“复数”问题的解题方法和技巧

由于任何一个复数的n次方根都均匀地分布在复平面上以原点为园心的同一园周上,因而复数中的许多问题都留有“循环”的痕迹,例如i~(4k)=1,i~(4k 1)=i,i~(4k 2)=-1,i~(4k 3)=-i(K∈J),这里,±1,±i正好是1的四个四次方根;又如,若令ω=(-1 (3~(1/2)i))/2,则ω~(3K)=1,ω~(3k 1)=ω,ω~(3k 2)=ω~2,其中1,ω,ω~2正好为1的三个三次方根。所以,复数中的许多问题都有明显的规律性。另一方面,复数与几何、三角、解析几何都有密切的关系,这便     

复数解题的常用技巧

复数是高中数学中涉及面广,知识跨度大的内容,它具有综合代数、三角、几何为一体的特点。是研究图形变换和求轨迹的有力工具,应用十分广泛。要学好复数,除要理解复数有关概念外,还要熟练地掌握出复数解题的常用技巧。 1.利用i的性质 常用下列代换:1=-i~2=i~4,（1±i）~2=±2i, (1±i)~4=-4,1/i=-i,（1 i）/（1-i）=i及b ai=i(a-bi)=-i(-a bi)等。 例1 计算[（5~（1/2） （5i)~（1/2）)~2(3-4i)]/(4 3i) 解 原式=[5 5~（1/2）(1 i)~2(-i)(4 3i)]/(4 3i) =-5(5i)~（1/2）(2i)(1 i)=10 5~（1/2） 10(5i)~（1/2）.     

复数

我们说 z 是一个复数,是指它表示为z=x+iy,其中 x 和 y 都是实数,符号 i定义为i~2=-1. (1)表示为 i 的实际所具有的其它各种性质都可从(1)式的基本定义推导出来。例如i~4=(i~2)(i~2)=(-1)(-1)=1.同理,i~3=(i~2)(i)=(-1)i=-i,等等.对读者来说,重要的是要理解并牢记,一个复数是通过一对(有次序的)实数来刻划的.     

高考复数试题考点解析

《〈考试说明〉》要求考生:(1)了解引进复数的必要性,理解复数的有关概念,掌握复数的代数形式和几何意义;(2)掌握复数的代数形式的运算法则,能进行复数代数形式加、减、乘、除法运算,在运算时适当运用复数i;1±i,-12±32i=ω乘方运算结果来简化计算;(3)了解从自然数系到复数系扩充的基本思想,掌握复数问题实数化;(4)注重复习时基本方法(转化思想、分类讨论、数形结合思想)的运用.下面介绍高考复数试题考点及其求解策略.考点1　复数的四则运算例1　(1996年全国高考题)1复数(2+2i)4(1-3i)5等于(　　)(A)1+3i.　　　(B)-1+3i.(C)1-3i.　　　(…     

平面向量

试题1(重庆卷,理科第7题)与向量 a=(7/2,1/2),b=(1/2,-7/2)的夹角相等,且模为1的向量是( ).A.(4/5,-3/5) B.(4/5,-(3/5))或(-(4/5),3/5) C.(2(2~(1/2)/3,-(1/3)) D.(2(2~(1/2)/3),-1/3)或(-2(2~(1/2))/3,1/3)试题特点:本题涉及单位向量、共线向量、向量的夹角等知识,解题的入口较宽,可从方程、解析几何、复数及向量运算的几何意义等角度入手,对训练学生思维的广阔性有价值.思路分析:     

用复数证几何题

在《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中,要求“理解复数运算的几何意义”。利用复数运算证明几何题,不仅有助于数学知识的综合运用,而且有助于加深理解复数的几何意义。本文就平面几何中常见的几种类型,给出复数证法。一、预备知识 1、平面上两点之间的距离设z_1=x_1+iy,z_2=x_2+iy_2是平面上任意两点,则z_1、z_2的距离 d=|z_2-z_1|=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2) 或d=(|z_2-z_1|~2)~(1/2)=((z_2-z_1)(z_2-z_1))~(1/2) 2、复数有理运算的几何意义。①加减法——平移变换     

