数学符号的发明和发展

有人说,数学是一门符号科学,事实的确如此。十五世纪,德国数学家威德曼(Widman)从表示箱子重量的符号中得到启示,把“+”“-”符号引入数学运算,“+”表示增加,“-”表示减少。“+”,“-”渐渐成为数学中加减运算符号,延用至今。十七世纪,英国数学家欧特莱,(Oughted)认为乘法是加法的特殊运算,他就把表示加法的“+”斜写成“×”,表示相乘。十七世纪的著名数学家、微积分创始人、德国的莱布尼兹(Leibniz)认为,棺乘符号“×”容易同表示     

“数字”意义趣谈

初中化学用语中各种数字所代表的意义不尽相同。学生往往会因为不理解符号表示的意义而难以回答,下面用拟人的方法帮助大家理解它们的意义。1.左边站的是微粒的个数:1)元素符号左边站的是几,表示几个某原子。如:2H系数“2”表示2个氢原子2)化学式左边站的是几,表示几个某分子。如:2H2O系数“2”表示2个水分子3)离子符号左边站的是几,表示几个某离子。如:2Fe3 系数“2”表示2个铁离子2.右脚下踹的是一个分子中所含的原子个数:如:H2O中H右下角的“2”表示一个水分子中含有2个氢原子。3.头上顶的是元素的化合价:如:H2O中O头上顶的“-2”表…     

巧妙课尾一举“三得”

在“加法的意义和加法的交换律”的教学课尾,教者是这样安排的: 教师用卡片国、国表示两个数,并左右手分别拿着卡片国、国,演示这两个数逐渐合并的过程,让学生观察。(如:国~~国) 师:这两个数现在怎样了? 生:合并在一起了。 师:怎样列式? 生:a b师:为什么要用加法算? 生:因为把两个数合并成一个数的运算,霜要用加法。 此时,教师交换两只手的卡片,左右手分别拿着卡片国和国,演示两个数合并的过程。 (如:困~~园) 师:你们看到了什么? 生:这两个数又合并在一起了, 师:如何列式? 生:b a 师:a b与b十a这两个算式相等吗?为什么? 生:相等,因为两个数…     

位置不同 意义各异——化学符号中数字的意义辨析

化学用语是初中化学的重要内容之一 ,是学习化学的重要工具 .它可以表示物质的组成、结构、性质、变化等 .而化学符号中不同位置的数字 ,其表示的意义各不相同 .为便于同学们理解和掌握 ,现归纳如下 :1 元素符号前的数字 ,表示原子个数 .如2Ｈ表示 2个氢原子 .2 化学式前的数字 ,表示分子个数 .如3Ｈ2 Ｏ表示 3个水分子 .3 离子符号前的数字 ,表示离子个数 .如2Ｎａ+ 表示 2个钠离子 .4 元素符号右上角的数字 ,表示离子的电荷数 .如Ｓ2 - 中的“2”表示 1个硫离子带 2个单位的负电荷 .5 元素符号右下角的数字 ,表示分子中该元素原子个数 …     

也谈“有趣的两个数”

拜读了贵刊92年第二期刊登的万如英同志的“有趣的两个数”一文,颇受启示。经笔者探讨补充如下: 万文所选的两个数,属于“数型”问题,探讨此类问题能把算术与数论和代数相互联系起来,可以发现特殊数学模型之间的联系,获知数学领域中的许多重要内容,这对教师的业务提高很有帮助。数型问题趣味性强,新意浓,它包罗万象,无固定的模式可套,无现成的规律可循。因此,必须要考察具体数字模型,寻找出规律,方可趣题妙解。如,由观察特殊数型1 1/2+3=1 1/2×3,1 1/3+4=1 1/3×4,……可以获得:(1+1/n)+(n+1)=(1+1/n)×(n+1);由考察数型1-1/2=1×1/2,2-2/3=2×2/3,……可得:n-n/(n+1)=n×(n/(n+1));由研究数型1 1/3+2/3=1 1/3÷2/3,2 1/4+4/3=2 1/4÷     

