多条妙计智取解几压轴题

题目已知曲线C_n:x²-2nx+y²=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n,切点为P_n（x_n,y_n）.（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式;（2）证明:x₁·x₃·x₅·…·x_2n-1<（（1-x_n）/（1+x_n））^1/2<2^1/2sinx_n/y_n.     

巧用不动点求几类递推数列通项

已知数列{a_n}的递推关系式为a_n+1=f（a_n）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{a_n}的不动点,在递推式a_n+1=f（a_n）中若令a_n+1=a_n=x,则方程f（x）=x的解就是数列{a_n}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式a_a+1=f（a_n）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 a_n+1=pa_n+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

08年高考试题研究 3．全国卷Ⅰ理科第22题

题目设函数f（x）=x—xlnx,数列{a_n)满足01<1,a_n+1=f（a_n）.（1）证明:函数f（x）在区间（0,1）是增函数;（2）证明:a_nn+1<1;     

三路“大军”大破数列综合题

题目数列{a_n}中,a₁=1,a_a+1=1/2a_n²-a_n+c（c>1,且c为常数,n∈N^*）,a₃-a₂=1/8.（1）求常数c的值.（2）①证明:a_na+1;②猜想数列{a_n}是否有极限,如果有,写出极限的值（不必证明）.（3）比较（?）1/a_k与40/39a_n+1的大小,并加以证明.对于此题的（1）（2）问作答是比较容易的.在第1问中,由递推关系     

对一道高考试题的引申

本文对陕西省2009年文科高考题中的一道数列题进行引申,并给出一般性的中等数学的处理方法.陕西省2009年文科数学高考题第21题:已知数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n+2=(a_n+a_n+1)/2,n∈N*.（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n,证明,数列{b_n}是等比数列;     

一道高考试题的解法探究

2012年高考全国新课程卷理科第16题是:数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1,则{a_n}的前60项和为_<sub><sub><sub>.粗粗一看此题,似曾相识,对于递推数列问题,我们平时总结了不少,好象是a_a+1=a_n+d（n）或是a_n+1+a_n=f（n）型问题,运用叠加法,即可解决.仔细一看,发现多了（-1）ⁿ,于是没有现成的模式可套,怎么解?下面是笔者对此题解法进行探究的心路历程.     

求通项6招

1.累加法（逐差相加法）例1已知数列{a_n}满足a₁=（1/2）,aⁿ⁺¹=a_n+(1/（n²+n）,求a_n.分析一般地,可将递推公式a_n+1=a_n+ f（n）转化为a_n+1^-a_n=f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解.     

刨根问底找题源

一、以教材例题为题源高考真题1（2014年高考湖南文科卷第16题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）/2,n∈N*.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式.（Ⅱ）设b_n=2^a_n+（-1）ⁿa_n,求数列{b_n}的前2n项和.教材原型（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（1/2）n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如     

竞赛中的数列

数列在中学数学中占有很重要的地位,是数学学习的一项基本内容,本文主要介绍了数列在竞赛中的应用.例1（2001年全国高中数学联合竞赛）设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列且b₁=a₁²,b₂=a₂²,b₃=a₃²（a₁2）,又（?）(b₁+b₂+     

求递推数列的通项

数列是高中数学的重要内容,求递推数列的通项是高考的热点之一.其主要方法有归纳、累和、累积、换元、取倒数、待定系数等方法.下面通过对几个例题的解析分别介绍这几种方法.例1①已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=a_n+3,求通项;②已知数列{b_n}满足b₁=1,b_n+1=2b_n,求通项.分析:本例①为等差数列,②为等比数列,可用归纳法或迭代的方法求出其     

2012年高考数学全国新课标卷理科第16题解法探究

2012年高考数学全国新课卷理科第16题:数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1,则{a_n}的前60项和为_<sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub>。     

高考数列解答常考哪些知识点

考点1:等差数列与等比数列的综合问题高考真题1（2014年高考湖南理科卷第20题）已知数列{a_n}满足a₁=1,|a_n+1-a_n|=pⁿ,n∈N^*.（Ⅰ）若{a_n}是递增数列,且a₁,2a₂,3a₃成等差数列,求p的值;（Ⅱ）若p=1/2,且{a_2n-1}是递增数列,{a_2n}是递减数列,求数列{a_n}的通项公式.难度系数0.55     

递推数列求通项 活化思维有保障

<正>若数列连续若干项之间满足等量关系a_n+k=f (a_n+k-1,a_n+k-2,…,a_n),则称其为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列，称数列{a_n}是递推数列.例1数列{a_n}中a₁=1, a_n=a_n-1+2n-3，求该数列的通项.解析:由a_n=a_n-1+2n-3，得a_n-a_n-1=2n-3，因此有a₂-a₁=1, a₃-a₂=3, a₄-a₃=5,     

2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析

一、试题2014年高考数学课标卷试题:已知数列{a_n},满足a₁=1,a_n+1=3a_n+1.（Ⅰ）证明{a_n+1/2}是等比数列,并求{a_n}的通项公式;（Ⅱ）证明1/（a₁）+1/（a₂）…+1/（a_n）<3/2.此题设置两道小题,融数列、方程与不等式等高中数学主干知识,以及换元、放缩、数学归纳法等核心数学思想方法,逻辑推理、归纳类比等核心能力于一体,具有较强的探索性,考查学生对数学主干知识与核心思想方法的深层次理解与掌握.第（Ⅰ）小题待求结论     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.     

聚焦数列中的最值问题

数列中最值问题主要有求数列中的最大项、最小项,求数列和的最大值、最小值等系列问题.经常利用函数的思想,作差、作商比较法,基本不等式法,导数法等.一、求数列中项的最值例1已知数列{a_n}中,a_n=(n-29^1/2)/(n-30^1/2),则在数列{a_n}的前50项中最小项与最大项分别是多少?解法1:取函数f（x）=（x-29（1/2））/（x-30（1/2））,则f（x）=((x-30^1/2)+(30^1/2-29^1/2))/(x-30^1/2)=1+(30^1/2-29^1/2)/(x-30^1/2).由函数f（x）图象可知,当x∈(30^1/2,+∞)时,f（x）为单调减函数,且f（x）>1;当x∈(-∞,30^1/2)时,f（x）也为单调减     

高等数学背景下的高考命题探究——2012年全国数学高考理科卷第22题

题目设函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2≤xn相似文献   

构造新数列 巧解竞赛题

例1数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=1/（16）(1+4a_n+（1+24a-n）^1/2求a_n.分析本题的难点是递推关系式中的（1+24a_n）^1/2的处理,可构建新数列{b_n},令b_n= （1+24a_n）^1/2,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形.     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.