第三届全国中学生数学冬令营试题与解答

试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确     

1:2~(1/2)矩形在立几中的应用

矩形的边长之比为1:2~(1/2),本文简称1:2~(1/2)矩形。1:2~(1/2)矩形有以下性质。性质如图,N、M 分别是矩形 ABCD 较长边 AB、CD 的中点,AM、CN 分别交 BD 于 E、F。如果较长边AB=2~(1/2)BC,那么,E 和 F 两点是分别过 E、F 的两条线段的垂足,且 E、F 是所在线段的三等分点,今较短边BC=a,AB=2~(1/2)a,则 ME=NF=(1/3)CN=(1/3)AM=(1/6)6~(1/2)a,BF=EF=DE=(1/3)3~(1/2)a。应用以上平几知识,可以提高分析和解决某些立几问题的能力,兹举例并分析如下。例1 正方体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,二面角 A_1—     

用三角法解f(x)~(1/2)±g(x)~(1/2)=k型方程

一、方程f(x)~(1/2)+g(x)~(1/2)=k(k>0)表明,(f(x)~(1/4),g(x)~(1/4)为圆f(x)~(1/2)=k~(1/2)(cost)g(x)~(1/4)=k~(1/2)(sint)与倾角为t之径线的交点坐标,因而可设 f(x)=k~2cos~4t g(x)=k~2sin~4t’通过三角变换直接或间接地解得x。例1.解方程 2x-1~(1/2)+x+3~(1/2)=4 解:设 2x-1=16cos~4t x+3=16sin~4t(1/2相似文献   

比较11~(1/2)-3~(1/2)与10~(1/2)-2~(1/2)大小的方法

1 .公式法因为 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,又因为 11+3 >10 +2 >0 ,所以11-3 <10 -2 .2 .倒数法由 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,有　 111-3 =11+38,110 -2 =10 +28.由于 11+3 >10 +2 ,所以111-3 >110 -2 .故 11-3 <10 -2 .3 .求差法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11+2 ) -( 10 +3 ) .由于 ( 11+2 ) 2 =13 +2 2 2 <　　 ( 10 +3 ) 2 =13 +2 3 0 ,故 ( 11+2 ) -( 10 +3 ) <0 .所以 ,11-3 <10 -2 .4.找规律法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11-10 ) -( 3 -2 ) .由于 1-0 >2 -1>3 -2 >4-3 >… ,有　 3 -2 >11-10 .…     

函数f(x)=x~4 x~3 x~2 x 1的最小值

有的文献证明了对任何ｘ∈Ｒ,ｆ(ｘ)>0.本文获得定理　设ｘ∈Ｒ,则ｆ(ｘ)=ｘ4 ｘ2 ｘ 1在ｘ=ｘ0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值ｆ(ｘ0)=516[(ｘ0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知ｘ0是方程ｆ’(ｘ)=0的惟一实根.下面用不等式(Ａ2 Ｂ2)(1 ａ2)≥(Ａ ａＢ)2(=|ａＡ=Ｂ)来证明.对ｆ(ｘ)进行”双配方”,应用该不等式,有ｆ(ｘ)=(ｘ2 12ｘ)2 34(ｘ 23)2 23=(ｘ2 12ｘ)2 (32ｘ 33)2 23≥11 ａ2[ｘ2 (12 32ａ)ｘ 33ａ]2 23.设3ａ=ｂ,13<ｂ<3,则ｘ2 (12 ｂ2)ｘ ｂ3≥14[4ｂ3-(12 ｂ2)2]=(3ｂ-1)(3-ｂ)48>0…     

1988年日本京都大学入学考试数学试题及答案(理、医、药、工、农类)

试题 1、对于实数a、b。 f(x)=x~2 ax b, g(x)=f[f(x)]。①证明 g(x)-x能被f(x)-x整除。②图示满足g(p)=p且f(p)≠p(p为实数)的点(a,b)的范围。 2、在△ABC中,设分AB、BC,CA为2:1的内分点依次为A_1,B_1,C_1;分A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1,为2:1的内分点依次为A_2,B_2,C_2。证明△A_2B_2C_2与△ABC相似。 3、设A=, ①当=A时,设x~2-3y~2=1,     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

系统{x=-y xy y=x 1/2(x~2-y~2)的全局结构研究

1.系统有平衡点O(0,0),A_1(1,3~(1/2)),A_2(1,-3~(1/2)),A_3(-2,0).易证,其中O(0,0)是系统的中心,轨线绕其道时针旋转。又因J(1,3~(1/2))=,求得特征根为±3~(1/2),所对应的特征向量分别     

