一元二次方程

矗基础篇矗课时一一元二次方程及其解法了万.+2,x2一v/范一一2.竺64诊断练习一、填空题1.方程扩一4x=o的根是2.若分式xZ一x一6 x一3的值为。,则x二=0.二0,二0 3.已知2是关于x根,则668a+1=_ 二、选择题的方程音XZ一2。一0的一个四、(x+韧一静从一奋n疑难解析例1解方程(xZ一x一l)(xZ一x一3)十1解:(扩一x)z一4(扩一x)+4(xZ一x一2)2~0,xZ一x一2xl-一1,xZ二2.1.下列方程中是一元二次方程的是( -一_、。1又八)zx十1=U.气”,厂~诬 (C)扩+y=0.(D)(l一x)2~4. 2.关于x的方程(mZ一l)扩+3x一1“o是一元二次方程,则一定有(飞 (A)m笋1.(B)m笋一1. (C…     

上期思考题解答

题11.设几是全休实数集合,对于函数 f(x)=x“+ax+b(a,b任R),定义集合 A={x}x=f(x),:任R}, B={x lx二f(f(:)),x任R}. (i)若a=一1,b=一2,求A口B,A{、P; (2)若A二飞一l,3},求B. (3)若A=咬a},求证A自B={a}. 解(1)由己知条件,函数 f(x)二x“一x一2.方程x=f(x)化为xZ一Zx一2=0.其解集为A,所以A=一丫3,1+了3同样,方程x=f(r(‘))为 x=(x“一x一2)2一(x“一x一2)一2化简,得(x“一x一2)“一x“二0.即(xZ一2)(xZ一Zx一2)=0.有‘xZ一2二Q或x竺一Zx一2=0.其解集为B.令xZ一2=0的解集为c,则B=AUC那么A UB=AUAUC二AL少C 二{1一了落因为B卫…     

思考题(七)解答

题21.设数列厦a,、},定义 a。*:== Za,:+ZaJ._,(n=2,3,凌,…) (i)如果数列{aJ、十,一aaJ:}是以月为公比的等比数列(a,月是实数),那么氏乃是方程xZ一2x一2=0的两个根. (2)若a,=1,a:=2,试求通项公式al. 解(i)由{:L;、十,一a:,;、}是以月为公比的等比数列,得(2)若{a,、+1首先证明如下命题成立:}是数列,定义=Za。+Za。_;,(n二2,3,…)且a一l+l一“〕一i即Za、1+2:,二尽(:,工一以几一J二l=月::‘._:)。.1一八月几._,.比较等式两边系数,有 “+月二2,a月二一2.所以a、月是x“一拟一2=。的两个根.a、日是方程x“一2x一2二o的两个根,则数列{a。+J…     

掌握变形 快速解题

运用一元二次方程根与系数的关系解题时,常用到以下变形:,.二:,二:维.、扩一Zx .xZ;2.(x,一扩乖:+x扩一4x.年里*1_=兰竺2;4.x一xZx一%2(x.+x护一2x,乓 xlxZ掌握这些变形,可以迅速解题.例1如果,】儿是方程2x2一4x十l=0的两个根,那么五+玉的值为(尤2 xlB .3C .4 D.6解·,一2,一二x t xZ一一十一xZ xl卜.+x护一2x丙x rxZ2:一2、--l____里=6.故选几 l 例2已知关于二的方程二’+2(m一2卜十m,+4=0有两个实数根,并且这两个乏的平方和比两个根的积大21,求m的值.解…方程有两个实数根,…△=〔2(m一2)」一礴(m+4)〕0.整理并解得m感住设二二2为方稼…     

一元二次方程单元检测题

一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分) 1.如果方程2x2一6x+3二0的两个实数根分别为x:、xZ,那么x,·x:的值 是(). A .3B一3c一立D.立 22 2.下列一元二次方程中,两根分别为一卜V了,一1一、/了的是(). A.劣2+Zx十4二0 B.xZ+2火一4二O C,劣2--2戈:十4二0 D.劣2一2另一4二0 3.若xl、二2是方程x坏3,一5=O的两个根,则(xl+l)(x汁l)的值为(). A一7B一IC一1+、厄互D一1一、汽骊~ 4.若一个一元二次方程的两根之比是2:3,其判别式的值等于4,则 这个方程可能是(). A .2冤斗10沈:+24二0 B.劣2+1《)架:+24=0」B C .xZ+2、厂了x+1=0 D.七2一1伍+2…     

高三数学模拟试题(一)

