非负数的性质及应用

非负数的有关性质是代数中十分重要的性质，它在解题中有着较为广泛的应用．现举例说明非负数的性质在解代数题中的应用，供同学们学习时参考．非负数的性质：若ｘｌ＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝０，且ｘｌ≥０，ｘ２≥０，…，ｘｎ≥０，则ｘｌ＝０，ｘ２＝０，…，ｘｎ＝０．此与类似，当｜ａ｜＋｜ｂ｜＝０时，总有ａ＝０且ｂ＝０；当时，总有ａ＝０且ｂ＝０；若ａ～（２ｎ）＋ｂ～（２ｎ）＝０（ｎ为自然数），则ａ＝０，ｂ＝０．例１　已知（ａ—１）２＋（ｂ＋１）２＝０，求（ａｂ）～（１９９７）的值．分析（ａ－１）２≥０，（ｂ＋１）２≥…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

一个分式不等式

命题设ａ１＞ａ２＞…＞ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则 （ｎ∈Ｎ）引理１设ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）ｍ（ａ１ｂ１＋ ａ２ｂ２＋…＋ａｍｂｍ）引理 ２设 ａ１, ａ２,…, ａｍ＞ ０,则ａｎ１＋ａｎ２＋…ａｎｍ≥ｍ１－ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）引理１、２都易用数学归纳法证明,证略下面给出命题的证明．证明因为ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,所以然 （ｎ∈Ｎ）因此下面举例说明该命题在证明不等式时的应用．…     

教学二次函数要加强对“a、b、c”的讨论

由于二次函数的内容既是重点又是难点,因此,在教学中必须加大力度,尤其要加强ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中ａ、ｂ、ｃ的讨论,以便让学生在数与形的结合上掌握二次函数的性质。　　一、结合图象,讨论ａ、ｂ、ｃ的性质　　１．关于ａ　　（１）ａ≠０。因为ａ＝０时,函数成为一次函数。这一个条件很重要,需要时刻注意。　　（２）ａ除确定图象的开口方向,函数有最大值或最小值外,还确定了函数的单调性,即ａ＞０当ｘ≥－ｂ２ａ时,ｙ随ｘ的增大而增大;当ｘ＜－ｂ２ａ时,ｙ随ｘ的增大而减小。　　ａ＜０时,则得到和以上相反的…     

费尔马最后定理的初等数学证明方法

本文用（ｘ－ｂ）ｎ＋ｘｎ＝（ｘ＋ａ）ｎ来代替以往大家常用的ＦＬＴ方程ｂ）ｒ］＝０．因不论ｒ是奇数，还是偶数，ａｒ－（－ｂ）ｒ恒含ａ＋ｂ为其因数，故有ａｒ－设是ａ＋ｂ的任一质因数，并将ａ＋ｂ写为Ｂ＝ａ＋ｂ，作ｘ和Ｗ的整数变换式ｘ＝ｐｌｉＷ．选整数ｔ，使有ｎｔ≥ｍ＋ｔ，则方程变为将上式两边除以Ｐｉｍ＋ｌ，则成为上式左边是Ｗ的整系数多项式，右边Ｂ种Ψｎ都不再合因数Ｐｉ，所以右边这个常数是个分数，不是整数．这样方程不能被任何整数Ｗ所满足，因此无Ｗ的整数解，于是ＦＬＴ定理成立．     

一道不等式题的多种证法

一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－...     

根式和下界不等式的一种新证法——从一个问题解答谈起

１　问题提出《数学通报》１９９５年第８期问题９６９题：已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,求证：３－３＜１－３ａ２＋１－３ｂ２＋１－３ｃ２≤６．已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔１〕～〔４〕,但对其下界却少有研究．我们自然要问：其下界的求解方法可否优化？为便于说明,不妨摘抄原文如下：图１对于函数ｙ＝１－３ｘ２,它的图像是椭圆３ｘ２＋ｙ２＝１（ｘ＞０,ｙ≥０）在第一象限的部分,是凸的．过Ａ（０,１）、Ｂ３３,０的直线方程为ｙ＝１－３ｘ．对于０＜ｘ≤３３,有１－３ｘ２＞１－３ｘ．∴ｕ＝…     

证明不等式的又一方法—排序法

排序原理设有两组有序实数：ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ（ｎ≥２）,若Ｍ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ,Ｎ＝ａ１ｂｎ＋ａ２ｂｎ－１＋…＋ａｎｂ１,Ｑ＝ａ１ｂｉ１＋ａ２ｂｉ２＋…＋ａｎｂｉｎ,式中ｂｉ１,ｂｉ２,…,ｂｉｎ是ｂ１,ｂ２,...     

《因式分解》测试题

(满分100分　时间60分钟)一、填空题（每空３分,共３６分）１．－９ｙ２＋１６ｘ４＝（）（）．２．计算：６３２－３７２＝．３．若ｘ２＋ｋｘ－４＝（ｘ＋１）（ｘ＋ｍ）,则ｋ＝,ｍ＝．４．如果ａ＋ｂ＝２,ａｂ＝１,那么ａ２＋ｂ２＝．５．２７ｘ３＋１（３ｘ＋１）（）．６．已知ｙ２＋ｍｙ＋４＝（ｙ－２）２,那么ｍ＝,７．如果ｘ２＋ｋ＝（ｘ－４）（ｘ＋４）,那么ｋ＝．８．如果４ｘ２＋１２ｘ＋９＝０,那么ｘ的值为＿．９．已知ａ２＋ｂ２－２ａ＋６ｂ＋１０＝０,那么ａ＝＿,ｂ＝．二、单项选择题（每小题３分,共１８分…     

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性□李玉钊（河南信阳地区教育学院４６４０００）众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），欲求其解，可通过著名的求根公式ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ｎ，ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ（...     