高中数学测试题

<正> 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若点P(1,)是角α终边上一点,则sin α=( )(A)3~(1/3) (B)(3~(1/3))/3 (c)(3~(1/3))/2 (D)1/22.若复数z1=-7+i,z2=3-4i,则arg z1-arg z2=( )(A)5/4π (B)-5/4π (C)3/4π (D)-3/4π     

1992年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考答案

一、选择题。本题考查基本知识和基本运算。每小题3分,满分54分。 (1)A。(2)D。(3)D。(4)B。(5)D。(6)B。(7)B。(8)C。(9)D。(10)D。(11)B。(12)B。(13)A。(14)D。(15)D。(16)C。(17)A。(18)C。二、填空题。本题考查基本知识和基本运算。每小题3分,满分15分。 (19)x=-1。(20)1/4。(21)15/128。(22)(x-2)~2/4-y~2/12=1。(23)13/16。三、解答题 (24) 本小题考查复数相等的条件及解方程的知识。满分9分。解设z=x+yi(x、y∈R)。将z=x+yi代入原方程,得 (x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i, 整理得 x~2+y~2-3y-3xi=1+3i。根据复数相等的定义,得     

注重题意分析 简缩推演程序

数学问题的解决离不开分析.客观的分析是思维的起点,适度的对策是创新的层次,巧妙的推演是解题的能力所在.例1 计算(-1 (3i)~(1/2))/((1 i)6)-(-2 i)/(1 2i)分析:直接利用代数形式的运算法则进行计算是复数运算的“基本功”,然而由代数式结构展开联想,可借助于一些常见结论产生合理     

变化出题角度加深概念理解

变化题目的出题角度,从各方面涉及基本概念、基本方法,能有数地加深学生对概念的理解。现举几例说明。 [例一]:把对应于复数3-3~(1/2)i的向量按顺时针方向旋转60°,求与所得向量相对应的复数。解:3-3~(1/2)i=12~(1/2)(3~(1/2)/2-1/2i) =12~(1/2)(cos330°+isin330°) ∵向量按顺时针方向旋转,∴旋转后的向量对应的复数的幅角主值为330°-60°=270。; ∴所求复数12~(1/2)(cos270°+isin270°)     

1997年全国高考数学第20题的多种解法

1997年全国高考数学第20题(文、理科序号相同)是这样一道复数题:已知复数z=3~(1/2)/2-(1/2)i,w=2~(1/2)/2 (2~(1/2)/2)i复数、z~2w~2在复平面上所对应的点分别为 P、Q.证明 AOPQ 是等腰     

i=-1(1/2)?

籠統地把i定义作(-1)~(1/2)的缺点,已經不止一次地被人指出过了。但是在我們現行的、經过修訂的教科書上,仍旧这样寫着: “虛数(-1)~1/(-1)以文字i表示(法文imagjmirθ的意义是‘虚的’,它的头一个字母是i),并把它叫做虛数單位。由此可知:i~2=-1,和(-a~2)~(1/2)=(-a)。所有的虛数,都可用i和某个实数乘積的形式表示出來,例如:(-16)~(1/2)=(16(-1))~(1/2))=(-1)~(1/4)=4i,一般的,(-b~2)~(1/2)=(b(-1))~(1/2)=(-1)~(1/b)=bi。”     

怎样求复数辐角主值的最值

涉及复数模与辐角主值最值的问题是高考考点之一。本文就求复数辐角主值最值的几种方法举例说明. 一、数形结合法例1 已知z·z+(3+3~(1/2)i)z+(3-3~(1/2)i)z+9=0,求argz的最值及相应的复数.     

