一道培训学生证明三点共线的优秀几何题及其推广

题目如图1，已知：AA1，BB1，CC1是锐角△ABC的3条高，证明：点C1到线段AC，BC，BB1，AA1的垂足在同一条直线上．     

蝴蝶歌

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小孔雀告诉你

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问疑答难

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数学问题与解答2007年第12期问题解答

721．如图1，在等腰直角△ABC中，点D1、D2在直角边AC上，且AD1=CD2，AE1⊥BD1于E1，延长AE1交斜边BC于Fl，AE2⊥BD2于E2，延长AE2交斜边BC于F2，求证：CF1/BF1＋CF2/BF2=1.     

江南

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思维破定势，反面更简捷，不用“数归法”——简析两道高三数列综合题的解法

题1 数列{an}中，a1=1，当n≥2时，-1/√n-1〈an〈0，Sn为数列前n项的和，且Sn=1/2[an-1/n（n-1）an],（1）求S1，S2，S3，S4的值；（2）求数列{Sn}的通项公式；（3）求limn→∞．an.     

聚焦数学中向量的教与学

1关于向量线性运算的探求 1．1向量线性运算的基础——加、减法运算 例1如图1，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．     

估算法在一道中考题中的应用

如图1。记抛物线y=-x2＋1的图像与正半轴的交点为A，将线段OA分成几等份。设分点分别为P1，P2，…，Pn-1。过每个分点作轴拘垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1；     

初中数学竞赛训练题

一．填空题1．完全数是一个数的所有因数之和（除该数本身外）等于该数本身的整数，它显示了整数的完满性。第1个完全数是6，它可以被1，2，3整除并且是1，2，3之和，那么第2个完全数是（ ）。2．2个整数相加时，所得的和是2个数字相同的两位数；它们相乘时，所得的积是3个数字相同的三位数，则这2个整数是（ ）。3.若S=1＋1/4＋1/9＋1/16＋…，则P=1＋1/9＋1/25＋1/49＋…=（ ）用S表示。4．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲地、乙地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种。5．若从1，2，3，…，8这8个整数中同时取4个不同的数，其和为佴数，则不同的取法共有（ ）种。6．如图1，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，那么把线段AE和D1F平移后，它们相交所得锐角的正弦值是（ ）。     

从特殊到一般——特殊与一般的数学思想

分析1 由于不等式左边的最后一项的分母满足以下特点：1=2^1-1，3=2^2-1，7=2^3-1，15=2^4-1，…，第n个式子的最后一项的分母为2^n-1，而对应各式右端为n/2．这样，经过对各式进行观察比较，从特殊到一般，得到答案．     

途径一变，多种解法纷纷来

题目 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=3，BC=4，AA1=12，求AC与BD1所成角的余弦值．     

数学问题与解答 2014年第6期问题解答

916．如图1，O为△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于D、E、F，EF、DF、DE三边的中点分别为D1、E1、F1，AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1，求证：AA1、BB1、CC1相交于一点．     

竞赛中的七种构造法

1．构造函数 例1 设x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R且满足     

《金文最》校札——文章署名及其他

清人张金吾《金文最》辑录金代各体文1790余篇，由于种种缘故，这部金人文章总集在署名方面存在一些问题，或考察不周而致误收，或积累不足而致漏略，等等。本次校订涉及宇文虚中2篇，韩昉3篇，蔡松年6篇，李晏2篇，周绅1篇，张通1篇，李纯甫3篇，贾葵1篇，范景仁1篇，赵秉文1篇，潘希孟1篇，蔡如2篇，计24篇。此外，误收宋代文与元代文各1篇。     

一类方程组的求解方法及其应用

早在上个世纪八十年代初，笔者就在文献[1]中看到过形如 ｛1/x＋1/y＋z=1/a,（1） 1/y＋1/x＋z=1/b,（2） 1/z＋1/x＋y=1/c,（3） （abc≠0，且a＋b-c≠0，b＋c-a≠0，c＋a-b≠0）的方程组，可惜该书没有提供这道题的参考答案，当时笔者也未能求解出结果，然而，事隔十几年之后，在2000年的理科综合的压卷题求解过程中，又碰到了这种方程组，但同样地，参考答案也仅给出最后结果，     

一个猜想的证明及推广

文[1]由不等式：若0≤x，y，x1，y1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，则L2=√x^2＋y^2＋√x^2＋y1^2＋√x1^2＋y1^2≤2＋√2（1），猜想不等式：若0≤x，y，z，x1，y1，z1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，z＋z1=1.[第一段]     

理解数学本质，强化学科能力——我最欣赏的一道高考题

1试题解答 解法1：（定性分析法）容易证明，当M、N分别是AA1、CC1的中点时，满足条件，此时MN最大，且最大值点是唯一的，由此可排除A、C；设E是CC1的中点，由图形的对称性知，N点在平面BCC1B1内的轨迹为BE，故∠PBN为定值，所以图象是直线型的，故选B．     

上海市行知中学数学组

行知中学数学教研组师资力量雄厚，教师业务水平高，现在职教师21人，其中高级教师11人，特级教师1人，区拔尖人才1人，首席教师1人，区级学科带头人3人，区级教学能手1人，研究生学历7人，中层以上领导5人。     

理发师

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