11册自学提纲设计举例

[例1]分数乘以整数 1.9/2的意义是什么?用线段图如何表示? 2.把加法算式改写成乘法算式: 6+6+6=()×(); 1.2+1.2+1.2+1.2=()×()。 3.把乘法算式改写成加法算式: 8×3=()+()+(); 0.3×4=()+()+()+(). 4.整数乘法的意义是什么? 5.根据4个9/2是多少这一命题作图填空:(1)用线段图表示4个9/2;(2)4个9/2,用加法算式来写,可写成();(3)把写成的加法算式改写成乘法算式,可     

“一”号的三重含义

学习了有理数,算术数的前面就带了正、负号,这种符号在不同场合有着不同的含义和作用,同学们往往分辨不清楚,现将这个“-”号的含义分析如下:一种含义是“负”,表示一个有理数所带的是负号,称为性质符号,如-2,-5等。一种含义是“减”,是表示运算的符号,称为减号。还有一种含义是“相反”,是表示某数的相反数的符号,如在+5的前面加一个“-”号,即-(+5)=-5,就成为它的相反数-5,如果数a<0,那么-a就是它的相反数,即-a>0.对于这个“-”号,在什么时候表示性质符号,读作“负”,什么时候表示运算符号,读作“减”,什么时候表示“相反”,读作某数的相…     

“变”与“不变”

“变”与“不变”是相对的。在“变”中蕴含着“不变”的规律,而在“不变”中也蕴含着“变”的因素。在小学数学教学中,运用“变”与“不变”的相互关系,恰当地组织教学内容,常常会收到很好的效果。如,在教学加法交换律:“两个数相加,交换加数的位置,和不变”时,为使学生知道如何用字母表示加法交换律,教师让学生先做下面“在□中填数”的练习:     

是“依照”还是“参照”

在教学“加法的初步认识”时,我觉得《教学参考用书》上的设计不错,就依照书上“探究新知”部分的设计,让一名女同学和两名男同学走到一起,把一只红纸鹤和2只蓝纸鹤放在一起,并让同学之间充分交流感受和体验。这时,我发现大部分学生还是比较感兴趣,只有个别学生可能认为太简单了,注意力不持久,开始做别的事儿。接下来,由人或纸鹤的数量抽象出数字1和2。“把1和2合起来,在数学上我们用符号‘ ’来表示。”听到这儿,学生状态已不如以前。到引导学生“数一数合在一起是多少,用数字几表示”时,学生早就不耐烦了,有的学生嚷嚷道:“3,我还会算100 …     

符号“-”的三种作用

在初中数学教学中,有的老师往往只给学生强调“-”号的两种作用:一是作为运算符号,表示“减法运算”,如5-2=3;二是作为用数字表示的实数的性质符号,表示“负”,如-3。以致许多学生错误地理解“-a”前面的“-”号的意义,误认这里的“-”号也是性质符号。其实“-”号还有第三种作用,它表示“将后面字母所表示的数转变为和它自身相反的数,”例如-a是a的相反数。字母a可以表示任何一个实数,当a     

“相似”与“∽”一样吗

“相似”反映了两个图形之间的本质性特征:形状相同.相似用符号“～”表示,人教版几何教材中明确要求通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.“相似”与“～”一样吗?下面举两例来说明它们之间的联系与区别。例1 已知:如图, ∠ABC=∠CDB=90°,AC=a, BC=b,当BD与a、b之间满足     

奇妙的数字三角形

我们先把左边数字三角形各横排的奇数分别加起来再进行研究。分别加起来后的结果是1、8、27、64、125、216、343。我们发现1=13、8=23、27=33、64=43、125=53、216=63、343=73。我们发现这个数字三角形每横排的和是以自然数列的立方数排列的。奇妙的是:在用奇数和表示立方数时,每一个自然数的立方数,不再是从“1”开始的奇数相加,而是按奇数顺序连续排列组成的加法算式来表示,如第一行“13”得数是1,用“1”表示;第二行“23”得数是8,则用“3+5”表示;第三行“33”得数是27,就用“7+9+11”表示。奇数的个数也正好是自然数本身的值。例如:43…     