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 )1 集合M ={a ,b ,c},N ={- 1,0 ,1},映射 f :M→N满足 f(a) +f(b) +f(c) =0 ,那么映射f :M →N的个数是A 4　B 5　C 6　D 72 设e1和e2 是互相垂直的单位向量 ,且a =3e1+2e2 ,b=- 3e1+4e2 ,则a·b等于A 1　B 2　C - 1　D - 23 若复数z满足｜z +1｜+｜z- 1｜=2 ,则｜z+i - 1｜的最小值是A 1　B 2　C 2　D 34 下列求导运算正确的是A (x +1x) ′ =1+1x2 　B (log2 x)′ =1xln2C ( 3x)′ =3x ·log3 e　D (x2 cosx)′ =-2xsinx5 设l1,l2 是两条直线 ,α、β是两个平面 ,A为一点 …     

利用判别式解题

一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献   

关于二次方程的一个定理及其应用

应用关于一元二次方程“‘’十b‘+c=o(a戈0)的根与系数关系的定理可以证明: 定理方程ax“十bx十c二o(a、0)的一根比另一根的k倍大m的充要条件是 kbZ一(k+1)“ae=仍a〔仍a一(沦一1)b〕。 例1.a为何值时,方程 (a+l):艺+(a一3)x+(a一5)=o的一根比另一根大3? 解:定理中取无=l,m二于则 (a一3)2一4(a十l)(a一5)=9(a+1)2, 5a=l或一马. J 例2.方程a:’十bl+。二2:3,求证6b2=25a。. 解:设两根为::,::.有0两根之比一为则21二2:,/3艺a、.了扣一(;·即6b2=25ae. 例3.求证:无论。戈1为任何数,方程 4(明一1)2x2+4(阴一1)(切+3)才 +(仍+1)(”弓+5)=0恒有…     

数学问题(九)解荅

1.证明,八个相邻正整数乘积的四次方根必非整数,而它的整数部分是尹十7x+6,这里x是这些相邻整数的起始者. 证.从x开始的八个相邻数之积可表成 P一x(x+7)(x+1)(x+6)(x+2)(x+5)(x+3)(x+4) ~(xZ+7x+6一6)(xZ+7x+6)(xZ+7x+6+4)(xZ+7x+6+6) ~口毛+4a“一36a2一z44a~a‘十4a(a+3)(a一22).式中a一xZ+ 7x+6.因x》z,故a>12,即a40,所以a‘相似文献   

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

韦达定理及其应用研究

一、基础知识“若实数x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a”,这一关系称之为韦达定理;其逆定理是:“若实数x1,x2满足x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,则x1,x2是方程ax2+bx+c=a(a≠0)的两个根”,韦达定理及其逆定理在各类数学竞赛中具有广泛的应用,下面举例加以说明:二、应用举例1.用于求方程中参系数的值例1 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等     

关于一元二次方程公共根的一个定理及其应用

定理:两个二次方程ai二“+bix+ci=0(a,a:笋。,i=1,2)有公共根的充要条件是 (a,。:一aZ。;)2=(a 16:一aZ bl)(b,。:-bZel)(‘)且△i)0(i=1,2). 证明:先证必要性,显然△i〕0.设方程的公共根为x。,则a 1 xoZ+6lxo+el=oaZ xoZ+bZxo+eZ=o (2)x al一(l)xa:得:=一(a 1 eZ一aZ。1), (l) (2)(a 1 bZ一aZ bl)xo…(a lb:一aZ乙1)2 xoZ=(al。:一aZ。1)2(3) (l)xb:一(2)x bl得:(alb:一aZbl)xoZ=bleZ一bZe一, …(a 16:一aZ 61)ZxoZ=(a;占:一aZ占1)(bl。2一bZ。,)(4) 比较(3)、(4)得(a,。:一aZ。;)2=(a;bZ一aZb,)(b,。:一bZel). 再证充分性.①…     

有关根的判别式、根与系数的关系中考试题精选

毓黔淤瓤粼缨黔黔黝携蘸鹭辨鬓鸳翼黔黝黔叛鬓薰瓢翼熬镰鬓黔数粼群巍一、单项选择题1.关于x的方程扩一k二十k一2=O的根的情况是(). (A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)无实数根(D)不能确定 (2002年北京市西城区中考题)2.若关于x的一元二次方程kxZ一2x+1=0有实数根,则凡的取值范围是(). (A)k<1(B冲蕊1(C)k<1且几尹。(D)k毛l且凡尹。(2002年江苏省盐城市中考题)3.如果关于x的方程2x2一几+m=0的两个实数根互为倒数,那么m的值为().(B)一上(e)2(D)一2 2(2002年北京市西城区中考题)l一2A 4.如果关孔的方程xZ+Px+1=0的一个实…     