浅议函数y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)的最值

分类讨论题是当前试题中的热点,而求函数y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)的最值(函数在I上有定义,A_1(t)≠0,t为参数)又是分类讨论中常见的类型。如1992年及1993年上海市普通高级中学会考试题的压轴题,他们的模式便是本文议论的问题。 1.求该类函数的最值,其属求一元函数最值的范畴。函数 y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)在I上有定义,A_1(t)≠0。若令f(x)=z,由x∈I得到f(x)∈(?),这样,原函数可化为y=A_1(t)z~2 A_2(t)z A_3(t)A_1(t)≠0,z∈(?)。即y关于一元z的二次函数。由于t是参数,因此在求该类函数的最值时,它的思考方法和运     

函数f(x)=(x~2 ax b)(1/2)±(x~2 cx d)(1/2)的最值

结论 1　若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点…     

关于不定方程X_1~2 X_2~2 … X_m~2=X_(n 1)~2整数解的探讨

引理不定方程x~2-y~2=c(c∈Z)有整数解的充要条件是c■2(mod4)。证:必要性。若存在整数x、y使x~2-y~2=c■(x y)(x-y)=c,∵x y、x-y同奇偶,∴c是奇数,或者4|c,故c■2(mod4)。充分性。设c■2(mod4),则ⅰ)c≡0(mod4),c/4 1,c/4-1∈z,而(c/4 1)~2-(c/4-1)~2=c,即x~2-y~2=c有整数解(c/4 1,c/4-1)。ⅱ) c≡1(mod4)或c≡3(mod4),(c 1)/2,(c-1)/2∈Z,((c 1)/2)~2-((c-1)/2)~2=c,方程x~2-y~2=c有整数解((c 1)/2,(c-1)/2)。引理证毕。对不定方程x_1~2 x_2~2 … x_n~2=x_(n 1)~2,若令x_i     

不定方程x_1+x_2+…+x_n=1的非负整数解

[定理1] n元一次不定方程x_1+x_2+…+x_n=r的非负整数解共有C_((n+1)_(-1))~(n-1)个(r∈N)。证:考虑由r个1与n-1个0作成的一个排列。令x_1等于排列中第一个0左边1的个数,x_2等于第一个0与第二个0之间1的个数,…,x_n等于最后一个0右边1的个数。例如n=4,r=8,则排列11011110011对应解     

一道数学冬令营试题的推广

第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1,     

两二次曲线四交点共圆的充要条件

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。     

用几何法求y=[(x-x_1)~2 y_1~2]~(1/2)±[(x-x_2)~2 y_2~2]~(1/2)的值域

用代数方法求y=(x~2-2x 5)~(1/2)±(x~2-4x 13)~(1/2)的值域非常繁难.如果仔细观察,此题可以写成y=[(x-1)~2 (0-2)~2]~(1/2)±[(x-2)~2 (0-3)~2]~(1/2)的形式,故可转化为求动点P(x,0)到定点A(1,2)和B(2,3)的距离之差(和)的取值范围问题,这样就能借助于解析几何有关知识加以解决。此类问题就是求     

函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)值域的求法

对于给定的函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx b)~(1/2)(a、b、c、d,均为常数,且ac≠0)。可分以下情况求其值域: 1.当a>0,c<0时,f(x)在定义域上是增函数,可由单调递增函数的性质求出值域。 例1 求函数f(x)=(x 2)~(1/2)-(-3x 4)~(1/2)的值域。 解 求函数f(x)的定义域是[-2,4/3],     

抛物线y=ax^2的若干性质

如所周知,将抛物线 y=ax~2(a≠0 (1)平移,可得抛物线y=ax~2 bx c (2)我们将顶点在抛物线上的三角形叫做抛物线的内接三角形.性质1 若抛物线(1)和(2)的内接△A_1A_2A_3和△B_1B_2B_3的顶点的横坐标分别相等,则这两个三角形的面积相等.证明:设顶点的横坐标依次为 x_1,x_2,x_3,由     

运用直线重合的条件解题

众所周知,直线l_1:A_1x B_1y C_1=0与直线l_2:A_2x B_2y C_2=0(其中A_1、B_1、C_1、A_2、B_2、C_2均不为零)重合的充要条件是(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)=(C_1)/(C_2)。然而,运用这一条件求解某些数学问题,构思新颖,方法巧妙,过程简捷。本文就此作一些探讨,旨在抛砖引玉,并希望对我们的教学能有所帮助。     

函数f(x)=ax-(b/x)的单调性及其应用

命题1当a>0,b>0时,函数f(x)=ax-(b/x)在区间(-∞,0)U(0, ∞)上是增函数.证明:设x_1,x_2∈(0 ∞),且x_1>x_2,则f(x_1)-f(x_2)=ax_1-(b/(x_1))-