两个定律的运用及教学建议

一、加法结合律及其运用1、加法结合律各种版本教材上的加法结合律都是这样叙述的:"对于三个数相加,先把前两个数相加,再把结果与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加,和不变."即(a+b)+c=a+(b+c)     

一类特殊的不等式

代数课本中有这样一个规定:表示不相等关系的式子,叫做不等式.也就是说,用不等号“>”、“<”、“≠”连接两个代数式所成的式子叫做不等式.如3x-5>0,1/2(x+4)<3,x-2≠-7等. 此外,在数学中我们还经常用到“≥”和“≤”两种符号.显然,用“≥”和“≤”连接两个代数式所成的式子,如3x-4≥2x+1,-4x2≤0等并不符合上面的规定,照理说,这类式子不可     

不能说它们“互为逆运算”

在谈到加法与减法、乘法与除法的关系时,不少数学教师说它们“互为逆运算”,笔者认为,只能说“减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算”,而不能说它们“互为逆运算”。在数学中,“互为”这一偏正词组的使用是比较严格的。如: 3的相反数只有-3,-3的相反数只有 3,我们就说“ 3与-3互为相反数”。同样的道理,我们还可以说“9与1/9互为倒数”;“30°的角与60°的角互为余角”;“60°的角与120°的角互为补角”等等。但是在谈到加法与减法,乘法与除法的关系时,不能说它们“互为逆运算”。我们知道,加法只有一种逆运算减法。如a b=c的逆运算为c-b=a     

数学符号溯源

“+”、“-”,加法与减法运算符号。德国数学家威特曼(1460—?)在《简算与速算》一书中首先使用的。在横线上加一竖,表示增加;“+”减一竖就表示减少。后来经过法国数学家韦达(1540—1603)的宣传和倡导,在1630年终于获得了公认。“×”,乘法运算符号。这是英国数学家奥特雷得(1574—1660)在1631年根据“乘”是另一种增加的方法,把“+”斜写成“×”。另一乘法     

“<”、“≤”和“=”

5+5=10是“十以内的加法”吗? 这个问题并不难于回答。因为10不是“十以内的数”。如果用a表示“十以内的数”,那么a应满足不等式0≤a≤10,而不是满足不等式0≤a≤10,即a属半开区间(0,10)。由于10不属于“十以内的数”,5+5=10当然就不是“十以内的加法”把和为10的加法与纯“十以内的加法”放在一起,正确的说法应该叫“10或10以内     

“93”趣题

①添上运算符号,使下面等式成立:1 9 9 3=93 ②从“19”开始到“93”止,所有这些奇数的和是____。③从“19”开始,每隔两个数写出一个数来,就得到:19、22、25、28……。请问,“1993”是这列数的第____个数。④把“93”拆成大小各不相同的四个数之和,要使它们的积最大,这四个数是____、____、____和____。⑤若五位数“19□93”能被7整除,“□”内应     

“相反数”学习指津

相反数是数学中的一个重要概念,同学们初学时要注意以下四点.一、注意准确理解相反数的定义1.相反数的描述性定义:只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个数是另一个数的相反数.例如1(1/2)和-1(1/2)互为相反数,即1(1/2)是-1(1/2)的相反数,-1(1/2)是1(1/2)的相反数.2.相反数的几何意义:在数轴上原点的两旁且与原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.如下图所示,A、B两点所表示的两个数-3、 3互为相反数.     

“20以内进位加法”教学建议

20以内进位加法是多位数加法及进一步学习数学的基础。通过教学,要使学生在理解的基础上,能够熟练地进行计算。一、通过一定数量的直观教学,使学生在理解算理的基础上初步学会用“凑十法”进行计算“凑十法”是把一个加数凑成十,再加几。如,9＋2,这样想：9十且得10,10再加互得11。由于我们的计数法是十进制,所以计算进位加法用“凑十法”比较容易。运用“凑十法”进行加法计算的重点,是引导学生把一个加数分成两个数,使分出来的一个数与另一个加数凑成10,一般是把加数中较小数分成两个数,这也是教学中的难点。因为把一个加数分…