分式方程、简单的二元二次方程组中考试题精选

一、单项选择题1.用换元法解方程护+3x一29 xZ+3%二8,若设、斗3,=y,则原方程可化为((A)ZqyZ+8少一1=o(B)8尹一20y+l=0(C)尹+8y一20=0(D)尹一sy一20二0 (2002年江苏省南通市中考题)2.要使分式一些兰旦- %2嘴一6 (A)33.用换元法把方程的值为零,则x的值应是( (B)一32(xZ+1)+6(‘+1) %+1 xZ+1(C)士3(D)2(2002年广西中考题)=7化为即十互=7,那么下列换元方法正确的是((A)一共=y(B)一乒丁一少 先十IX十1(e户全生习劣+1(功共二 劣~十1(2002年广西桂林市中考题)成方程(青)’一六一2=“的解为((A)一l,2(B)l,一2(e)o,且(D)o,3 2(2002年北京市东…     

一九八一年第一期数学问题

1。设a、丢、c为三角形的兰边,且有关系当x=一1时,(一1)2+2(一1),in(一夕)+1二0,a+白+e 2,52=2口b:;n,一,,,二2·:·音二‘刃为整数,r碑仁试证:(1)sc,b>‘。 (四川重庆教育工艺技校张明提) 2.在直角△ABC中,乙A是直角,AB二7cm,AC=24cm,两等圆P、口互相外经验证, 方程的解是:二二土1,,二2。·+号二。(”为整数)切,并且分别与△ABC两边相切(如刀图),求两2.已知(1+、inZa)(z+。i二“日)(l+。inZ丫)=8,in aoin日。iny,求a- 解日、Y。令二=。ina,夕=。in日,z=。in丫,原方程化为(1+xZ)(z+y艺)(z+:2)二8对z。等圆的半径。 (…     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

中考训练ABC卷

A卷每题5分满分100分时间40分钟1.若方程m扩+4二十3一。有一个根是1,那么阴一2.一元二次方程(3x十1)’一4一O的根是3.已知一元二次方程护十Zx一1一O,它的根的判别式△~ ,根的情况是4.若。,口是一元二次方程*一3x一5一。的两个实数根,则生十粤 “尸5.方程x(x+1)~2的根是6.一元二次方程a护+bx+c一O有一个根是零的条件是((A)bZ一4ac=0(B)b=0(C)c二0(D)c共07.方程xZ一4x+2的根是( (A)x-一2 8.用换元法解方程于t的方程是(B)x--井一)2J丁—1了(C)x~士2(D)x=了3-2三J一+12=0,设t-王杏I,则关 ,.解方程、任丁不万~一x的结果是 10,关于x的一元…     

新年趣题

值此 2 0 0 3年来临之际 ,特拟一组与 2 0 0 3有关的新年趣题 ,使同学们在解题中感悟新年快乐 ,并祝大家在新的一年里取得优异成绩 .1.已知 a=2 0 0 22 0 0 3 -1,求 12 a3 -a2 -10 0 1a+ 1的值 .2 .设α、β是方程 2 0 0 1x2 + 2 0 0 2 x -2 0 0 3 =0的两根 ,若 Sn =αn +βn.求 2 0 0 1S2 0 0 3 +2 0 0 2 S2 0 0 2 -2 0 0 3 S2 0 0 1 + 2 0 0 3的值 .3 .方程 (2 0 0 3 x) 2 -2 0 0 2× 2 0 0 4x-1=0的较大根为 p ,较小根为α,方程 x2 + 2 0 0 2 x -2 0 0 3 =0的较小根为 q,求 p-q-2 0 0 3 αq的值 .4.已知 a≠ b,a2 0 0 3× 23 -a2 0 0 3…     

理科数学(必修+选修Ⅱ)(Ⅲ)

圆C的方程为第I卷(A)(x+l)(B)x,+尹+尹=l!一6一、选择题1.已知集合M={xI二,<引 M门N二 (A){xl:<一2} (e)}二l一13}(D)}x 12相似文献   

2006年高考模拟数学试题(一)

一、选择题:本大题共犯小题，每小题6 分，共60分. 1.计算: (A)2 (2+i)(1.一i)‘_ l一21 (B)一2(C)21 2.设sin。=舒晋<。< (D)一21 二)，tan(二一刀) 冬，贝叮tan(。一毕)的值等于( 石 (A)一臀(B)一云(e)譬(D)云 3.在数列{。。}中，a，=15，3a。+，=3a。- 2(n EN’)，则该数列中相邻两项的乘积是负 数的是() (A)。21a二(B)a22a二 (e)。23 a24(D)a24a二 4.设xl，x:二R，常数a>o，定义运算 “*”::，*xZ=(x，+二2)’一(x，一xZ)’.若二必 0，则动点尸(:，丫石万)的轨迹是() (A)圆 (B)椭圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部…