如何解两个一元二次方程有公共根的问题

关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a.     

再谈根的非对称式的解法

贵刊文[1]介绍了根的非对称式的两种解法,读后体会颇深,本文笔者想利用公式:a=α β/2 α-β/2β=β α/2 β-α/2补充一种解法.供同学们学习时参考.例1 设α,β是方程2x~2-3x-4=0的两根,不解     

关于一道试题的解法及评分标准的讨论与反思

贵刊2007年第2期刊登了同一作者的两篇文章:文[1]与文[2],文[1]的例3与文[2]的例2又是同一道试题,并且是同样的解法,两文阐述了相同的观点.该例及解法如下:2     

方程组的特殊解法

初三《代数》课本中详细介绍了两种特殊类型的二元二次方程组的解法 .第一种类型的解法是通过代入消元 ,转化为一元二次方程来求解 ;第二种类型的解法是通过将其中一个方程的左边分解因式 ,转化为两个二元一次方程 ,最后再转化为第一种类型的二元二次方程组来求解 .因此我们可以说 ,解方程组的指导思想是转化思想 .下面我们介绍特殊方程组的几种特殊解法 .在此 ,关键是善于观察和分析方程组的特点 ,并据此选用适当的解法 .一、整体代入例 1　解方程组 ｘ +ｙ =5 ,2ｘ2 + 2ｘｙ +ｙ2 =34 .分析　若采用常规代入法 ,变形过程比较繁 .不难看出 …     

对两道例题解法的商榷

贵刊2007年第4期文《高考复习中不等式题型分析及解法》一文的例1、例3两题的解法值得商榷.文中例1:“已知:p:1-x-13≤2,q:x2-2x 1-m2≤0(m>0);p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.文中解法得出p即x<-2或x>10,q即x<1-m或x>1 m(m>0).设A={x x<-2或x>10},B={x x<1-m或x>1 m}     

例39 两种解法都能肯定吗?

五年制小学数学课本七册76面的例3是"育红小学四年级一班同学分两组在小工厂糊纸?.第一组23人,共糊386个;第二组22人,共糊335个.全班平均每人糊多少个?(得数保留整数)"某教师教学时,为开扩学生思路,他启发学生"一题多解",得出了两种不同的解法:解法1.(386 335)÷(23 22)≈16(个)(答略),解法2.(386÷23 335÷22)÷2≈16(个)(答略).教师对这两种解法都给予肯定,并特别对采用第二种解法的同学给予表扬.     

深思 慎思 审思——从一道最值问题的简捷朴素解法想开去

贵刊2006年第5期《一道最值问题的解后思考与感受》一文中有如下问题:在△ABC中,AB为最长边,且sinAsinB=2-3^1/2/4,则cosAcoSB的最大值是_<sub><sub><sub>.贵刊2010年第2期《一道最值问题的解法探讨》一文指出了上文中解法的错误,并给出了这个问题的两种解法.但这两种解法中解法1较为     

牛顿第二定律应用中的求异思维——加速度斜交分解法

在应用牛顿第二定律 F合 =ma列方程解答有关习题时 ,按照常规思维 ,一般采用力的正交分解法 ,它属常规解法 .在有些问题中 ,若以求异思维来引导 ,采用加速度斜交分解法将显得较为简捷 .一、求异解法的典型例析例 1　如图 1所示 ,有一圆锥摆 ,摆长为 l,摆线与竖直方向的夹角为 θ,其摆锤 P在水平面内做匀速圆周运动 ,线速度为 v.试求当地的重力加速度 .不计空气阻力 .图 1　　　　　图 2　　　　　图 3求异解法 (采用加速度斜交分解法 )以摆锤 P为研究对象 ,它受两个外力 ,即重力 G和摆线的拉力 F,如图 2所示 .因摆锤 P做匀速圆周运动 ,必…     

对一个三角例题的全方位探索

题目:(代数上册P.193例4)求sin~2(10°) cos~2(40°) sin10°cos40°的值。 一、解法探索 解法一 常见解法 sin~2(10°) cos~2(40°) sin10°cos40°= 解法二 构造图形法     

两个一元二次方程有一根具有某种关系的问题的解法

一元二次方程是初中代数的一个重要内容,灵活运用其解法解方程是初中代数教学的基本要求之一.而了解关于含字母的两个一元二次方程有一根具有某种关系的问题的解法,对于学有余力的学生来说可以开拓知识视野,也是培养学生逻辑思维能力和浓厚的数学兴趣的一个优秀题材.现就这一问题的解法谈以下几点,供参考.一、两个方程仅有一个公共根的问题将两个一元二次方程的二次项系数化为相同时,则两方程之差所得一元一次方程的根就是公共根的表达式,再将公共根代入任一方根,则可求出所含字母的值或系数.例1　方程ｘ2 2ｍｘ-1=0与方程ｘ2 (ｍ 3)·ｘ-4=…     

工程问题的两种新解

工程问题的一般解法为分数求解法,除这种解法之外,还有两种新的解法——假设法和份数法。例1.修一段公路,甲队单独修,8天修完;乙队单独修,10天修完。两队合修,多少天修完?     