用完全平方公式进行根式运算

完全平方公式（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２是数学中一个重要公式，应用非常广泛．现举几例说明这个公式在根式运算中的应用．例１已知则（１９９５年宁夏中考试题）解　逆用完全平方公式，得例２　如果ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋５＝０，求的值．（１９９４年宁夏中考试题）解　把已知等式左边配方，得（ｘ２－４ｘ＋４）＋（ｙ２－２ｙ＋１）＝０．即（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝０．由非负数的性质，得ｘ＝２，ｙ＝１．原式例３已知，那么的值等于（）ｖｘｖｙｚｘｙ（Ａ）子；（Ｂ）斗；（Ｃ）士；（Ｄ）手．（１９９４年济南市中考…     

一道代数习题的几种几何解法

一道代数习题的几种几何解法平凉师范宋灵宇中师《代数与初等函数》第一册２７１页第５题是：求函数ｙ＝ｘ－２＋１６－ｘ的最大值．有以下几种几何解法．解法１函数定义域是〔２，１６〕，利用不等式（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号），有（ｘ...     

初二(下)代数期末试题

一、填空题（每小题２分，共２８分） １．６４的平方根是＿。 ２．若３＝１．７３２，３０＝５．４７７，则０. ００３＝＿。 ３．使ａ－２＋３２－ａ有意义的ａ的值为。 ４．若ａ２＝（ａ）２时，ａ为数。 ５．若最简二次根式３ｂ－１（ａ＋１）与４ｂ－ａ是同类二次根式，则ａ＝＿，ｂ＝＿。 ６．化简（１－２）２＝＿；当ａ＜－２时（ａ－２）２＋（ａ＋１）＝＿。 ７．２－ｘ＝８则ｘ＝＿；则ｘ＝＿Ｘ３＝０．１２５．则ｘ＝。 ８．比较大小：４５＿５３，３－２＿　。 ９．２－５的有理化因式是＿，倒数是＿。 １０．若３ａ＋１＋｜ｂ…     

从一道习题的别解谈定法证题的教学价值

中《代数》（下册）（人教社,１９８７年１月第２版）３３页的第１１道复习参考题为：已知：ａ２１＋ａ２２＋ａ２３＋…＋ａ２ｎ＝１,ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２ｎ＝１,求证：ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋…＋ａｎｘｎ≤１．该题连续运用基本不等式“２ａｂ...     

巧用等比性质解题例谈

巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１　已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解　∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴　ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２　已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解　∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３　求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解　∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３…     

韦达定理与乘法公式

韦达定理与乘法公式□陈大业（安徽省蚌埠八中２３３０２０）由韦达定理导出乘法公式，对横向沟通相关知识间的联系，不无小补．平方差公式以ａ与ｂ为根构造二次方程ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０，则有ａ２－（ａ＋ｂ）ａ＋ａｂ＝０，ｂ２－（ａ＋ｂ）ｂ＋ａｂ＝０．ａ...     

代数式的概念、性质及运算

④整式运算与乘法公式 一、复习要点 １．整式的基本概念： ｒ单项式：系数、次数；同类项： 整式　多项式：次数、项数、常数项；多 项式的降（升）幂排列． ２．整式的运算法则 整式加减＿＿＿＿＿＿＿＿＿整式乘法：幂的运算ａｍ·ａｎ＝＿＿　（ａｍ）ｎ＝＿＿单×单：（ａｂ）ｎ＿＿＿＿＿＿＿（ｍ、ｎ）多×单（ａ＋ｂ＋ｃ）ｍ＝＿＿＿＿多×多（ｍ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝＿＿＿．整式除法：幂的运算：ａｍ÷ａｎ＝＿＿＿单÷单：＿＿＿＿＿多÷单：＿＿＿＿＿ ３．乘法公式（正确掌握，灵活运用）： ①平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）…     

一个分式和不等式的推广及应用

本刊文〔１〕关于分式和的不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ;或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０,则ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ≥ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．本文将其推广为：对于ｐ≥１...     

初一数学能力测试

一、填空题（每空２分．共４０分） １．在 ３ｘ－４ｙ＋１＝０中，如果 ｘ＝５，那么 ｙ＝＿。 ２．不等式－２ｘ＋３＜０的解集是＿。 　　３．不等式组　　的整数解是＿。 ４．若方程ｘｍ－２－４ｙｎ－３是关于ｘ，ｙ的二元一次方程，则ｍ＝＿， ｎ ＝＿。 ５．十位上的数字为ａ，个位上的数字为ｂ的两位数是＿。 ６．轮船在静水中航行的速度为ａ千米／小时，水流的速度为ｂ千米／小时（ａ＞ｂ），则轮船顺水航行的速度为＿，逆水航行的速度为＿。 ７．（１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＿０，ａ＋ｂ＿０．ａ／ｂ＿０。 （２）如果ａ…     

“x=1”和“a+b=b+a”是方程吗

“ｘ＝１”和“ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ”是方程吗在一次数学竞赛的试题中,有这样一道题目：下面几个式子,（）是方程。①４＋７ｘ＝１８;②３ｘ－５;③ｘ＝１;④６＋１０＝１６;⑤ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ;⑥５ｘ－５＜６。毫无疑问,①式是方程。有的同志认为：③式和⑤式也是方程...