:先作一条不与比例线段所在直线垂直的直线l,再将有关的点、线段垂直投影到l上,形成满足平行线截线段成比例定理之条件,使命题得以证明。例如,美耐劳斯定理: 直线     

求异面直线间距离的一种方法——化为求点到直线的距离

将空间问题转化为平面问题,是研究立体几何的常用方法.求两条异面直线间的距离,就可用这个思想方法.如图(1)a,b为异面直线,过a上任一点O作平面α⊥a,β⊥a。并与α交于b＇,则α∥β,故a,b间的距离即为α与β间的距离。在平面α内作OB⊥b＇于B,则OB即为直线a,b间的距离。所以要求异面直线a,b间的距离,只要将a,b正投影到与a垂直的平面α内,     

画法几何学中直线、平面分类方法浅议

现行画法几何学教科书中关于直线、平面的分类方法如下;在三投影面体系中,除去一般位置直线外,都是特殊位置直线。特殊位置直线根据其对投影面的相对位置不同,可以分为两类:平行于一个投影面的直线;垂直于一个投影面的直线。……平行于一个投影面的直线,统称为投影面平行线。平行于 H 面的直线,称为水平线。……垂直于投影面的直线,统称为投影面垂直线。垂直于一个投影面的直线必同时平行于另两个投影面,垂直于 H 面的直线,称为铅垂线;……以铅垂线为例,按定义它垂直于 H 面,同时必平行于 V 面和 W 面,它是正平线和侧平线的特例。     

用重影线法求解一般位置直线与平面立体的贯穿点

本文提出了用重影线法求解一般位置直线与平面立体的贯穿点并判断可见性的新方法.它是对两条直线在某投影面上发生重影的现象进行分析,从空间角度认识其几何位置,由此得出重影线的定义,并将其加以扩展,利用到求解一般位置直线与平面立体的贯穿点的问题,可以很快得出贯穿点并判断可见性.     

一类问题的解法

在学生学过“图形的投影”后，知道了平行投影可分为正投影和斜投影，而且无论是正投影还是斜投影都具有保持比值不变的性质，即在同一直线（或平行直线）上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比（其根据是平行线分线段成比例定理，下同）．又因为在平面直角坐标系中，用正投影的方法来确定点的横（或纵）坐标，所以在该坐标系中，同一直线（或平行直线）上两线段之比等于其端点的横（或纵）坐标之差的比．     

处理加速度不在一条直线上的连接体问题

物理练习中经常出现连接体各部分物体加速度不在一条直线上,学生处理这样的问题往往找不到方法.其实可以将连接体中各部分物体加速度不在一条直线上的模型看成是加速度在一条直线上模型的变形,同样用整体法     

对一道期末试题的拓展研究

<正>2016年《数学思维训练》期末考试最后一题:18.(1)我们熟知平面上一条直线将平面最多分成1+1=2个部分,2条直线将平面最多分成1+1+2=4个部分,3条直线将平面最多分成1+1+2+3=7个部分,…,n条直线将平面最多分成_个部分。     

一道解析几何习题的探讨

在空间解析几何中,由于直线的表示方式不同,因而解题思路、解题方法也不同,就形式而言,得到的结论也不同。如何用最简便、灵活的方法得到正确的答案？应从已知条件思考、推敲,从而选择捷径。下面根据“求直线Z＝1上的投影直线方程”一例给出几种解法。首先要弄清几个概念：1．解题前应先弄清投影的概念。空间一点A及轴U,我们通过点A作轴U的垂直平面a,那末平面a与轴u的交点A’叫做点A在轴U上的投影。向量AB的起点A和终点B在轴U上的投影分别为A’和B’,那末轴上的有向线段A’B’的值A’B’称为向量AB在轴11上的投影。直线在…     

向量与空间想象能力(续)

4 三垂线定理与空问向量三垂线定理及其逆定理:平面外的一条直线 l,在平面α的投影内的射线为 l′,直线 aα,若a■l',则a■l;(三垂线定理)若     

一类“线段比”问题的解法

<正>在学生学过"图形的投影"后,知道了平行投影可分为正投影和斜投影,而且无论是正投影还是斜投影都具有保持比值不变的性质,即在同一直线(或平行直线)上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(注:其根据是平行线分线段成比例定理,下同).又因为在平面直角坐标系中,用正投影的方法来确定点的横(或纵)坐标,所以在该坐标系中,同一直线(或平行直线)上两线段之比等于其端点的横(或纵)坐标之差的比.以此类推,若建立平面斜角坐标系,并根据斜投影的方法来确定点的横(或纵)坐标,则在该斜角坐标系中,同一直线     

投影原理在立几问题中的妙用

在解答立体几何题时,有时需要添加辅助线.例如,在由"线线平行"推导"线面平行"时,首先要在平面内找到一条直线与平面外的已知直线平行,这里的关键就是如何添加平面内的这条辅助线.很多学生碰到这类问题会茫然无措,无奈之下只能乱画乱连,解题纯粹靠运气.通过研究高中数学教材必修2,笔者发现,几乎所有关于"线面平行"需添加辅助线的问题,都可以用"投影原理"来解决.什么是"投影原理"呢?根据教材,投影是光线(投射线)通过物体,     

直线、平面投影特性的归纳口诀

直线、平面的投影是机械制图的基础知识,也是机械制图教学中的一个难点。空间直线、平面对三个投影面的相对位置分三种类型,有七种位置。 各种类型,位置的直线,平面各有不同的投影特性。学生在学习这一部分内容时,感到各种位置直线、平面的投影特性很难记得住。但是,这一部分内容是机械制图的基础知识,在学习组合体三视图画法,特别是画较复杂的切割型组合体三视图,需要运用直线、平面的投影特性去分析切割平面的空间位置,才能快速、正确地画出组合体的三视图。 　　在教学过程中,怎样才能使学生熟练掌握和运用直线、平面的投影特…     

子午投影法应用探索

本文通过点、直线的两面投影,比较子午投影法与正投影法的异同,并以直线与回转曲面的贯穿点、两回转曲面体的相贯线投影作图为例,论证了子午投影法用于绘制复杂曲面相贯体的投影作图简便效果显著。