选择简便方法巧解数学选择题

选择题知识覆盖面广、容量大,是中考试题中最常见的题型.选择题的解法常常不止一种,合理的解法可以节省时间,提高正确率,因此,巧选解法是不容忽视的.一、直接、常规法从题设条件出发,进行严密推理、合理演算,导出正确结论.要点:把问题(条件和结论)作整体看待,防止“只见树木不见森林”,尽量通过观察直接推断,力求少用或不用演算.例1两圆的半径分别为3和5,圆心距为2,则两圆的位置关系是().(A)外切(B)内切(C)相交(D)内含(2003年常州市中考试题)分析:通过观察知:3+5>2,5-3=2,适合d=R-r(R>r),故两圆内切,选B.例2在平面直角坐标系中,点(2,-3)…     

“均值换元法”解一元二次方程

同学们已学习过一元二次方程的两种解法:公式法和因式分解法,这里再介绍一元二次方程的另一种解法——均值换元法.先看下面的例子例1 解方程3x~2+5(2x+1)=0. 解去括号,得3x~2+10x+5=0. 二次项系数化为1,得x~2+10/3x+5/3=0. 由根与系数的关系,可设原方程的两根分别为-5/3+k、-5/3-k(k≥0),     

有关方程“解”的问题

有关方程“解”的问题,一般都有其基本的解法,但也因题型和思考角度的不同,解法有所差异.下面举例说明.例1 已知x=1/2是方程6(2x+m)=3m+2的解,求m的值. 解法一将m看成已知数,解原方程,得     

勾股定理证明的“再生”

在几何教学中,一题多证、一例多变是启迪学生思维和活跃学习气氛的有效方法之一.对几个重要的定理、例题和习题,从一种解法演化出几种解法往往比分别孤立地介绍几种解法更易引起思维共鸣.一根磁铁棒截为两段,在截断的地方会产生两个新的磁极,变成两根磁铁棒;一条蚯蚓截为两段,在截断的地方会长成两个肛门,变成两条蚯     

求函数值域一例

在高中数学中,求函数的值域是一种较为复杂的问题,往往方法较为灵活.现举一例,给出多种解法,同学们可从中受到启发.例题求函数y=sinx2-cosx的值域.解法一:(利用三角函数的有界性)去分母化为sinx+ycosx=2y,即y2+1sin(x+φ)=2y.因为|sin(x+φ)|≤1,所以|2y|≤y2+1,即3y2≤1.解得值域是[-33,33].解法二:(利用解析几何方法)函数变形为:y=0-(-sinθ)2-cosθ.联想到斜率公式,(如图1)可知y是连结A(2,0)与圆x2+y2=1上的点(cosθ,-sinθ)的斜率.所求值域就是这斜率的取值范围.设AB,AC为两切线,它们的斜率分别是-33,33.所以值域是[-33,33].解法三:(…     

定积分∫π/2 0 cosθ/sinθ+cosθ dθ的解法

定积分∫π/2 0 cosθ/sinθ+cosθ dθ有多种解法,除一般解法外,还有若干简单、灵巧的解法.以此为例,强调"一题多解"对学习数学的意义和作用.     

“小题”必须“大做”

有些同学在做不等式的习题时,曾因一道题目的两种不同解法而争论不休,现把他们的解法原原本本地写下,仔细分析一下,以防再犯类似错误.题目:设x、yR+且x+2y=1,求1x+1y的最小值.解法一:∵x,yR+且x+2y=1∴1=x+2y叟22xy姨穴1雪即xy燮18,从而1xy姨叟8姨=22姨(2)∴1x+1y叟21xy姨=21xy姨∴1x+1y叟2×22姨=42姨,∴1x+1y的最小值为42姨.解法二:∵x,yR+且x+2y=1∴1x+1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy叟3+22yxxy姨=3+22姨∴1x+1y的最小值为3+22姨.以上两种解法看似都正确,其实不然.解法一是错的,而解法二是对的.那么解法一究竟错在哪里呢?还是让我们回…     

关于设计逻辑线路问题的别解

全日制十年制学校高中数学课本第三册6.5逻辑线路一节例3.是运用逻辑代数知识设计逻辑线路的实例.这里提供另外一种解法,以拓开学生思路;通过两种解法的对比,还可以加深学生对课本解法的理解. 例3(照课本的编号)用两个开关控制一个灯,楼上开关为A,楼下开关为B,要满足下列条件:当A,B一个开一个关时,灯亮;当A,B都开或都关时,     

一道中考题的解法探究

山东省济宁市2006年一道中考试题:直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形,方法如下:请你用上面图示的方法,解答下列问题:(1)对任意三角形(下图a)设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.(2)对任意四边形(上图b),设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面相等的矩形.(1)解法1直接仿题例即可.如图1.图1解法2从两边中点作第三边的垂线段再旋转即可.如图2.图2解法3作三角形的一条中位线,再过两中点作第三边的垂线段即可.如图3.图3解法4过一顶点及相临两边中点作第三边的垂线段.如图4…