ω在复数运算中的应用

全国六年制重点中学高中代数第二册其中一个习题提到:虚数-1/2 3~(1/2)/2i定义为ω,则ω有如下各种性质: 1°ω和ω_2互为共轭复数,且为方程x~2 x 1=0的两个根。 2°│ω│=│ω~2│=1, 3°1 ω ω~2=0 4°ω3n=1(n∈Z) 灵活运用这些性质,可以使与ω有关的许多复数题时解法显得十分简便,这对培养学生分析问题的能力和正确、迅速的运算技巧能力大有好处     

字母代替数化简二次根式

在某些二次根式的化简或计算中,如果用字母去代替数,可使原来隐含的数量关系变得清晰明了,从而能避免复杂的运算。请看下面二例。例1 计算2~(1/2)-3~(1/2)/2(3~(1/2))-3(2~(1/2)。 (义务教材《代数》第二册第217页,A组第13(4)题)     

平方运算在解题中的运用

解某些无理方程与无理不等式、推导圆锥曲线的标准方程,需要对式子两端施行平方运算,这是大家熟知的。在另一些场合下,这一方法,对于化繁为简,也很有意义,以下,聊举数例说明这种情况。例1 若A=(6~(1/2)+2~(1/2))(3~(1/2)-2)((3~(1/2)+2)~(1/2),试求A。解原式较繁,因之,试探其平方是否可以化简,得: A~2=(6~(1/2)+2~(1/2))~2(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =(8+4(3~(1/2)))(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =4(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2)~2=4 考虑到3~(1/2)<2因而A<0,所以A=-2。例2 求sin15°+cos15°的值。解考虑到:sin~215°+cos~215°=1, 并且2sin15°cos15°=sin30°=1/2 可知:     

复数z求法十三种例谈

根据条件求 z(或解复数方程)是中学数学复数一章的重要内容.一运用求根公式在解二次复数方程中,求根公式的运用是常用的方法之一.例1 已知x∈C,解方程 x~2-2(2 4i)x 4i-2=0.解:∵Δ=(2 4i)~2-4(4i-2)=-4,∴由求根公式得 x_1=1 3i,x_2=1 i.     

内蒙西部盟市1995年中专中师高中招生统一考试数学试题

第Ⅰ卷 一、单项选择(本大题共50分,1～10小题每题2分,11～20小题每题3分) 1.125~(-2/3)的结果是(). (A)25 (B)-25 (C)1/25 (D)-1/25 2.a~2÷(a~(-1/2))~2的运算结果是()。 (A)a (B)a~3 (C)1 (D)a~4 3.如果x_1 x_2是方程x~2 2x-1=0的两根,那么x_1~2x_2 x_1x_2~2 1的值是(). (A)-1 (B)0 (C)3 (D)1 4.样本-2,-1,0,1,2的标准差是(). (A)2 (B)2~(1/2) (C)0 (D)1     

化asinα bcosα时符号的选择

在统编数学教材中,化asinα bcosα为±(a~2 b~2)~(1/2)sin(α arctgb/a)时,未曾谈及根号前的正负号应该怎样决定(见高一册160页)。学生应用这个公式解题时,往往会出现似是而非的问题。如化3cosα-4sinα为积的形式时,就进行了如下错误的运算: 原式=-4sinα 3cosα=((-4)~2 3~2)~(1/2)sin[α arctg(-3/4)]=5sin(α-36°52′)。有鉴于此,本文仅就推导asinα bcosα=±(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ),(φ=arctgb/a)时,根号前正负号的取舍进行探讨。     

根式求值的代换策略

遇到与二次根式有关的求值问题,若能根据其结构特征,灵活运用各种代换策略,则能使运算化难为易,迅速获解．一、整体代换例1已知x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2)),y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2)),求代数式3x~2-5xy+3y~2的值．解∵x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2))=(3~(1/2)-2~(1/2))~2=5-26~(1/2)．y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2))=(3~(1/2)+2~(1/2))~2=5+26~(1/2),∴x+y=10,xy=1．